第3章 正弦稳态交流电路 3.1 正弦量的三要素与有效值 3.2 正弦量的相量表示法及相量电路模型 3.3 简单正弦交流电路的分析 3.4 正弦交流电路中的功率 3.5 正弦交流电路中的谐振 3.6 三相交流电路 本章小结,3.1 正弦量的三要素与有效值 3.1.1 正弦量的三要素 随时间按正弦规律变化的电压和电流等物理量统称为正弦量正弦电流的波形如图3.1(a)所示，其函数表达式为 (3.1) (a) (b) 图3.1 正弦量 图中正半波表示电流的实际方向与参考方向一致；负半波表示电流的实际方向与参考方向相反图3.1(a)与图3.1(b)波形的区别在于选取了不同的坐标原点（即计时起点），计时起点可以任意选取图3.1(b)的波形,,,表达式为 (3.2) 上式中i表示某时刻t的电流值，称为瞬时值 称为正弦电流的幅值（也称最大值）, 称为角频率， 称为初相位几种不同计时起点的正弦电流波形如图3.2所示 图3.2 几种不同计时起点的正弦电流波形,,,,,一个正弦量在参考方向确定的条件下，可由频率、幅值和初相位完全确定，这三个参数称为正弦量的三要素，下面分别讨论它们。
1. 周期、频率、角频率 周期、频率、角频率分别用字母Ｔ， 和 表示，其单位分别为秒（s）、赫兹（Hz）和弧度／秒（rad/s），它们都是表示正弦量变化快慢的参数有关它们的定义在物理学中已讨论，在此不重复Ｔ、 和 三者的关系是： 各种技术领域使用不同频率的交流电我国电力工业标准频率（简称工频）为50Hz；美国和日本的工频为60Hz；电子技术中所用的音频频率一般在20Hz～20KHz范围；无线电的频率高达500KHz～3×105MHz 2. 幅值 瞬时值中的最大值称为幅值对于给定的正弦量，其幅值是一个定值，用带下标m的大写字母表示，例如 、 、 分别表示正弦电流、电压和电动势的幅值幅值（最大值）是用来表示正弦量大小的参数 3. 相位、初相位和相位差 式（3.1）和式（3.2）中 和（ ）称为正弦量的相位角，简称相位，相位确定正弦量变化的瞬时状态，其单位为弧度（rad），有,,,,,,（3.3）,,,,,,时为了方便也可以用度（ ） t=0时的相位称为初相位在式（3.1）中初相位为零，而式（3.2）中的初相位为 正弦量的初相位与计时起点的选取有关，但计时起点一旦选定，正弦量的初相位就唯一确定。
如果计时起点与正弦量正半波的起点重合，则初相位 ，如图3.2(a)所示，电流初相位 ； 初相位 ； 初相位 ； 初相位 两个同频率正弦量的相位之差称为相位差，用 表示，例如：图3.2中 、 表达式分别为 它们的相位差为 从上述分析中可见：两个同频率的相位差等于它们初相位之差，是不随时间改变的常量 一般情况下电压、电流瞬时表达式分别表示为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,则它们的相位差为 当 时，则称u超前i为 度，或称i滞后u为 度，其意义是u比i先到达最大值或先到达零值当 0时，则称u滞后i为 度，或称i超前u为 度 例如图 3.3所示相位差的几种情况，若两个同频率正弦量的相位差为零，即 =0时，称之为同相，如图 3.3(a)所示；如图 3.3(b)所示，因为相位差 ，所以 超前角度为 ；若相位差 = 时，称之为反相，如图 3.3(c)所示；若相位差为 ，即 时，称之为正交，如图 3.3(d)所示图 3.3 相位差的几种情况,例3.1 已知通过某支路的正弦电流，参考方向如图3.4所示，其 ，而初相位 。
试写出电流的瞬时表达式，并求当 s和 s时电流的瞬时值的大小和实际方向 解 首先求出该电流的角频率为 图3.4 例3.1的图 故电流瞬时表达式为 当 s时 i为负值，表示电流实际方向与参考方向相反 当 s时 i为正值，表示电流实际方向与参考方向一致例 3.2 已知在选定参考方向的条件下，正弦量的波形如图3.5所示, 试写出正弦量的解析式 图 3.5 例3.2的 图 解,例3.3 已知正弦电压 ，正弦电流 求它们的相位差，并说明谁超前，谁滞后？ 解 由于u ，i为同频率正弦量，所以它们可以进行相位比较 因为 故有 相位差为 ，即u超前i 为1 3.1.2 正弦量的有效值 1. 有效值的定义 正弦交流电压和电流的大小随时间变化而变化，通常我们说某交流电压为多少伏，某交流电流为多少安，都是指有效值而言交流电的有效值一般用大写字母表示，如E、U、I分别表示电动势、电压和电流的有效值交流电流的有效值是根据电流热效应来确定的在图3.6中，两个阻值相同的电阻分别通过直流电流I和正弦交流电流i，如在相同时间内（交流电的一个周期T时间内），电阻所消耗的电能是相等的，则这时直流电流I的值称为交流电流的有效值。
