弹性体振动讲义

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1、,第7章 弹性体振动,当振动系统不能简化为有限个独立广义坐标表示的运动方程时，就必须按照连续系统进行分析。有些物理现象，只能用连续系统的模型才能清晰地描述。 离散系统的数学特征是用常微分方程来描述;而连续系统则必须用偏微分方程来描述。,7.1 引 言,7.1 引 言,同一振动系统可以简化为离散系统和连续系统两种数学模型，连续系统的数学模型可从相应的离散系统当自由度无限增多时的极限过程得到。 多自由度系统线性振动的一些重要性质和分析方法，可以推广到连续系统中。,7.1 引 言,7.2 弦的振动,设弦长度为l，单位长度的质量为r，轴向拉力为T，以变形前弦的方向为x轴，横向挠度u(x,t)设为小量。

2、对于长度为dx的微元体有,7.2 弦的振动,微振动时,并有,7.2 弦的振动,则,令,弦的振动方程，在数学上称为一维波动方程。,7.2 弦的振动,则方程变为,7.4 杆的纵向振动,7.4 杆的纵向振动,假设弹性杆在振动过程中杆的横截面保持为平面，并沿杆的轴线作平移运动，忽略轴向应力所引起的横向位移对纵向振动的影响。 设杆长为l，轴向坐标x，坐标原点取在杆的左端。杆的轴向刚度为EA，质量密度为r，轴向干扰力密度为f，轴向位移为u，轴向内力为p，它们均依赖于坐标x。,在x处取微段dx，画出该微段的分离体图，则运动方程为,即,7.4 杆的纵向振动,应用材料力学中轴向力与轴向变形的关系式,得到杆的纵向

3、强迫振动方程,（0xl）,7.4 杆的纵向振动,若令方程中的f(x,t)等于零，便得到自由振动方程,对于等截面、均质杆(均匀杆)，E、A均不依赖于x，自由振动方程简化为,7.4 杆的纵向振动,其中,c的量纲与速度的量纲相同。 显然上述方程也是一维波动方程，c是纵波的传播速率，它等于声波以杆的材料为介质的传播速率。,7.4 杆的纵向振动,7.5 轴的扭转振动,假设振动过程中每一横截面绕截面形心轴转动的角度q 作为广义坐标，横截面保持为平面，横截面上每一点的位移由q 唯一确定，扭转角q是空间坐标和时间的函数。,7.5 轴的扭转振动,在坐标x处截取微段dx，横截面上的扭矩为T，单位长度的圆轴对轴线的

4、转动惯量为J。微段的自由振动方程,即,7.5 轴的扭转振动,代入得,设G为杆的剪切弹性模量，Jp为横截面对扭转中心的极惯性矩，r为体积密度。扭矩T与扭转角q 的关系可从材料力学中得到,7.5 轴的扭转振动,注意到,当GJp为常量时，方程可写成,（0xl）,其中,上述方程也为一维波动方程，c是扭转波的传播速率。,7.5 轴的扭转振动,多自由度系统的固有振动，振动形态(各广义位移的相对大小)不依赖于时间，各广义位移均随时间同步变化，同时通过平衡位置，同时达到最大值。 对于连续体的波动方程，也假设具有同样的特征，因此可假设系统具有分离变量形式的解：,7.3 时间与空间变量的分离,7.3 时间与空间变

5、量的分离,代入自由振动的波动方程（以杆振动为例）,即,可得到,7.3 时间与空间变量的分离,上式右端只依赖于空间变量x，而左端仅依赖于时间t。因此，令等式两边均等于同一常数，记作w2，并假设为均匀杆，则得到下面两个独立方程：,7.3 时间与空间变量的分离,两个方程的解为,这里：F(x)称为系统的固有振型，w为固有频率。式中积分常数A与B的比值及固有频率由边界条件确定，而常数C和D则由初始条件确定。固有振型F(x)有一个常数因子不能确定，这和多自由度系统的情形一样。,7.3 时间与空间变量的分离,固有振型和固有频率,固有振型和固有频率,一维波动方程必须与指定的边界条件及初始条件一起才能构成定解问

