《第十九章含参量积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第十九章含参量积分（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 1 第十九章第十九章 含参量积分含参量积分 1 含参量正常积分含参量正常积分 1设)sgn(),(yxyxf=,(这个函数在yx =时不连续), 试证由含参量积分 1 0 ( )( , )F yf x y dx=所确定的函数在),(+上连续, 并作函数)(yF的图象. 证: 由于 1 , 0x, 因此 ) 当1y时, 1 0 ( )( 1)1F ydx= 当0a, 从而 2222 2 0 ln(sincos)axbx dx + ln 2 a = 下设0a,0b, 令=)(bI 22 22 2 0 ln(sincos)axbx dx + ，由定理 19.3 知: =)( / bI 2 2 22
2、22 0 2cos sincos bx dx axbx + 2 0 2 21 1(tan ) dx ab x b = + ba + = , 由于 22 2 0 (0)ln(sin)Iax dx =ln 2 a =，因此 0 ( )lnln 22 baab I bdt at + =+= + 从而当0 22 +ba时， 2222 2 0 ln(sincos)axbx dx += 2 ln ba + . (2) 令=)(aI 2 0 ln(1 2 cos)axadx + )( 当1+aaaxa,因而, )cos21ln( 2 axa+ 为连续函数, 且具有连续导数, 于是 =)( / aI 2 0
3、22cos 1 2 cos ax dx axa + 2 2 0 11 1 1 2 cos a dx aaxa =+ + 2 22 0 2 111 0 2 1 1 1 a dx a aaa a =+= + + + 从而, )(aI恒等于常数, 根据0)0(=I知:) 1(0)(a时,令 a b 1 =,则1 = 1,ln2 1, 0 )( aa a aI 注：(1)可以由(2)推出. 5应用积分号下的积分法,求下列积分: (1) 1 0 1 sin(ln)(0) ln ba xx dx ba xx (2) 1 0 1 cos(ln)(0) ln ba xx dx ba xx 解 (1) 令=)(
4、xg x xx x ab ln ) 1 sin(ln . 因为0)(lim 0 = + xg x ,0)(lim 1 = xg x ,补充定义 0)0(=g,0) 1 (=g后,)(xg在0,1上连续, 因此有 1 0 ( )Ig x dx= 1 0 1 sin(ln) b y a x dy dx x = ( ln ba b y a xx x dy x = ) 令 = = 00 10) 1 sin(ln ),( x xx xyxf y , 则),(yxf在, 1 , 0ba连续,据定理 19.5 有 1 1 0 0 11 sin(ln)sin(ln) bb yy aa x dy dxdyx d
5、x xx = (1) 0 sin b yt a dyetdt + + = (令 t ex =) 2 1 arctan(1)arctan(1) 1 (1) b a dyba y =+ + . (2) 1 0 1 cos(ln) b y a Ix dy dx x = 1 0 1 cos(ln) b y a dxxdy x = 令 = y,取0,使0 0 y, 于是, 被积函数在 + 00 ,1 , 0yy 上连续, 则)(yF在+ 00 , yy上连续, 特别在 0 y处连续. 由于 0 y的任意性, 这说明 )(yF在), 0( +上连续. 又由于 1 1 2222 0 0 ( )( ) ()
6、yf xyf x Fydxdx xyxy = + , 所以,)(yF在 )0 ,(上连续, 以下考虑在0=y处的连续性. 由于)(xf为1 , 0上连续函数，则存在最小 值0m, 当0y时 , 有 1 1 2222 0 0 ( )1 ( )arctan yf xmy F ydxdxm xyxyy = + , 从 而 有 0 2 )(lim 0 + m yF y . 但0)0(=F, 于 是)(yF在0=y处 不 连 续 . 所 以)(yF在 ), 0()0 ,(+上连续, 在0=y处不连续. 8设函数)(xf在闭区间,Aa上连续, 证明： 0 1 lim ()( )( )( ) x ah f
7、thf t dtf xf a h += )(Axa. 证: 令 ( )( ) x a I xf t dt=,)(Axa，由微分学基本定理知 )()(xfxI=,)(Axa. 5 从而 ()( )( )( ) xx hax h aa ha ha f th dtf u duf t dtf t dt + + +=+ )()(haIhxI+=)(Axa 由于0)(=I, 则 )()()()( lim 0 h aIhaI h xIhxI h + + + )()()()(afxfaIxI=)(Axa. 9设dzzfyzxyxF xy y x )()(),( =, 其中)(zf为可微函数, 求),(yxFx
8、y. 解: 据定理 19.4 知: 2 1 ( , )( )() ()( )() xy x x y xx F x yf z dzy xxyf xyfxy yyy =+ 2 ( )(1) () xy x y f z dzxyyf xy=+ )()1 ()()3()()(),( 222 2 xyfyyxxyfxyx y x f y x xyxfyxFxy+= )()1 ()()()32( 22 2 2 xyfyyx y x f y x xyfyx+=. 10设 22 2 0 ( )1sinE kkd = , 2 22 0 ( ) 1sin d F k k = , 其中10k(这两个 积分称为完全椭
9、圆积分). (1) 试求)(kE与)(kF的导数,并以)(kE与)(kF来表示它们; (2) 证明)(kE满足方程0 1 )( )( 1 )( 2 = + k kE kE k kE. 解: (1) 由定理 19.3 , 有 22 22 22 0 0 ( 1sin) ( )1sin dkd E kkdd dkdk = 2 2 22 0 sin 1sin k d k = 22 22 22 0 0 11 1sin 1sin kdd k k = )()( 1 kFkE k =. 22 2222 0 0 1 ( )() 1sin1sin ddd F kd dkdk kk = 2 2 223 0 sin
10、(1sin) k d k = 6 22 22322 0 0 111 (1sin)1sin dd k kk = )( 1 )1 ( )( 2 kF kkk kE =. (2) 由(1)有)(kE )()( 1 =kFkE k )()( 1 )()( 1 2 kFkE k kFkE k +=, 从而 222 1 )( )( 1 )( 2 )()( 1 1 )( )( 1 )( k kE kF k kE k kFkE kk kE kE k kE += + 222222 1 )( )( 1 )1 ( )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 )( 1 k kE kF kkk kE k kF k kE k kF k kE k + += 0 1 )( )1 ( )( )( 1 2222 = + = k kE kk kE kE k