在一个周期T内，交流电流在电阻上消耗的电能为 在相同时间内，直流电流在电阻上消耗的电能为 令上两式相等，即 则交流电流有效值的定义为 图 3.6 交流电流的有效值定义 （3.4） 式（3.4）适应一切周期量，它又叫方均根值 2. 正弦量的有效值 对于正弦电流 的有效值为,,,,,,,,故 (3.5) 同理，正弦电压和电动势的有效值分别为 请注意：上述有效值与最大值的关系式只适用于正弦量有效值应用很广，例如，用交流电表测得的电流和电压值为有效值；各种交流电气设备铭牌上所标的电压和电流值也是有效值只有在说明某些电气设备的耐压等场合时才用到最大值 例3.4 已知某正弦电流，当t=o时，其值i(0)=1A，并已知初相位为 ，试求该电流的最大值和有效值 解 根据题意，写出正弦电流的瞬时表达式为： 当t=0时,,,,,,,故得最大值 所以有效值为 例3.5 电容器的耐压值为 250V，问能否用在220V的单相交流电源上？ 解 因为 220V的单相交流电源为正弦电压, 其振幅值为311 V，大于其耐压值250V，电容可能被击穿, 所以不能接在220 V的单相电源上。
各种电器件和电气设备的绝缘水平（耐压值）, 要按最大值考虑 例 3.6 一个正弦电压的初相为60, 有效值为100V，试求它的解析式 解 因为电压有效值U=100V, 所以其最大值为 ，则电压的解析式为 3.2 正弦量的相量表示法及相量电路模型 3.2.1 复数的复习 1. 复数 在数学中常用 表示复数其中a为实部， b为虚部， 称为虚单位在电工技术中，为区别 于电流的符号，虚单位常用j表示复数的矢量表示如图3.8所示它们之间的关系为 图3.8 复数的矢量表示,,,,2. 复数的四种形式 一个复数A可表示为下面几种形式： A = a+jb ，或 A= ， 或 A= ，或 A= 它们分别称为复数A的代数形式、指数形式极坐标形式和三角形式a和b分别为复数的实部和虚部， 和 分别为复数的模和幅角 例 3.7 写出复数A1=4－j3，A2=－3＋j4的极坐标形式 解 A1的模 ； 辐角 ， 则A1的极坐标形式为 。
A2的模 ；辐角 ， 则A2的极坐标形式为 例 3.8 写出复数 的三角形式和代数形式 解 三角形式 A=100（cos30°+jsin30°） 代数形式 A=100(cos30°+jsin30°)=86.6+j50,,,,,,,,,,,,,3. 复数的四则运算 (1) 复数的加减法 设 则 复数的乘除法 例3.9 已知复数A=3+j5,B=4-j3，求它们的和、差、积和商 解 因为 A=3+j5= ；B=4－j3= 所以： A+B=(3+j5)+(4-j3)=(3+4)+j (5-3)=7+j2 A－B=(3+j5)－(4－j3)=(3－4)+j (5+3)=－1+j8,,,,,,,,3.2.2 正弦量的相量表示法 一个正弦量是由它的幅值，频率和初相位三要素决定的可以证明，性正弦交流电路中，各处的电压和电流都是与电源同频率的正弦量，而电源的频率一般是已知的因此，计算正弦交流电路中的电压和电流，可归结于计算它们的幅值和初相位，即在频率已知的情况下，正弦量就由幅值和初相位所确定。
而一个复数是由模和幅角来确定，所以，可以用复数来表示正弦量，即用复数的模来表示正弦量的幅值（或有效值）；用复数的幅角来表示正弦量的初相位为了与一般复数相区别，我们把表示正弦量的复数称为相量下面介绍正弦量的相量表示法由欧拉公式有 分析上式，对于正弦电流可表示为 (3.6) 式中 (3.7) 式(3.6) 中 表示取其虚部式(3.7) 就是正弦电流的相量表示形式即 = (3.8) 或 = （3.9）,,,,,,,,,式(3.8)称为正弦电流i的幅值相量；式（3.9）称为正弦电流i的有效值相量它们之间的关系为 (3.10) 在电路分析中，一般采用有效值相量同理，对于正弦电压： u = （3.11） 用相量表示为 = (3.12) 或 = (3.13) 用相量表示正弦量时，应注意二点： 用相量表示正弦量时，应注意二点： (1)相量只包含正弦量的幅值（或有效值）和初相位，因此相量只是表示正弦量，而不等于正弦量；(2) 用相量表示正弦量前，一般要把正弦量化成像式（3.2）和式(3.11)这样的标准形式，再用相量表示之。
否则，相量的幅角（正弦量的初相位）就会出错 图3.9 相量图 图3.10 例3.10的相量图,,,,,,,因为相量就是一个复数，所以，相量可以在复平面上用一段有向线段来表示；有向线段的长度就是正弦量的幅值（或有效值）；有向线段与实轴的夹角表示正弦量的初相位这种表示相量的图形称为相量图，如图3.9所示在相量图上，可以清晰地看出各个相同频率正弦量的大小和相位关系，例如：图3.9中电压超前电流的相位角为（ ） 例3.10 已知正弦量 ； 试分别写出它们对应的有效值相量，并作相量图 解 V 但 不是正弦量的标准形式，故先把它们化为标准形式 =10 =10 对应的相量表示为： =10 相量图如图3.10所示 例3.11 已知 =10 。