6、题。和多自由度一样首先需要确定固有频率和振型。 以杆的纵向振动为例，给出常见的几种边界条件。 （1）两端固定：两端的轴向位移均等于零，边界条件为,（2）两端自由：两端的轴向力均等于零，边界条件为,（3）左端固定，右端弹簧：右端的轴向力等于弹簧力，边界条件为,固有振型和固有频率,（4）左端固定，右端集中质量m：右端的轴向力等于惯性力，边界条件为,还可以具有其他的边界条件。 通过边界条件就可以确定它们所描述的系统的固有频率与固有振型。,固有振型和固有频率,【例l】 求长为l 的均匀杆两端固定时的纵向振动固有频率与固有振型。 解:两端固定杆的边界条件为 u(0,t)=u(l,t)=0 即 F(0)=

7、F(l)=0 代入特征解,得,固有振型和固有频率,A不能等于0,因此必须满足,此式称为频率方程。由此可以解得系统无穷多个可数的固有频率,与wi对应的固有振型为,固有振型和固有频率,从固有振型的表达式可以看出，在,的点上F(i)(x)=0。系统作固有振动时，这些点是不动的，这样的点称为节点。第i阶固有振动具有i1个节点，这是带有普遍性的规律。,固有振型和固有频率,【例2】 左端固定，右端自由的均匀杆长度为l，在自由端带有集中质量M，求该系统纵向振动的固有频率与固有振型。 解:左端固定端杆的边界条件为u(0,t)=0，即F(0)=0，得B0 而右端的轴向力等于集中质量的惯性力，边界条件为,利用,固

8、有振型和固有频率,得关于固有振型的边界条件,代入特征解,及B0，得频率方程,其中,固有振型和固有频率,频率方程 xtanx h 是超越方程，其解必须用数值方法或查表得到。当依次计算出正根xi (i1,2,)后，即可计算出固有频率和相应的固有振型:,固有振型和固有频率,（2）MrAl时，h很小，x也很小，频率方程变为,固有频率为,这表明：若不计杆的质量，可视为一个无质量的，刚度为EA/l的弹簧，连接质量为M的单自由度振动系统。,固有振型和固有频率,讨论： （1）MrAl时，频率方程变为,根为,固有频率与相应的固有振型为,这就是左瑞固定右端自由的均匀杆在自由端不带集中质量时的固有频率与固有振型。,

9、固有振型和固有频率,T7-8 一杆右端固定，左端附有一集中质量M，在M上受到弹性系数为k的弹簧和阻尼系数为c的粘性阻尼约束，试写出杆纵向振动的边界条件。 解:右端固定，杆的边界条件为 u(l,t)=0，即F(l)=0； 而左端的轴向力等于集中质量的惯性力+弹性力+阻尼力，则边界条件为,固有振型和固有频率,得边界条件,利用,作业：T7-3,固有振型和固有频率,振型函数的正交性,分别用Fj，Fi左乘上式两端，并积分,振型函数的正交性,一维波动方程 振型函数的正交性,和离散系统类似，一维波动方程的振型函数也有正交性。以杆的振动为例，第i，j阶振型函数满足,振型函数的正交性,考虑杆端为固定或自由的情况

10、，此时,两式相减得：,即：,ij时：,振型函数的正交性,利用前面的式子知,则：,ij时：,一维波动方程的响应求解,一维波动方程的响应求解,1. 振型叠加法 和离散系统类似，一维波动方程的响应求解也用振型叠加法,2. 标准坐标（正则坐标） 对振型函数按下式条件正则化,一维波动方程的响应求解,3. 对初始激励的响应 设初始条件为,将其按标准振型展开,一维波动方程的响应求解,用rAFj左乘上两式，并积分得,标准坐标下的初始激励响应,一维波动方程的响应求解,物理坐标下的响应,响应求解步骤： （1）根据边界条件求解固有频率和固有振型; （2）利用标准化条件确定振型中的常数因子; （3）将初始条件变换到标

11、准坐标; （4）求标准坐标下的响应; （5）求物理坐标下的响应。,【例7-4-1】左端固定，右端自由的均匀杆，在自由端作用一轴向拉力P。在时间t=0时，突然将P力卸除，试求系统对此初始条件的响应。,解： （1）固有频率与相应的固有振型为,一维波动方程的响应求解,（2）由正规化条件 确定系数Ci,求得,所以,一维波动方程的响应求解,（3）初始条件。按题意，t0时的位移为杆在轴向力P作用下产生的静位移，初始速度为零，因此,变换到标准坐标下,一维波动方程的响应求解,（4）主坐标下的响应,（5）广义坐标下的响应,一维波动方程的响应求解,作业：7-20,一维波动方程的响应求解,4. 对外激励的响应 （1

