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1、1,第八章 组合变形及连接部分的计算,2,8-1 概 述,构件在荷载的作用下如发生两种或两种以上基本形式的变形，且几种变形所对应的应力（和变形）属于同一数量级，则构件的变形称为组合变形（combined deformation）。,. 组合变形,烟囱（图a）有侧向荷载（风荷，地震力）时发生弯压组合变形。,第八章 组合变形及连接部分的计算,3,齿轮传动轴（图b）发生弯曲与扭转组合变形（两个相互垂直平面内的弯曲加扭转）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,吊车立柱（图c）受偏心压缩，发生弯压组合变形。,4,两个平面内的弯曲(图d)由于计算构件横截面上应力及横截面位移时，需要把两个平面弯曲的效应加以
2、组合，故归于组合变形。,第八章 组合变形及连接部分的计算,5,对于组合变形下的构件，在线性弹性范围内且小变形的条件下，可应用叠加原理将各基本形式变形下的内力、应力或位移进行叠加。,在具体计算中，究竟先按内力叠加（按矢量法则叠加）再计算应力和位移，还是先计算各基本形式变形下的应力或位移然后叠加，须视情况而定。,6,.连接件的实用计算,螺栓连接（图a）中，螺栓主要受剪切及挤压（局部压缩）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,连接件（螺栓、铆钉、键等）以及构件在与它们连接处实际变形情况复杂。,7,键连接（图b）中，键主要受剪切及挤压。,第八章 组合变形及连接部分的计算,8,第八章 组合变形及连接部分
3、的计算,工程计算中常按连接件和构件在连接处可能产生的破坏情况，作一些简化的计算假设（例如认为螺栓和铆钉的受剪面上切应力均匀分布）得出名义应力（nominal stress）,然后与根据在相同或类似变形情况下的破坏试验结果所确定的相应许用应力比较，从而进行强度计算。这就是所谓工程实用计算法（engineering method of practical analysis）。,9,8-2 双对称截面梁在两个相互垂直平面内的弯曲,具有双对称截面的梁，它在任何一个纵向对称面内弯曲时均为平面弯曲。,第八章 组合变形及连接部分的计算,故具有双对称截面的梁在两个纵向对称面内同时承受横向外力作用时，在线性弹性
4、且小变形情况下，可以分别按平面弯曲计算每一弯曲情况下横截面上的应力和位移，然后叠加。,10,第八章 组合变形及连接部分的计算,图示悬臂梁 x 截面上的弯矩和任意点C处的正应力为：,由于水平外力F1 由于竖直外力F2,弯曲正应力,弯 矩 My(x)=F1 x Mz(x)=F2 (x-a),11,这里弯矩的正负号系根据图b所示，由右手螺旋法则按它们的矢量其指向是否与y轴和z轴的指向一致来确定的。在F1和F2共同作用下x 截面上C 点处的正应力为,第八章 组合变形及连接部分的计算,12,利用上式固然可求算x 截面上任意点处的弯曲正应力，但对于图中所示那类横截面没有外棱角的梁，由于My 单独作用下最大
5、正应力的作用点和Mz 单独作用下最大正应力的作用点不相重合，所以还不好判定在My和Mz共同作用下最大正应力的作用点及其值。,第八章 组合变形及连接部分的计算,13,注意到在F1 作用下x 截面绕中性轴y 转动，在F2 作用下x 截面绕中性轴z 转动,可见在F1和F2共同作用下，x 截面必定绕通过y 轴与z 轴交点的另一个轴转动，这个轴就是梁在两个相互垂直平面内同时弯曲时的中性轴，其上坐标为y，z的任意点处弯曲正应力为零。,第八章 组合变形及连接部分的计算,14,故有中性轴的方程：,中性轴与y轴的夹角q（图a）为,第八章 组合变形及连接部分的计算,其中j 角为合成弯矩 与y的夹角。,15,第八章
