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1、第四章 扭转,一、概述,汽车传动轴,4.1 扭转的概念,齿轮传动轴,直升机的旋转轴,构件特征：等圆截面直杆圆轴。,受力特征：外力偶矩的作用面与杆件的轴线相垂直。,变形特征：纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或 称剪应变)；两个横截面之间绕杆轴线发生相对 转动，称为扭转角。,4.2.1 扭矩及扭矩图,圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩，用符号T表示。扭矩大小可利用截面法来确定。,4.2 扭转内力,扭矩的符号规定,按右手螺旋法则确定:,扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。,仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆轴线各横截面上扭矩的变化情况。,T (+),T (-),Me,T 图,1.直接计算,
2、二、外力偶矩 扭矩和扭矩图,4.2.2 传动轴外力偶矩的计算,按输入功率和转速计算,电机每秒输入功：,外力偶作功完成：,已知轴转速n 转/分钟输出功率Pk 千瓦求：力偶矩Me,例题 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分别为： P2= 150kW， P3= 150kW，P4=200kW。 试作轴的扭矩图。,首先必须计算作用在各轮上的外力偶矩,解：,画扭矩图,Tmax = 9.56 kNm 在CA段内,4.78,9.56,6.37,T 图(kNm),1.薄壁圆筒的扭转,变形现象,各圆周线形状、大小、 间距不变, 各纵向线倾斜相同角
3、度， 各矩形变成平行四边形。,4.3 圆轴扭转的应力与强度条件,分析变形现象, 表面纵向线倾斜，表面所有的矩形格子都变成平行四边形，而每个直角都改变了相同的角度，这种直角的改变量称为剪应变。这种剪应变是由剪应力引起的，因此在横截面的圆周上各点的剪应力是相等的，又由于tR0,所以我们又可假设剪应力沿厚度方向均布。,结论：,薄壁圆筒在受扭转变形时，横截面上将产生剪应力，它的方向沿圆周切线方向，且在整个横截面的大小相等。,横截面上的分布内力系合成为扭矩T，即,上式中的r可用R0代，于是,由于，为常数，且t R0,r,4.3.2. 剪应力互等定理,材料单元体 三棱边为微元长度,4.3.3 圆轴扭转时横
4、截面上的应力,1. 几何方面表面变形情况,杆的横截面上只有垂直于半径的切应力，没有正应力产生。,平面假设,等直圆杆受扭转时其横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。,推论：,横截面上任一点处的切应变随点的位置的变化规律,即,相对扭转角沿杆长的变化率，对于给定的横截面为常量,剪切胡克定律,2. 物理方面,3. 静力学方面,称为横截面的极惯性矩,令,得,等直圆杆扭转时横截面上切应力计算公式,tmax,tmax,发生在横截面周边上各点处。,称为扭转截面系数,最大切应力,tmax,tmax,令,即,同样适用于空心圆截面杆受扭的情形,圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp,实心圆截面：,几何性质,空心圆截
5、面：,注意：对于空心圆截面,4.3.4 圆轴扭转时斜截面上的应力,假定斜截面ef 的面积为d A,讨论：,1、,2、,此时切应力均为零。,解得,低碳钢、铸铁、木材受扭时的破坏现象,滑移线,(a),(b),(c),(d),低碳钢式样的扭转变形与破坏,例题 实心圆截面轴和空心圆截面轴 (a = d2/D2 =0.8)的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1之比以及两轴的重量比。,解：,已知,得,两轴的重量比,可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。,讨论： 为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构件？,等直圆轴,材料的许用切应力,4.3.5 圆轴
6、扭转的强度条件,例题 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力t = 80MPa ，试校核该轴的强度。,解： 1、求内力，作出轴的扭矩图,T图（kNm）,BC段,AB段,2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度,即该轴满足强度条件。,T图（kNm）,扭转时的变形,两个横截面的相对扭转角j,扭转角沿杆长的变化率,相距d x 的微段两端截面间相对扭转角为,4.4 圆轴扭转的变形与刚度条件,等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时,称为等直圆杆的扭转刚度,相距l 的两
7、横截面间相对扭转角为,(单位：rad),例题 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm，d =70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。,解： 1、先用截面法求各段轴的扭矩：,BA段,AC段,2、各段两端相对扭转角：,3、 横截面C相对于B的扭转角：,4.5 扭转超静定问题,下面以图示所示等直圆轴为例，来加以说明。等直圆轴AB两端固定，在C处受一扭矩Me的作用。,1. 静力学方面,圆轴AB上只作用了扭矩Me，故其两端的约束反力应是转向相反的扭力矩，设分别为MeA和MeB,可得
8、平衡方程,2. 几何方面,圆轴的两端被固定，则A和B两截面间的相对扭转角,，于是有,这就是变形协调方程,3. 物理方面,应用截面法，可得轴段AC和CB中各横截面上的扭矩分别为,可得扭转角,得补充方程为,求解,4.6 非圆截面轴扭转,2) 如果杆件受到约束，导致横截面的翘曲受到限制，则横截面上同时存在正应力和切应力，这种称为约束扭转翘曲。,非圆截面直杆受扭时，横截面发生的翘曲分为两种：,若扭转时各横截面均可自由翘曲，则各横截面的翘曲程度相同，纵向纤维的长度无变化，此时，横截面上将只有切应力而无正应力，这种称为自由扭转翘曲，此时杆的扭转称为自由扭转或纯扭转；,4.6.1 矩形截面杆扭转时的应力和变
9、形,一般矩形截面等直杆,ttp时 1、 tmax发生在横截面的长边中点处； 2、横截面周边各点的切应力必定与周边相切，沿周边形成与扭矩同向的顺流； 3、四个角点处t =0 。,矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式,最大切应力（长边中点处）,短边中点处的切应力,单位长度扭转角：,相当极惯性矩,扭转截面系数,其中,a、b、n 与 相关的因数,4.6.2 开口薄壁截面杆扭转,工程中常遇到一些开口薄壁截面杆，例如各种工字钢、角钢、槽钢等制成的杆件(如图在自由扭转时，开口薄壁截面杆可以看作是由若干狭长矩形组成，截面周边投影到平面上的几何形状在变形前后保持为矩形，各狭长矩形的转动角度相同。,开口薄
10、壁截面杆,计算公式如下：,式中hi和bi分别为组成截面的每个矩形的长边和短边的长度，bmax为各短边中的最大者。,4.7.1 弹簧丝横截面上的应力,拉力F沿弹簧轴线方向，将弹簧沿任一横截面截开，取上部为研究对象，则由平衡方程,即簧丝横截面上的内力有剪力和扭矩,与剪力相应的是切应力，按实用计算方法，可假设它沿截面是均匀分布,4.7 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形,4.7.2 弹簧的变形,弹簧的变形是指整个弹簧在外力作用下沿轴向的伸长(或缩短)变化。弹簧丝内同时存在剪力和扭矩，但相比于扭矩引起的变形，剪力引起的变形数值很小，可忽略不计。所以在计算变形时只考虑扭矩的影响。,弹簧轴线,计算弹簧轴向伸长或缩短的公式,小结,1、受扭物体的受力和变形特点,2、扭矩计算，扭矩图绘制,3、圆轴扭转时横截面上的应力计算及强度计算,4、圆轴扭转时的变形及刚度计算,作业题,第一次课：4-1，4-2，4-6，4-9 第二次课：4-11，4-14，4-19,
