复杂控制算法剖析

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1、计算机控制系统,第6章 复杂控制算法,6.1 数字控制器设计原理,Go(s)是被控对象的连续传递函数，D(z)表示数字控制器，Gh(s)是零阶保持器，采样周期为T。,图6-1计算机控制系统框图,广义对象的脉冲传递函数定义G(z)为 则图6-1对应的闭环脉冲传递函数为,(6-1),(6-2),与对象结构有关的设计方法，即按照某一期望的闭环传递函数(z)来设计数字控制器D(z)。这时，D(z)的结构将依赖于广义对象G(z)的结构。 因为G(z)和(z) 已知，故由式(6-2)可求得,(6-3),数字控制器的设计步骤如下： 1) 根据式(6-1)求广义对象的脉冲传递函数G(z) 2) 根据控制系统的

2、性能指标要求和其他约束条件，确定闭环脉冲传递函数(z) 3) 根据式(6-3)求取数字控制器的脉冲传递函数D(z) 4) 根据D(z)导出控制器的输出u(k),设数字控制器的一般形式为 则,(6-4),(6-5),由此可得数字控制器输出的时间序列为 按照式(6-6)，就可编写出控制算法程序。,(6-5),(6-6),6.2 最小拍控制系统的设计,6.2.1 最小拍控制原理,在数字控制系统中，通常把一个采样周期称为一拍。 所谓最小拍控制，是指系统在某种典型输入信号（如阶跃信号、速度信号、加速度信号等）作用下，经过最少的采样周期使得系统输出的稳态误差为零。 最小拍控制系统也称最小拍无差系统或最小拍

3、随动系统。显然这种系统对闭环脉冲传递函数的性能要求是快速性和准确性。事实上最小拍控制就是一类时间最优控制，系统的性能指标就是要求调节时间最短。,1. 最小拍控制系统的设计 由图6-1可知，误差的脉冲传递函数为 由误差表达式 可知，要实现无静差、最小拍，E(z)应该在最短时间内趋近于零，即E(z)应为有限项式。因此，在输入R(z)一定的情况下，必须对e(z)提出要求。,(6-7),(6-8),(6-9),单位阶跃输入,单位速度输入,单位加速度输入,由此可得典型输入Z变换的一般形式：,其中A(z)是不含有(1-z-1)因子的z-1的多项式,根据Z变换的终值定理，系统的稳态误差为 显然，要使稳态误差

4、为零，e(z) 必须含有(1-z-1)因子，且其幂次数不能低于q，即 式中，Qq，F(z)是关于z-1的有限多项式。,(6-10),为了实现最小拍，e(z)中的z-1幂次须为最低。 令Q=q，F(z)=1 则所得e(z) 既可满足准确性，又可满足快速性要求，于是：,(6-12),(6-11),2. 典型输入下最小拍控制系统分析,1) 单位阶跃输入 即， 这说明一个采样周期后，系统在采样点上不再有偏差，这时过渡过程时间为一拍。,2) 单位速度输入 即， 这说明经过两拍以后，偏差采样值达到并保持为零，过渡过程时间为两拍。,3) 单位加速度输入 即， 这说明经过三拍以后，输出序列不会再有偏差，过渡过

5、程时间为三拍。,例6.1 被控对象的传递函数和零阶保持器的传递函数分别为,采样周期T=0.5s，当输入为单位速度函数时，试设计最小拍控制系统。,图6-2 按单位速度输入设计的最小拍控制器对不同输入的响应曲线 a) 单位阶跃输入 b) 单位速度输入 c) 单位加速度输入,3最小拍控制器设计的限制条件,(1) 稳定性 闭环控制系统必须是稳定的。 只有广义对象的脉冲传递函数是稳定的（即在Z平面单位圆上和圆外没有极点），且不含有纯滞后环节时，上述方法才能成立。 如果不满足稳定条件，则应对设计原则作相应的限制。由式(6-2)可以看出，D(z)和G(z)总是成对出现的，但却不允许它们的零点、极点相互对消。

