数学的美学特征_谭维奇

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1、2005年11月 第11卷第4期 安庆师范学院学报(自然科学版) J ourna l of Anqing Teachers College(Na tura l Science) Nov. 2005 Vol. 11NO. 4 数学的美学特征 谭 维 奇 (华东师范大学 数学系, 上海 200062) 数学也是自然科学的语言,它具有一般语言文学与艺术所共有的美学特点,即数学在其内容结构上、 方法上都具有 自身的某种美。 数学将杂乱整理为有序,使经验升华为规律,寻求各种物质运动的简洁统一的数学表达式等,这些都是数 学美的体现,也是人类对美感的追求。 罗素这位数学思想大师就曾这样毫不掩饰地说过:“数学

2、,如果正确地看它,则具有 至高无上的美正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美,这种美不是投合我们天性的微弱的方面,这种美没有绘画 或音乐的那些华丽的装饰,它可以纯净到崇高的地步,能够达到严格的只有最伟大的艺术才能显示的那种完美的境地。 一种真实的喜悦的精神,一种精神上的亢奋,一种觉得高于人的意识这些是至善至美的标准,能够在诗里得到,也能 够在数学里得到。 ”数学美作为科学美,具有科学美的一切特征。数学美的基本表现形态是多种类、 多层次、 多样化模式 基础上的统一美,其进一步表现形态是谐调美、 对称美、 简洁美、 奇异美。 1.谐调美 谐调美指部分与部分、 部分与整体、 整体与整体间可以引起直观美感的

3、比例构成关系,是支配视觉空间关系的原理, 主要用于造型艺术。作为数量关系研究的代数学与分析学,作为空间形式研究的几何学,两者之间通过解析几何学而谐 调,呈现谐调美。n次方程在复数域内有且只有n个根,表明方程的次数与根的个数相谐调。 以音乐为例,从毕达哥拉斯时代开始,人们就认为,对音乐的研究本质上是数学的,音乐与数学密不可分。毕达哥拉 斯发现,在相同张力作用下的弦,当它们的长度成简单的整数比时,击弦发出的声音听起来是谐调的。正是基于这种认 识,毕达哥拉斯学派定出了音律。 顺便指出,我国在古代也以同样的方式确定了音律。 这是人类第一次确立了可理解的东 西与美之间的内在联系,是人类历史上一个真正重大

4、的发现。 在中学教材中有一个乐音频率比的数学实验。声音由振动产生,声音的高低由振动的频率决定:声音越高,频率越 高。乐音中的音阶1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,i对应的频率是可以计算出来的,钢琴或电子琴上任何一个键的音都可以作为1,可见 1的频率是不固定的,不同的调有不同的1。但是别的音与1的频率的比是固定的。比如高八度的频率就是1的2倍,从1 到i,总共经过12个琴键,也就是12个 “半音” 。假定每两个相邻的半音的频率比相同,则从1到的各个琴键所发出的声音 的频率成等比数列q= 12 2。适当给定1的频率,由等比数列的通项公式可以算出其余各音的频率。在计算机上将这些 音产生和播放出

5、来,或者再将它们编成乐曲播放出来,就会听到和谐的音乐效果。 线段a被点A分成两部分,如果这两部分的比x : ( a-x )= a:x,这种分割中若a= 1,则x= 5 - 1 2 0. 618,a-x= 3-5 2 0. 382。 以其中两部分为边长的矩形是两边最谐调的矩形,因而这种分割被达芬奇称为 “黄金分割”,被天文 学家开普勒称为 “神圣分割” 。 在日常生活中,最谐调悦目的矩形,如电视屏幕、 写字台面、 书籍、 衣服、 门窗等,其短边与长 边之比为0. 618,你会因比例的谐调而赏心悦目。甚至连火柴盒、 国旗的长宽比例设计,都恪守0. 618的比值。在音乐会 上,报幕员在舞台上的最佳位

