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1、第七章 实数的完备性习题1 关于实数集完备性的基本定理1 证数集有且只有两个聚点和.2 证明：任何有限数集都没有聚点.3 设是一个严格开区间套，满足 ，且.证明：存在唯一的一点，使得4 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般都不成立.5 设.问：（1）能否覆盖？（2）能否从中选出有限个开区间覆盖？6 证明：闭区间的全体聚点的集合是本身.7 设为单调数列.证明：若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界.8 试用有限覆盖定理证明聚点定理.9 试用聚点定理证明柯西收敛准则.2 闭区间上连续函数性质的证明1 设为上连续的周期函数.证明：为上有最大值与最小值.2 设为有
2、限区间.证明：若在上一致连续，则在上有界.举例说明此结论当为无限区间时不一定成立.3 证明：在上一致连续.4 试用有限覆盖定理证明根的存在定理.5 证明：在上的连续函数为一致连续的冲要条件是都存在.3 上极限和下极限1 求以下数列的上、下极限：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）.2 设为有界数列，证明：（1）；（2）(3)设，则 ；（4）若，则.3 证明：若为递增数列，则.4 证明：若且，则数列收敛.5 证明定理7.86 证明定理7.9总练习题1 证明：为有界数列的充要条件是的任一子列都存在其收敛子列.2 设在内连续，且.证明：在内有最大值或最小值.3 设在上连续，又，使得.
3、证明：存在，使得.4 设和都在区间上一致连续.（1）若为有限区间，证明：在上一致连续；（2）若为无限区间，举例说明在上不一定一致连续.5设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限都存在，则在上一致连续.6函数在上连续，且有斜渐近线，即有数，使得证明：在上一致连续.习题答案1 关于实数集完备性的基本定理5（1）能；（2）(i)不能，(ii)能.3 上极限和下极限1（1）2，0；（2），；（3）；（4）2，-2；（5）；（6）1，1.典型习题解答1（1 第7题）设为单调数列.证明：若存在聚点，则必是唯一的，且为的确界.证明：设为递增数列，设为的聚点.下证1）是的上界.若不然，使，取，由的递增性，内
4、只含有中的有限项.这与是的聚点矛盾.从而是的上界.2），取，则，使得.所以.由确界的唯一性，聚点是唯一的.2（1 第8题）试用有限覆盖定理证明聚点定理.证明：设是实轴上的一个有界无限点集，则，使得.假设中的任意点都不是的聚点，则，使得中只有中的有限多个点.令，它是闭区间的一个无限开覆盖.由有限覆盖定理，存在的一个有限开覆盖，从而覆盖.所以是有限集，矛盾.3（2 第4题）试用有限覆盖定理证明根的存在定理.证明：假设，有.由连续函数的保号性，存在使得在上同号.记，显然它覆盖，从而存在的有限子覆盖：.因为在上同号，且又覆盖，故在上同号.但，矛盾.4.（2 第5题）证明：在上的连续函数为一致连续的冲要
5、条件是都存在.证明：（必要性）设在上一致连续，则只要，就有 （1）取，则，有（1）式成立.由柯西准则，存在.同理也存在.（充分性）令，则在上连续.从而在上一致连续，所以在上一致连续.5（总练习题 第5题）设定义在上.证明：若对内任一收敛数列，极限都存在，则在上一致连续.证明：假设在上不一致连续，则，对，总存在，尽管，但有.令，与它相应的两点记为，尽管，但有 （1）当取遍所有正整数时，得数列，由致密性定理，存在的收敛子列，设.又即由（1）式有，令，得这与相矛盾.所以在上一致连续.6（总练习题 第6题）函数在上连续，且有斜渐近线，即有数，使得证明：在上一致连续.证明：令，则在上连续.又因为，所以在上一致连续.又在上一致连续，因此在上一致连续.5