6、,(2) 物理可实现性 D(z)必须是物理可实现的，即当前时刻的输出只取决于当前时刻及过去时刻的输入，而与未来的输入无关。在控制算法中，不允许出现未来时刻的偏差值，这就要求数字控制器D(Z)不能有z的正幂项。假定对象有d个采样周期的纯滞后，即 而我们所期望的闭环Z传递函数的一般形式为,显然，要使D(z)可以实现，必须有 这时，(z)应具有形式 由此可知，在最小拍控制中，期望的(z) 要在对象纯滞后的基础上加以确定，即,根据上面的分析，设计最小拍系统时，考虑到系统的稳定性和控制器的可实现性，必须考虑以下几个条件： 1) 为实现无静差调节，选择e(z) 时，必须针对不同的输入选择不同的形式，通式为

7、 2) 为实现最小拍控制，F(z)应该尽可能简单，F(z)的选择要满足恒等式： (z) + e(z) =1 3) 为保证系统的稳定性，e(z)的零点应包含G(z)的所有不稳定极点； 4) 为保证控制器D(z)物理上的可实现性，G(z)的所有不稳定零点和滞后因子均包含在闭环脉冲传递函数(z) 中。,(6-14),6.2.2 最小拍控制器设计的稳定性问题,按照例6-1的方法设计的最小拍系统，闭环Z传递函数(z) 的全部极点都在z=0处，因此系统输出值在采样时刻的稳定性可以得到保证。但系统在采样时刻的输出稳定并不能保证连续物理过程的稳定。如果控制器D(z)选择不当，极端情况下控制量u就可能是发散的，

8、而系统在采样时刻之间的输出值以振荡形式发散，实际连续过程将是不稳定的。,例6.2 图6-1所示的系统中，被控对象的传递函数和零阶保持器的传递函数分别为 采样周期T=1s，当输入为单位阶跃函数时，试设计最小拍控制系统。,图6-1计算机控制系统框图,解 首先求取广义对象的脉冲传递函数,按例6-1的解法，因输入是单位阶跃，故 则 由此可导出输出量及控制量,从零时刻起的输出系列为0，1，1，表面上看起来输出可一拍后到达稳态，但控制器输出序列为3.744，-16.1，46.96，-130.985，呈现振荡发散，这必然导致对象的实际输出是振荡发散的，所以实际过程是不稳定的，如图6-3所示。,图6-3 不稳

9、定的最小拍系统波形 a)系统输出 b)控制量输出,由图6-1可得， ， 即 如果对象G(z)的所有零点都在单位圆内，则控制器是稳定的。若G(z)带有在单位圆上和圆外的零点 则为保证其稳定性，(z)必须含有相同的零点，即,图6-1计算机控制系统框图,(6-15),于是，根据 选取F(z)时，就不能简单地令F(z)=1而应根据(z)中z-1的幂次确定F(z)的次数。,上例中，由于对象G(z)有一个在单位圆外的零点 z=2.78，对于单位阶跃输入，若选取 并令 由此可解出,即控制器输出是收敛的，其输出时间序列为 1，1.486，0.5832，0.1166， 系统输出为,图6-4 稳定的有波纹最小拍系

10、统波形 a)系统输出 b)控制量输出,6.2.3 无纹波最小拍控制系统设计,无纹波最小拍控制系统的设计，是对期望闭环响应(z)进行修正，以消除采样点之间的输出纹波。因此，除了选择(z)以保证控制器的可实现性及闭环系统的稳定性外，还应将被控对象G(z)在单位圆内的非零零点包括在(z)中，以便对消控制器中引起振荡的所有极点，使得输出纹波得以消除。但这也增加(z)中z-1的幂次，从而延长了调整时间。 例6-2的输出有纹波（见图6-4），主要是由于对象传递函数有一个零点z=0.2，从而使控制器有一极点z=0.2，造成了控制量的上下波动。,为了消除纹波，令 在对单位阶跃输入作最小拍设计时，应满足 由此可