6、置,是舞台宽度的0. 618之处;二胡要获得最佳音色,其 “千斤” 则须放在琴弦长度的0. 618 处。最有趣的是,在消费领域中也可妙用0. 618这个 “黄金数”,获得 “物美价廉” 的效果。据专家介绍,在同一商品有多个 品种、 多种价值情况下,将高档价格减去低档价格再乘以0. 618,即为挑选商品的首选价格。可见,黄金分割的美,无处不 在,它充分体现了生活中的数学美。 美学家蔡辛在 美学研究 一书中把黄金分割导入美学,认为事物具有这种关系是最美,而且作为美的形式法则确定 下来。 在绘画中人体的比例、 绘画材料的长与宽的比例,甚至身体内中各个细小的部分,都利用了 “黄金分割” 这一审美的 数

7、学要求。例如,达芬奇的绘画杰作 蒙娜丽莎 所表现出的 “永恒的微笑” 即是他对人体结构比例研究的一个结晶。蒙 娜丽莎的右手被誉为绘画史上最美的一只手,绘画中所运用的精确的比例,使这只手更有体积感,更有重量,尤其是更富 有生命力,即使与现代的精巧的摄影相比也毫不逊色。 2.对称美 当谐调的比例构成为1: 1时,称为对称。 对称作为谐调的特例,给人以平衡感,称为美的样式,就是对称美。 对称美不 仅是指几何图形的对称,也包括各种数学概念和理论之间的对称。数学中的对称美是数学对自然本质的一种反映。 几何图形的对称图形是典型的视觉对称美。平面或空间图形的中心对称(即点反射)、 平面图形的对称轴、 空间图

8、形 的平面对称都是这种图形。而既是中心对称,而且所有过对称中心的直线都是对称轴的平面图形是圆,既是中心对称而 且所有过对称中心的平面都是对称平面的立体图形都是球。 毕达哥拉斯学派认为:“一切立体图形中最美的是球形,一切 最美的平面图形中最美的是圆形。 ” 这就是球与圆达到了全对称的缘故。 代数当中,数的加法与乘法通过运算律而形成对称: a+b=b+a,ab=ba , ( a+b )+ c=a + ( b+c), (ab)c=a(bc) 互逆运算也是一种对称,如指数与对数 ab+ c= abac lg(ab )= lg a+ lgb 性质符号与运算符号的对称: a-b=a+ (-b) ab=a

9、1 b 二项式定理的展开式呈现的也是一种对称: (a+b)n=C0nanb0+C1nan- 1b1+C2nan- 2b2+Cknan- kbk +C2na2bn- 2+C1na1bn- 1+C0na0bn展开式的系数当n= 1, 2, 3,n,时,列成表便实现了一种几何对称: n= 1 n= 2 n= 3 n= 4 n= 5 n= 6 n= 7 n= 8 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 除1以外的每个数都等于自己 “肩上”

10、两个数之和,这 就是著名的 “杨辉三角” 。再如: 11= 1 1111= 121 111111= 12321 11111111= 1234321 1111111111= 123454321 111111111111= 12345654321 11111111111111= 1234567654321 1111111111111111= 123456787654321 111111111111111111= 12345678987654321 492+ 357+ 816= 618+ 753+ 294 438+ 951+ 276= 672+ 159+ 834 456+ 978+ 231= 132

11、+ 879+ 654 258+ 936+ 471= 174+ 639+ 852 258+ 693+ 714= 417+ 396+ 852 以上各式呈现出了绝妙的对称美。 由于数学的发展,对称性的概念已超出了数学的范围并获得了更加广泛的意义。一般地说,这即是指组成某一事物 或现象的两个部分之间的对等性,对此我们仍然从数学上去把握和表现。在物理学上,正电子的猜想便是狄拉克从数学 对称美的角度大胆预言出来的。他唯一的根据就是从电子运动的方程得出正负两个解。几年之后,这个预言得到了物理 学家的证实。狄拉克后来说:“理论物理学家把数学美的要求当作信仰的行为,它没有什么使人非信不可的理由,但过去 已经证明

