BEIJING NORMAL UNIVERSITY量子统计理论玻色统计与费米统计BEIJING NORMAL UNIVERSITY研究对象：服从量子力学规律的粒子构成的近独立子系统全同粒子；粒子的坐标与动量满足测不准关系非简并条件7.51.4×1029.3×1034.7×1054.220.327.287.4NeAreα1帕下的沸点气体从表中看出，除He之外，其它气体都满足经典极限条件[宏观上]经典极限条件 ：低密度 ( n小)大质量 ( m大)高温 ( T高)BEIJING NORMAL UNIVERSITYeH2H但金属中的自由电子气则是典型的简并气体取 T=2000K， 110400000 0NNCTT③BEIJING NORMAL UNIVERSITY强简并情况下的行为现在我们来考虑更一般的情况光子气体 (Boson System)金属中的自由电子气体 (Fermion System)④弱简并玻色气体和费米气体不满足eα>>1的气体为简并气体,必须使用B-E,F-D 分布满足eα>>1的气体为弱简并气体,可近似使用M-B 分布 本节我们讨论的思路是先导出简并气体的严格公式，再作弱简并近似。
在实际问题中，我们只需要考虑气体分子的平动 ，对于气体分子的内在运动，由于最低能级与次高能级相差比较大可以近似地认为所有分子都处在最低能级因而对于巨配分函数的计算中只提供一个常数因子 g它是分子内在运动最低能级中的量子态数而气体平动的能级可近似看成是连续的BEIJING NORMAL UNIVERSITY()22212xyzpppmε =++()132233() 2() 2dVDd g g m dhhεπεε ε εΩ==()11iiiDdNdNeeαβε αβεωε++=⇒=±±()()003122323302123220()12(2 ) 122 1xDdNdNeVdgmh emkT x dxgV xehαβεαβεαεεπεββπβε∞∞+∞+∞+==±⎛⎞⎜⎟=⎜⎟±⎝⎠±∫∫∫∫BEIJING NORMAL UNIVERSITY严格求解上式需要用到 B-E， F-D积分()()()()11000 z 1 B-E1F-D1sSxxIz dxzefIdeαβεε∞+−∞+=≤≤−=+∫∫计算内能( )()03122323302323220()112(2 ) 122 1iiiiiiixDdUNeeVdgmh emkT x dxgV xehαβε αβεαβεαωε ε ε εεπεβπβ∞++∞+∞+== =±±⎛⎞⎜⎟=⎜⎟±⎝⎠±∑∑∫∫∫BEIJING NORMAL UNIVERSITY考虑弱简并条件 ： eα>>1， e-α -x >∵即：0 iiεμ με−> TC)：0, 0NNN′=→基态上无粒子，所有粒子均处于高能级()( )32 320 2.612FFα ==32()CTNNT′=低温 (T=↓↑⎧⎪⎪⎨⎪ →→ ≤⎪⎩BEIJING NORMAL UNIVERSITY()33() 02.612Cnh nFggmkTλπ===理想玻色气体出现玻色-爱因斯坦凝聚的临界条件理想玻色气体出现玻色-爱因斯坦凝聚的条件32.612ngλ ≥光子气体从统计物理角度讨论黑体的平衡辐射 。
热辐射 ：受热物体会产生辐射，辐射就是物体所发射的电磁波平衡辐射：如果物体辐射出去的能量恰好等于在同一时间内吸收其它物体辐射来的能量，则辐射过程达到平衡辐射场温度 ：在平衡辐射的情况下,辐射体具有的温度BEIJING NORMAL UNIVERSITY量子理论的实验证据之一黑体：当辐射投射到物体上时，其能量一部分被吸收，一部分被反射如果物体不论它的温度如何，能把投射到它上面的全部辐射能量都吸收，此物体称为黑体 黑体辐射—空腔内的平衡辐射场BEIJING NORMAL UNIVERSITY“在平衡辐射的情况下，电磁辐射的特性只取决于辐射场的温度，与辐射体的其它性质无关 ”BEIJING NORMAL UNIVERSITY在热力学理论的讨论中（第二章），我们已经得到：辐射的能量密度与绝对温度的四次方成正比空腔内辐射场光子数不守恒辐射通量Stefan-Boltzmann定律但是，利用热力学理论讨论平衡辐射问题，只能建立在实验事实的基础上，物理基础尚不清楚， 更深入的讨论，需要利用量子统计的方法观点一：认为辐射场是电磁波动空腔内充满满足一定边界条件的各种频率的电磁驻波目的：讨论平衡辐射情况下，能量按频率的分布。
