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1、2002级量子力学期末考试试题和答案A卷一、简答与证明：（共25分）1、什么是德布罗意波？并写出德布罗意波的表达式。 （4分）2、什么样的状态是定态，其性质是什么？（6分）3、全同费米子的波函数有什么特点？并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、证明是厄密算符 （5分）5、简述测不准关系的主要内容，并写出坐标和动量之间的测不准关二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在B表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）设氢原子在时处于状态，求1、时氢原子的、和的取值几率和平均值；2、时体系的波函数，并给出此时
2、体系的、和的取值几率和平均值。四、（15分）考虑一个三维状态空间的问题，在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出 这里，是一个常数，用微扰公式求能量至二级修正值，并与精确解相比较。 五、（10分）令，分别求和作用于的本征态和的结果，并根据所得的结果说明和的重要性是什么？答案一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波；其表达式：2、定态：定态是能量取确定值的状态。性质：定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为：。4、=，因为是厄密算符，所以是厄密算符。5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、
3、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，则有 ，这个关系式称为测不准关系。坐标和动量之间的测不准关系为：二、解1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，其中为任意实常数，得在A表象中的矩阵表示式为：2、类似地，可求出在B表象中算符的矩阵表示为：在B表象中算符的本征方程为：，即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在B表象中算符的本征值是，本征函数为和3、类似地，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在
4、A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解： 已知氢原子的本征解为：，将向氢原子的本征态展开，1、=，不为零的展开系数只有三个，即，显然，题中所给的状态并未归一化，容易求出归一化常数为：，于是归一化的展开系数为：， （1）能量的取值几率，平均值为：（2）取值几率只有：，平均值（3）的取值几率为： ，平均值2、时体系的波函数为：=由于、和皆为守恒量，所以它们的取值几率和平均值均不随时间改变，与时的结果是一样的。四、解：（1）的本征值是方程的根结果：，这是的精确解。（2）根据题意，体系能级的二级修正可写为：由题设可知：能量的一级修正为：，对于二级修正，有：所以，将展开：， （3）对比可知，根据微扰
5、公式求得的能量二级修正值，与精确求解的结果是吻合的。五、解：，所以和分别作用于的本征态和的结果是，结果表明：称为自旋升算符是合理的，因为它将方向的自旋从增加到。同样，称为自旋降算符，因为它将方向的自旋从降到。和容许我们从的一个本征态跳跃到另一个本征态，它们在自旋的计算中是非常有用的。B卷一、（共25分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4分） 2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6分）3、全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数。（4分）4、在一维情况下，求宇称算符和坐标的共同本征函数。（6分） 5、简述测不准关系的主要内容，并写出时间和能量的
6、测不准关系。（5分）二、（15分）已知厄密算符，满足，且，求1、在A表象中算符、的矩阵表示；2、在A表象中算符的本征值和本征函数；3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。三、（15分）线性谐振子在时处于状态，其中，求1、在时体系能量的取值几率和平均值。2、时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、（15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵的本征值至的二次项，本征矢至的一次项。五、（10分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用. 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成?答案一、1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备
7、的。2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况；将波函数中坐标变量改变符号，若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称。3、全同玻色子的波函数是对称波函数。两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：4、宇称算符和坐标的对易关系是：，将其代入测不准关系知，只有当时的状态才可能使和同时具有确定值，由知，波函数满足上述要求，所以是算符和的共同本征函数。5、设和的对易关系，是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值，令 ，则有 ，这个关系式称为测不准关系。时间和能量之间的测不准关系为：二、1、由于，所以算符的本征值是，因为在A表象中，算符的
8、矩阵是对角矩阵，所以，在A表象中算符的矩阵是：设在A表象中算符的矩阵是，利用得：；由于，所以，；由于是厄密算符，令，（为任意实常数）得在A表象中的矩阵表示式为：2、在A表象中算符的本征方程为：即 和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即 对有：，对有：所以，在A表象中算符的本征值是，本征函数为和3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵，即三、解：1、的情况：已知线谐振子的能量本征解为：， 当时有：，于是时的波函数可写成：，容易验证它是归一化的波函数，于是时的能量取值几率为：，能量取其他值的几率皆为零。能量的平均值为：2、 时体系波函数显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故时体系能量的取值几率和平均值与的结果完全相同。四、解：将矩阵改写成：能量的零级近似为：，能量的一级修正为：，能量的二级修正为：， ，所以体系近似到二级的能量为：，先求出属于本征值1、2和3的本征函数分别为：，利用波函数的一级修正公式，可求出波函数的一级修正为：，近似到一级的波函数为：，五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。以表示第个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）；（2）（3）； （4）
