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1、二次函数1如图,矩形OABC在平面直角坐标系xOy中,点A在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,OA=4,OC=3,若抛物线的顶点在BC边上,且抛物线经过O,A两点,直线AC交抛物线于点D(1)求抛物线的解析式;(2)求点D的坐标;(3)若点M在抛物线上,点N在x轴上,是否存在以A,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,求出点N的坐标;若不存在,请说明理由2如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x交于点O(0,0),A(a,12)点B是抛物线上O,A之间的一个动点,过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C,E(1)求抛物线的函数解析式;(2)若点C为OA的中点,求BC的长
2、;(3)以BC,BE为边构造矩形BCDE,设点D的坐标为(m,n),求出m,n之间的关系式(4)将射线OA绕原点旋转45并与抛物线交于点P,求出P点坐标3如图,抛物线y=ax2+c(a0)经过C(2,0),D(0,1)两点,并与直线y=kx交于A、B两点,直线l过点E(0,2)且平行于x轴,过A、B两点分别作直线l的垂线,垂足分别为点M、N(1)求此抛物线的解析式;(2)求证:AO=AM;(3)探究:当k=0时,直线y=kx与x轴重合,求出此时的值;试说明无论k取何值,的值都等于同一个常数4如图,已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,过点A的直线l与抛物线交于点C,其中A点的坐标
3、是(1,0),C点坐标是(4,3)(1)求抛物线的解析式;(2)在(1)中抛物线的对称轴上是否存在点D,使BCD的周长最小?若存在,求出点D的坐标,若不存在,请说明理由;(3)若点E是(1)中抛物线上的一个动点,且位于直线AC的下方,试求ACE的最大面积及E点的坐标5如图,抛物线y1=x21交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C(1)请直接写出抛物线y2的解析式;(2)若点P是x轴上一动点,且满足CPA=OBA,求出所有满足条件的P点坐标;(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点
4、Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由6如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,抛物线y=x2+2x与x轴相交于O、B,顶点为A,连接OA(1)求点A的坐标和AOB的度数;(2)若将抛物线y=x2+2x向右平移4个单位,再向下平移2个单位,得到抛物线m,其顶点为点C连接OC和AC,把AOC沿OA翻折得到四边形ACOC试判断其形状,并说明理由;(3)在(2)的情况下,判断点C是否在抛物线y=x2+2x上,请说明理由(4)若点P为x轴上的一个动点,试探究在抛物线m上是否存在点Q,使以点O、P、C、Q为顶点的四边形是平行四边形,且OC为该四边形的一条边?若存在,请直接写出点Q的坐标;若不存在,请
5、说明理由 (参考公式:二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的顶点坐标为(,),对称轴是直线x=)7如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=(xm)2m2+m的顶点为A,与y轴的交点为B,连结AB,ACAB,交y轴于点C,延长CA到点D,使AD=AC,连结BD作AEx轴,DEy轴(1)当m=2时,求点B的坐标;(2)求DE的长?(3)设点D的坐标为(x,y),求y关于x的函数关系式?过点D作AB的平行线,与第(3)题确定的函数图象的另一个交点为P,当m为何值时,以A,B,D,P为顶点的四边形是平行四边形?8将矩形OABC置于平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(m,0)(
6、m0),点D(m,1)在BC上,将矩形OABC沿AD折叠压平,使点B落在坐标平面内,设点B的对应点为点E(1)当m=3时,点B的坐标为,点E的坐标为;(2)随着m的变化,试探索:点E能否恰好落在x轴上?若能,请求出m的值;若不能,请说明理由(3)如图,若点E的纵坐标为1,抛物线(a0且a为常数)的顶点落在ADE的内部,求a的取值范围9如图,已知直线y=3x3分别交x轴、y轴于A、B两点,抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点,点C是抛物线与x轴的另一个交点(与A点不重合)(1)求抛物线的解析式;(2)求ABC的面积;(3)在抛物线的对称轴上,是否存在点M,使ABM为等腰三角形?若不存在,请说明
7、理由;若存在,求出点M的坐标10如图1,已知正方形ABCD的边长为1,点E在边BC上,若AEF=90,且EF交正方形外角的平分线CF于点F(1)图1中若点E是边BC的中点,我们可以构造两个三角形全等来证明AE=EF,请叙述你的一个构造方案,并指出是哪两个三角形全等(不要求证明);(2)如图2,若点E在线段BC上滑动(不与点B,C重合)AE=EF是否总成立?请给出证明;在如图2的直角坐标系中,当点E滑动到某处时,点F恰好落在抛物线y=x2+x+1上,求此时点F的坐标11如图,抛物线y=ax2+bx+c(a0)经过点A(3,0)、B(1,0)、C(2,1),交y轴于点M(1)求抛物线的表达式;(2