11、解出： 控制器为 控制器输出为 当输入为单位阶跃时,图6-5 无波纹最小拍系统波形 a)系统输出 b)控制量输出,有波纹最小拍系统波形,无波纹最小拍系统波形,6.2.4 有限拍控制,在最小拍设计的基础上，如果把闭环Z传递函数(z)中的z-1幂次适当提高一到二阶，闭环系统的脉冲响应将比最小拍时多持续一到二拍才归于零。这时显然已不是最小拍系统，但仍为一有限拍系统。在这一系统的设计中，由于维数的增高，将使我们在选择(z)及e(z) 中的若干待定系数时增加一些自由度。一般情况下，这有利于降低系统对参数变化的敏感性，并减小控制作用。,以一阶对象为例说明这一设计方法，设采样周期T=1s，且单位反馈系统的对

12、象传递函数 如果选择单位速度输入设计最小拍控制器，按例6-1，则 ，由此得到数字控制器 这时，系统对单位速度输入具有最小拍响应，如图6-2b。,(6-16),如果被控对象的时间常数发生变化，使对象Z传递函数变为 则闭环Z传递函数将变为,(6-17),在单位速度输入时 输出值系列为0，0，2.4，2.4，4.44，4.56，6.384，6.648，显然与期输出望值0，1，2，3，相差较大，如图6- 6所示。,图6-6 参数变化时系统响应变差,针对这种情况，在设计输入为单位速度的最小拍控制器时，如果不是取F(z)=1，而是取F(z)=1+0.5z-1（0.5是自由选择的），那么可以得到 由此可求出

13、 相应的有限拍控制器的Z传递函数为,对单位速度输入的响应为 系统输出在三拍后准确跟随单位速度变化，所需拍数比最小拍时增加了一拍。 当系统参数变化引起对象传递函数变为式(6-17) 所示的 时，闭环传递函数为,对单位速度输入的响应为 输出系列为0，0，1.8，2.88，3.828，5.027，5.959，如图6-7所示。与最小拍控制的图6-6相比，控制系统对于参数变化的灵敏度显然降低了。,图6-7 增加调整时间后的系统响应,图6-6 参数变化时系统响应变差,Simulink仿真如图6-8所示，这是降低参数变化灵敏度的系统。,图6-8 离散控制系统仿真图,6.2.5 惯性因子法,惯性因子法是针对最

14、小拍系统只能适用于特定的输入类型，而对其它输入不能取得满意效果而采用的一种改进方法。它以损失控制的有限拍无差性质为代价，而使系统对多种类型输入有较满意的响应。这一方法的基本思想，是使误差对系统输入的Z传递函数不再是最小拍控制中的z-1有限多项式 ，而是通过一惯性因子项 将其修改为,闭环系统 不再为z-1的有限多项式。这表明，采用惯性因子法后，系统已不可能在有限个采样周期内准确到达稳态，而只能渐近地趋于稳态，但系统对输入类型的敏感程度却因此降低。通过选择合适的参数c，它可对不同类型的输入均作出较好的响应。,(6-18),仍以式（6-16）所描述的一阶对象为例，先按单位速度输入设计最小拍控制系统，

15、然后将期望的闭环传递函数由 改变为式(6-18)的形式，并取c=0.5，即 由此可得数字控制器为,系统对单位阶跃输入的响应为 这表明在期望值突变时，输出渐近地趋于期望值，系统输出如图6-9a所示。 系统对单位速度输入的响应为 系统输出如图6-9b所示，可见经过四拍后，系统输出基本跟踪上期望输出。,图6-9 用惯性因子法改善系统对不同类型输入的响应 a) 单位阶跃输入 b) 单位速度输入,图6-2 按单位速度输入设计的最小拍控制器对不同输入的响应曲线 a) 单位阶跃输入 b) 单位速度输入 c) 单位加速度输入,图6-9 用惯性因子法改善系统对不同类型输入的响应 a) 单位阶跃输入 b) 单位速度输入,6.3 纯滞后控制,在工业过程（如热工、化工）控制中，由于物料或能量的传输延迟，使得被控对象具有纯滞后性质，对象的这种纯滞后性质对控制性能极为不利。当对象的纯滞后时间与对象的时间常数T之比，即/T0.5时，采用常规的PID 控制会使控制过程严重超调，稳定性变差。 早在20世纪50年代，国外就对工业生产过程中的纯滞后对象进行了深入的研究。,6.3.1 施密斯(Smith)预估控制,1. 施密斯预估控制原理 在图6-10所示的单回路控制系统中，D(s)表示调节器的