12、）分布干扰力 设干扰力密度为f(x,t), 前面已经得到杆的纵向强迫振动方程,将分离变量解 代入上式得,（0xl）,一维波动方程的响应求解,用Fj乘上式并积分，利用正交性得,一维波动方程的响应求解,若对Fi标准化，则Mi1，即得到标准坐标下的解耦方程,利用杜哈美积分得,响应为,一维波动方程的响应求解,（2）集中荷载 设在xx1处受集中力F(t), 这时可以用d函数表示为分布形式：F(x,t)dxd(x-x1), 方程变为,响应为,【例】左端固定，右端自由的均匀杆，突然受到强度为F0的均布荷载作用，求响应。,解： （1）固有频率与相应的固有振型为,一维波动方程的响应求解,（2）由正规化条件 确定

13、系数Ci,求得,所以,一维波动方程的响应求解,（3）计算响应,一维波动方程的响应求解,则,一维波动方程的响应求解,【例】左端固定，右端自由的均匀杆，在自由端受到大小为F0的集中荷载作用，求响应。,解： 利用前面的结果，带公式求解,一维波动方程的响应求解,作业：7-7,设梁的长度为l，弯曲刚度为EI，质量密度为r，f 表示作用在单位长度梁上的横向干扰力。EI、 r 、f均是坐标x的函数。,7.6 梁的横向振动,u,7.6 梁的横向振动,7.6 梁的横向振动,仅讨论梁在主平面内的平面弯曲振动。这种振动只有当梁存在主平面的情形才能发生，并符合材料力学中梁弯曲的小变形假设和平面假设。,运动微分方程(P

14、203),在梁的主平面上取坐标xoz，原点位于梁的左端截面的形心，x轴与梁平衡时的轴线重合。假设梁在振动过程中，轴线上任一点的位移u(x,t)均沿z轴方向。,取微段梁dx，截面上的弯矩与剪力为M和Q，其正负号的规定和材料力学一样。,则微段梁dx沿z方向的运动方程为：,7.6 梁的横向振动,即,利用材料力学中的关系,7.6 梁的横向振动,得到梁的弯曲振动方程,边界条件(P204),和一维波动方程一样，要使弯曲振动微分方程成为定解问题，必需给出边界条件和初始条件。 梁的每一端必须给出两个边界条件(以左端为例)。 （1）固定端：挠度和转角为0，即,7.6 梁的横向振动,（2）简支端：挠度和弯矩为0，

15、即,（3）自由端：弯矩和剪力为0，即,其它边界条件用类似的方法给出。,7.6 梁的横向振动,梁弯曲自由振动的解(P204),令振动方程中的干扰力为0，得到,7.6 梁的横向振动,对于均匀梁，振动方程为,其中,假定有分离变量形式的解存在，令,代入方程得到,写为,7.6 梁的横向振动,则有,7.6 梁的横向振动,其中,（称为特征方程）,方程的通解为,7.6 梁的横向振动,由特征方程，利用边界条件即可求出振型函数F(x)和频率方程，进一步确定系统的固有频率wi。用四个边界条件只能确定四个积分常数之间的比值。,【P205 7.6.1】求简支梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 解：边界条件为挠度和弯矩为0

16、,代入特征方程的解,以及,7.6 梁的横向振动,得到,以及,则,则,以及频率方程,由此解得,7.6 梁的横向振动,所以固有频率,振型为,第i阶振型有i1个节点。节点坐标,即,7.6 梁的横向振动,【P206 7.6.2】求两端固定梁弯曲振动的固有频率与固有振型。 解：边界条件为挠度和转角为0,代入特征方程的解得到,7.6 梁的横向振动,以及,化简后得到频率方程,求得,7.6 梁的横向振动,求出b后得到固有频率,振型为,7.6 梁的横向振动,【例】求左端固定、右端用刚度为k的弹簧支承的均匀梁弯曲振动的频率方程。,解：左端的边界条件为挠度和转角为0,7.6 梁的横向振动,右端的边界条件：弯矩为0，剪力等于弹性力,代入特征方程的解,以及,7.6 梁的横向振动,进一步化简后得到频率方程,求出b后得到固有频率,振型为,7.6 梁的横向振动,将边界条件代入得到,求得,7.6 梁的横向振动,讨论： （1）k0时，频率方程变为,即为悬臂梁的情况。,（2）k趋于无穷大时，频率