8、)D为抛物线在第二象限部分上的一点,作DE垂直x轴于点E,交线段AM于点F,求线段DF长度的最大值,并求此时点D的坐标;(3)抛物线上是否存在一点P,作PN垂直x轴于点N,使得以点P、A、N为顶点的三角形与MAO相似(不包括全等)?若存在,求点P的坐标;若不存在,请说明理由12已知抛物线y=x23x的顶点为点D,并与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴相交于点C(1)求点A、B、C、D的坐标;(2)在y轴的正半轴上是否存在点P,使以点P、O、A为顶点的三角形与AOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;(3)取点E(,0)和点F(0,),直线l经过E、F两点,点G是线
9、段BD的中点点G是否在直线l上,请说明理由;在抛物线上是否存在点M,使点M关于直线l的对称点在x轴上?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由13如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c经过A、B、C三点,已知点A(3,0),B(0,3),C(1,0)(1)求此抛物线的解析式(2)点P是直线AB上方的抛物线上一动点,(不与点A、B重合),过点P作x轴的垂线,垂足为F,交直线AB于点E,作PDAB于点D动点P在什么位置时,PDE的周长最大,求出此时P点的坐标;连接PA,以AP为边作图示一侧的正方形APMN,随着点P的运动,正方形的大小、位置也随之改变当顶点M或N恰好落在抛物
10、线对称轴上时,求出对应的P点的坐标(结果保留根号)14已知:关于x的二次函数y=x2+ax(a0),点A(n,y1)、B(n+1,y2)、C(n+2,y3)都在这个二次函数的图象上,其中n为正整数(1)y1=y2,请说明a必为奇数;(2)设a=11,求使y1y2y3成立的所有n的值;(3)对于给定的正实数a,是否存在n,使ABC是以AC为底边的等腰三角形?如果存在,求n的值(用含a的代数式表示);如果不存在,请说明理由15如图1,平面直角坐标系中,等腰直角三角形的直角边BC在x轴正半轴上滑动,点C的坐标为(t,0),直角边AC=4,经过O,C两点做抛物线y1=ax(xt)(a为常数,a0),该
11、抛物线与斜边AB交于点E,直线OA:y2=kx(k为常数,k0)(1)填空:用含t的代数式表示点A的坐标及k的值:A,k=;(2)随着三角板的滑动,当a=时:请你验证:抛物线y1=ax(xt)的顶点在函数y=的图象上;当三角板滑至点E为AB的中点时,求t的值;(3)直线OA与抛物线的另一个交点为点D,当txt+4,|y2y1|的值随x的增大而减小,当xt+4时,|y2y1|的值随x的增大而增大,求a与t的关系式及t的取值范围16已知抛物线C1的顶点为P(1,0),且过点(0,)将抛物线C1向下平移h个单位(h0)得到抛物线C2一条平行于x轴的直线与两条抛物线交于A、B、C、D四点(如图),且点
12、A、C关于y轴对称,直线AB与x轴的距离是m2(m0)(1)求抛物线C1的解析式的一般形式;(2)当m=2时,求h的值;(3)若抛物线C1的对称轴与直线AB交于点E,与抛物线C2交于点F求证:tanEDFtanECP=17如图,三角形ABC是以BC为底边的等腰三角形,点A、C分别是一次函数y=x+3的图象与y轴、x轴的交点,点B在二次函数y=x2+bx+c的图象上,且该二次函数图象上存在一点D使四边形ABCD能构成平行四边形(1)试求b、c的值,并写出该二次函数表达式;(2)动点P从A到D,同时动点Q从C到A都以每秒1个单位的速度运动,问:当P运动到何处时,有PQAC?当P运动到何处时,四边形
13、PDCQ的面积最小?此时四边形PDCQ的面积是多少?18如图,在平面直角坐标系中,坐标原点为O,A点坐标为(4,0),B点坐标为(1,0),以AB的中点P为圆心,AB为直径作P的正半轴交于点C(1)求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式;(2)设M为(1)中抛物线的顶点,求直线MC对应的函数解析式;(3)试说明直线MC与P的位置关系,并证明你的结论19如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC是边长为2的正方形,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A,B,与x轴分别交于点E,F,且点E的坐标为(,0),以0C为直径作半圆,圆心为D(1)求二次函数的解析式;(2)求证:直线BE是D的切
14、线;(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P,M是线段CB上的一个动点(点M与点B,C不重合),过点M作MNBE交x轴与点N,连结PM,PN,设CM的长为t,PMN的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量t的取值范围S是否存在着最大值?若存在,求出最大值;若不存在,请说明理由20如图,已知抛物线y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为(4,),且与y轴交于点C(0,2),与x轴交于A,B两点(点A在点B的左边)(1)求抛物线的解析式及A、B两点的坐标;(2)在(1)中抛物线的对称轴l上是否存在一点P,使AP+CP的值最小?若存在,求AP+CP的最小值,若不存在,请说明理由;(3)以AB为
15、直径的M相切于点E,CE交x轴于点D,求直线CE的解析式21如图,已知抛物线经过A(2,0),B(3,3)及原点O,顶点为C(1)求抛物线的函数解析式(2)设点D在抛物线上,点E在抛物线的对称轴上,且以AO为边的四边形AODE是平行四边形,求点D的坐标(3)P是抛物线上第一象限内的动点,过点P作PMx轴,垂足为M,是否存在点P,使得以P、M、A为顶点的三角形与BOC相似?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由22在平面直角坐标系中,已知M1(3,2),N1(5,1),线段M1N1平移至线段MN处(注:M1与M,N1与N分别为对应点)(1)若M(2,5),请直接写出N点坐标(2)在(1)问的条件下,点N在抛物线上,求该抛物线对应的函数解析式(3)在(2)问条件下,若抛物线顶点为B,与y轴交于点A,点E为线段AB中点,点C(0,m)是y轴