历史上，讨论黑体辐射主要有两种不同的观点观点二：把辐射场看成是微粒组成的系统数目不固定的光子气体由于光的波动性与粒子性是统一的，所以这两种观点下求解出的结果是一致的BEIJING NORMAL UNIVERSITY光子气体：(1) 光子自旋为1—玻色子(2)光子与光子之间相互独立—B-E 分布3)光子数不守恒— α =0 (4)光子无静止质量—m= 0(5)光子的能量频率相当密集—能量近似视为连续的思路： 1) ε —ε +dε 能量间隔内的光子数 dNdε2) 频率间隔内的光子数3) 频率间隔内的能量BEIJING NORMAL UNIVERSITY平衡状态下，光子气体的化学势为零第一步 :求 ε —ε +dε 能量间隔内的光子数 dNdεB-E分布：(),1()1iiidNeDddNeαβεεαβεωε ε++=−=−3)(2)()()()( hddDddDεεεεεεεΩΩΩ=求：BEIJING NORMAL UNIVERSITY033()4433xyzcPdxdydz dP dP dPVP Vcεεεππ≤≤Ω=⎛⎞==⎜⎟⎝⎠∫∫∫ ∫∫∫234()Vddcπε εεΩ=2333() 8() 2dVD ddhhcεπε εεεΩ==( )0α =∵233() 8()11D dVddN dehceβε βεε επεεε∴==− −BEIJING NORMAL UNIVERSITY第二步:在 频率间隔内的光子数223( )1VddN dceβωω ωεω ωπ=∴ =−null∵null第三步：在 频率间隔内的能量3()23(,)1dVdUTd dNceωβωω ωωωωπ==−nullnullnull2338()1VddN dhc eβεπ εεε =−BEIJING NORMAL UNIVERSITYPlanck公式223(,)VkTUTd dcω ωωωπ= 瑞利-金斯公式2) 高频低温极限1,kTωβω=>>nullnull将分母中的1略去323(,)VUTd e dcβωω ωωπ−=nullnull ω维恩公式讨论： 1) 低频高温极限1kTωβω=⎪⎪⎩BEIJING NORMAL UNIVERSITY001 ( 0 )0 iiifTKεμεμ⎪⎪⎩讨论：1)当T →0K 时，所有低于εF的各个量子态均被电子占满。
而高于εF的量子态全部空着2)由于费米子遵从泡利不相容原理，不可能所有的费米子都处于最低能级上，这就造成T → 0K时，电子气仍有相当的平动动能Fεμ =0费米能级)(εif1εμ0=εFBEIJING NORMAL UNIVERSITY二、 计算εF自由电子气的特点：1）自由度为 3，μ空间是 6维的2）简并度是 2（自旋有 2个取向）3）能谱 （非相对论）( )22221zyxPPPm++=ε思路：∵当 T→0K 时，εF以下各个量子态均被电子占满∴电子气中总的电子数 N =εF以下所有的量子态数 WBEIJING NORMAL UNIVERSITY方法一：第一步：计算等能面εF所围的相体积)223332244V 233FFFxyzV pmFdxdydz dp dp dppVmεεππ ε≤=Ω===∫∫∫ ∫∫∫第二步：计算εF以下所包含的微观状态数)()332233()3282FVWmhhεπεΩ==BEIJING NORMAL UNIVERSITY()()33223823FVNmhπε=第三步：令 N=W,反解费米能级()()22223233382Fhnnmmεππ==∴null213Fnmε−∝∴( ), 2NhnV π==∵nullBEIJING NORMAL UNIVERSITY方法二：自由电子在 ε —ε+dε 能量间隔内量子态数。
) εεπεεε dmhVh)(dd)(D212333242 =Ω=自由电子的等能面 εF所包含的总的量子态数()() NmhVdmhVd)(DWFFF====∫∫23233021233023824επεεπεεεεBEIJING NORMAL UNIVERSITY讨论： 1) 一般温度下，金属中的自由电子气体其化学势 μ 与 μ0的数值极接近所以通常将化学势 μ 称为费米能级⎪⎩⎪⎨⎧⋅×=×=×=−−SJ.hkg.mm/.n34313281063610191058Cu2) 估计 εF的数量级设金属铜 Cu每个原子贡献一个自由电子BEIJING NORMAL UNIVERSITY3) 自由电子气是高度简并的估计室温下热运动的能量： kT ~ 10-21J由2）所得结果 εF~ 10-18J， μ = εF>> kT1 0时，自由电子的分布BEIJING NORMAL UNIVERSITY五，自由电子气体的热容量特征积分强简并情况下费米积分的近似展式BEIJING NORMAL UNIVERSITYBEIJING NORMAL UNIVERSITYBEIJING NORMAL UNIVERSITY例题：太阳辐射的光谱分布和黑体辐射非常接近，每单位波长的最大强度出现在 4840埃处，问太阳的表面温度是多少？BEIJING NORMAL UNIVERSITY例题：某种样品中的电子服从费米分布，其态密度有如下特征电子总数为 N。
1. 试求 T=0K时的化学势 和总能量 ；2. 推导出系统的非简并条件；000()0DDεεε⎪⎪⎩0μ0UBEIJING NORMAL UNIVERSITY例题：证明在十分一般的情形下，强简并理想费米气体的化学势，热容量和熵的低温展式为( )( )022002201ln(16l1()3VDkTCS kTDεμεμμ πεμπμ=⎡ ⎤∂⎢ ⎥=−⎢ ⎥∂⎣ ⎦≈≈BEIJING NORMAL UNIVERSITYBEIJING NORMAL UNIVERSITY。