12、了这是有益的目标。 ” 在达芬奇的杰作 最后的晚餐 中,耶稣与十二个门徒共进晚餐,达芬奇的构图使他们全都面向观众、 一字排开, 坐在正中间的耶稣头部正好受到中间亮光的衬托,精心构思的光线效果成为整个画面的中心,耶稣的十二个门徒每三人 一组对称地分布在耶稣的两侧。基督本人被画成一个等边三角形,这样的描绘目的在于表达基督的情感和思考,并且身 体处于一种平衡状态。 画面把人物的情感、 形态和心理准确的融为一体,不仅表现了每个门徒的神态差异,而且十分集中 地表现了耶稣身上的美和善与叛徒身上丑和恶的冲突、 对比。 3.简洁美 数学的简洁美是数学事实与其简化形式的统一,是人类思维经济化在数学上的反映。 相

13、对于繁琐、 冗长、 混乱的背景 来说,简洁给人以简捷明快、 准确、 精炼的美感。数学的简洁美是指表达的形式和数学理论体系的结构简单,而不是指数 学内容本身的简单。数学理论的过人之处就在于能用最简单的方式揭示现实世界中的量及其关系的规律。 关于简洁美,庞加莱曾提出:“数学创造实际上并不存在于用已知的数学实体做出新的组合。 任何一个人都会做这种 组合,而这样做出的组合在数目上是无限的,它们中的大多数完全没有用处。创造恰恰在于不做无用的组合,而做有用 的、 为数极少的组合。发明就是识别、 选择。 ” 他认为正是审美感在科学家的这种识别、 选择中发挥了核心的作用,庞加莱 写道:“数学的美感、 数和形的

14、谐调感、 几何的雅致感,这是一切科学家都知道的审美感正是这种特殊的审美感,起着 我已经说过的微妙的筛选作用。 ” 321第4期谭维奇:数学的美学特征 在定义一个数学概念时,我们不仅要考虑到概念的内涵的包容程度,同时也要考虑到概念用词的简约程度。对于其 中不必要的修饰或多余的条件,在不影响概念本质的前提下,应该毫不留情地舍弃掉。可以说数学中的每个概念都是经 过人们精心 “雕琢” 得到的,是人类智慧的结晶,数学就是以它的这种独特的 “简” 来展示美的。数学概念往往要用定义的 方法揭示。 数学定义本身就要求 “用简洁的语句揭露对象特有属性的逻辑方法” 。 “对边平行的四边形叫做平行四边形” 是 平行

15、四边形的定义,这句话表达了两重涵义:第一,平行四边形是四边形,而且是平面图形,是有四边形的直线形;第二, 它的对边是平行的,而 “对边” 一共有两组,“对边平行” 是指两组对边都分别是平行的。定义仅用了八个字就将最近的属 与属差都表述得清清楚楚,体现了简洁美。 在数学符号上,简洁美达到了令人惊叹的地步。四则运算符号中,“+” 是基本运算,“-” 是 “+” 的逆运算。 “” 是连 续地 “+” 的简洁化,“” 是 “” 的逆运算。 同样乘方更是乘法的简洁化表示。 数学中分数的既约性、 代数中的合并同类项 等,都是出自对简洁美的追求。同样数学中的证明也不例外,如数学 “王子” 高斯就曾对代数基本

16、定理提出过不下十种的 证明技巧和方法,许多方法的提出都只是为了进一步简化证明本身,其中最为简洁的一个证明只用到了几行字。这种行 为的实质就是对数学简洁美的一种执著的追求。 费尔马大定理之所以会有如此大的吸引力,可能就是费尔马在页眉上留 下的那段话起到了 “推波助澜” 的作用:我确信已经找到了十分便捷的证明,但因书页的篇幅太窄,无法把它写小来。 且不 论他本人是否真的找到了证法,但就此事而言,我们就可知数学的简洁美对人们有着多么大的诱惑力。 在生活中,我们最常见的钱币,钱币就只有1, 2, 5(分,角,元)这三个面值,为什么呢?因为只要有了这三个面值,就可 以简单支付任何数目的款项,这里就蕴藏了数学的简洁的统一美。 4.奇异美 奇异性是指研究对象的不能用任何现成的理论解释的特殊性质,奇异是一种美。培根曾指出 “没有一样极美的东西 不是在调和中存在着某种奇异。 ” 数学中的奇异美颇有一些 “意料之中,情理之外” 的意味。 七巧板是我国传统的智力拼图 游戏。它是用七块可以拼成正方形的