6、 组合变形及连接部分的计算,这就表明，只要 IyIz ，中性轴的方向就不与合成弯矩M的矢量重合，亦即合成弯矩M 所在的纵向面不与中性轴垂直，或者说，梁的弯曲方向不与合成弯矩M 所在的纵向面重合。正因为这样，通常把这类弯曲称为斜弯曲（oblique bending）。,16,确定中性轴的方向后，作平行于中性轴的两直线，分别与横截面的周边相切，这两个切点（图a中的点D1，D2）就是该截面上拉应力和压应力为最大的点。从而可分别计算水平和竖直平面内弯曲时这两点的应力，然后叠加。,第八章 组合变形及连接部分的计算,17,(c),对于如图c所示横截面具有外棱角的梁，求任何横截面上最大拉应力和最大压应力时，
7、可直接按两个平面弯曲判定这些应力所在点的位置，而无需定出中性轴的方向角q。,工程计算中对于实体截面的梁在斜弯曲情况下，通常不考虑剪力引起的切应力。,18,对于图示悬臂梁，试问：,4. 该梁自由端的挠度（大小和方向）如何计算？,2. 在固定端处梁的中性轴又大致在什么方向？,3. 在固定端和F2作用截面之间，梁的中性轴的方向是否随横截 面位置变化？,1. 外力F2作用截面处梁的中性轴在什么方向？,思考:,第八章 组合变形及连接部分的计算,19,例题8-1 图示20a号工字钢悬臂梁（图a）上的均布荷载集度为q (N/m)，集中荷载为 。试求梁的许可荷载集度q。已知：a =1 m; 20a号工字钢：W
8、z=23710-6 m3，Wy=31.510-6 m3；钢的许用弯曲正应力s =160 MPa。,第八章 组合变形及连接部分的计算,20,( ),解：,1. 将集中荷载F 沿梁的横截面的两个对称轴分解为,( ),21,2. 作梁的计算简图（图b），并分别作水平弯曲和竖直弯曲的弯矩图My 图和Mz 图（图c ,d）。,第八章 组合变形及连接部分的计算,22,3. 确定此梁的危险截面。 A截面上My最大，MyA=0.642 qa2,该截面上Mz虽不是最大，但因工字钢WyWz ，故A截面是可能的危险截面。 D 截面上Mz 最大：,故D 截面也是可能的危险面。为确定危险截面，需比较A截面和D 截面上的
9、最大弯曲正应力。,MzD=0.456 qa2 ，,MyD= 0.444 qa2，,且,23,第八章 组合变形及连接部分的计算,由于 ，可见A截面为危险截面。危险点在A截面上的外棱角D1和D2处。,24,根据强度条件 ，有 （21.510-3)q 160106 Pa,4. 求许可荷载集度q。,于是有 q=7.44103 N/m =7.44 kN/m,从而得,第八章 组合变形及连接部分的计算,25,8-2+ 平面弯曲的条件,82中讨论的是具有双对称截面的梁在两个相互垂直的纵向对称面内同时发生弯曲的情况，其实质就是两个相互垂直的纵向面内平面弯曲的组合。,第八章 组合变形及连接部分的计算,26,现在的
10、问题是，如果梁的横截面只有一个对称轴（图a）而荷载作用在与对称轴垂直的方向，或者横截面根本就没有对称轴（图b），那么还会发生平面弯曲吗？荷载沿什么方向的形心轴时才会发生平面弯曲呢？这就要分析梁发生平面弯曲的条件。,第八章 组合变形及连接部分的计算,27,横截面如图a所示无对称轴的梁，如果横截面绕形心轴z转动发生平面弯曲，则根据平面假设，横截面上的正应力在与z轴垂直的y轴方向按线性规律变化（图b），即 ；,而这些正应力不应构成对y轴的力矩，故应有 ，亦即应有,第八章 组合变形及连接部分的计算,28,第八章 组合变形及连接部分的计算,由此可知，如果梁发生平面弯曲而z轴为中性轴，则必须满足,换句话说
11、，如果梁上的荷载所产生的弯矩作用在包含满足 的y轴的那个纵向面内，则与之垂直的形心轴z就是中性轴，梁发生平面弯曲。,反之如果荷载产生的弯矩作用在包含z轴的纵向面内，亦发生平面弯曲。,29,称为横截面对于一对相互垂直轴y , z的惯性积 （product of inertia）,用Iyz表示。,第八章 组合变形及连接部分的计算,而满足Iyz=0 且通过横截面形心的一对正交轴（y轴和z轴）称为形心主惯性轴（principal centroidal axis of inertia）。,横截面对于形心主惯性轴的惯性矩则称为形心主惯性矩(principal centroidal moment of in
12、ertia)。,30,显然当梁的横截面具有一个对称轴时，这个对称轴和它垂直的形心轴都是形心主惯性轴，外力产生的弯矩作用在包含其中任何一根轴的纵向面内时梁都发生平面弯曲。,下节讲述对于没有对称轴的截面确定主惯性轴和主惯性矩的相关问题。,第八章 组合变形及连接部分的计算,31,-4 惯性矩和惯性积的转轴公式 截面的主惯性轴和主惯性矩,在下面的分析中为使结果具有普遍性，坐标轴的原点O并不要求必须是形心C。此外，坐标轴按所用教材的附录I标为x轴和y轴。,第八章 组合变形及连接部分的计算,32,. 惯性矩和惯性积的转轴公式,第八章 组合变形及连接部分的计算,图示任意形状的截面，其面积A以及对于坐标轴x，
13、y的惯性矩Ix，Iy和惯性积Ixy为已知，现在来求截面对于绕原点O旋转a 角（以逆时针为正）后的坐标轴x1y1的惯性矩 , 和惯性积 。,33,第八章 组合变形及连接部分的计算,由图可见，截面上任一微面积dA在x,y和x1,y1两个坐标系中坐标的关系为,于是有,34,利用三角函数,由上式得,（a）,同理，根据,有,（b）,（c）,第八章 组合变形及连接部分的计算,式(a) ,(b) ,(c)就是惯性矩和惯性积的转轴公式。,35,1. 截面对于任何轴的惯性矩是否总是正值？截面对于相互垂直的一对轴的惯性积是否可能是负值？,思考:,2. 将惯性矩的转轴公式(a)和(b)相加可得到什么结论？这又意味着
14、什么？,3. 试利用 从基本概念上论证 (2)中的问题。,第八章 组合变形及连接部分的计算,36,. 截面的主惯性轴和主惯性矩,有,第八章 组合变形及连接部分的计算,截面对于通过任意点O的主惯性轴x0，y0的方向角 ，只需利用惯性积的转轴公式令 便可导出。由,37,以此代入惯性矩的转轴公式即得主惯性矩的计算公式：,第八章 组合变形及连接部分的计算,根据上式利用三角函数关系将 和 写为,38,（c）,与7-2中关于平面应力状态下求a 斜截面上正应力和切应力的公式完全相似：,（7-1）,（7-2）,第八章 组合变形及连接部分的计算,注意到惯性矩的转轴公式(a)和惯性积的转轴公式(c):,（a）,3
15、9,(Ix, Ixy),而惯性矩转轴公式(b)所示 的表达式实际上只需在 的表达式(a)中以(a +90)代替a 即得，这与求sa +90也完全相似。因此惯性矩和惯性积的转轴公式也可用与应力圆类似的一个圆惯性圆来表达。上述计算主惯性轴方向角和主惯性矩值的公式也就可根据惯性圆上的几何关系来记忆。,由惯性圆显然可见，主惯性矩 和 就是截面对于通过同一点的所有轴的惯性矩中的极大值Imax和极小值Imin。,40,第八章 组合变形及连接部分的计算,在确定截面的形心主惯性轴位置和计算形心主惯性矩时，须先确定截面的形心C的位置，并取一对通过形心而相互垂直的轴xC , yC作为参考轴，计算出 ， ， ，然后
16、求主惯性轴的方向角a0和主惯性矩 和 。,41,1. 试根据惯性积的转轴公式判断是否任何形心轴都是形心主惯性轴？,思考: 对于正方形截面:,2. 试根据惯性矩的转轴公式判断截面对于任何形心轴的惯性矩的值是否都是相等的？,第八章 组合变形及连接部分的计算,42,对于由若干基本几何图形组成的截面(例如图中所示者)，在求 , 和 时需要应用惯性矩和惯性积的平行移轴公式。前已在第四章中讲述了惯性矩的平行移轴公式及其应用。下面讲述惯性积的平行移轴公式。,第八章 组合变形及连接部分的计算,43,. 惯性积的平行移轴公式(参见教材附录I3 ),图示任意形状的截面对于坐标轴x,y的惯性积Ixy可以由截面对分别平行于x,y轴的形心轴xC，yC的惯性积IxC yC，以及截面形心C在x,y坐标系中的坐标 求出如下：,第八章 组合变形
