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1、第3章 空间向量与立体几何,31 空间向量及其运算 31.1 空间向量及其加减运算,学习目标 1.了解空间向量的概念，掌握空间向量的几何表示和字母表示 2掌握空间向量的加减运算及其运算律，理解向量减法的几何意义,课堂互动讲练,知能优化训练,3.1.1空间向量及其加减运算,课前自主学案,课前自主学案,1平面上有_和_的量叫做向量，方向_且模_的向量称为相等向量 2向量可以进行加减和数乘运算，向量加法满足_律和_律,大小,方向,相同,相等,交换,结合,1空间向量 (1)空间向量的定义 在空间，把具有_和_的量叫做空间向量,向量的_叫做向量的长度或模 (2)空间向量及其模的表示方法 空间向量用有向线
2、段表示，有向线段的 _表示向量的模如图，a的起点是A，终点是B，则a也可记作_，其模记为_或_.,大小,方向,大小,长度,|a|,(3)特殊向量,长度为0,模为1,相等,相反,相同,相等,同向,等长,a,0,ab,ab,ba,a(bc),空间两向量的加减法与平面内两向量的加减法完全一样吗？ 提示：一样因为空间中任意两个向量均可平移到同一个平面内，所以空间向量与平面向量加减法均可以用三角形或平行四边形法则，是一样的.,课堂互动讲练,只要两个向量的方向相同、模相等，这两个向量就相等，起点和终点未必对应相同，即起点和终点对应相同是两个向量相等的充分不必要条件,【答案】 B,(1)计算两个空间向量的和
3、或差时，与平面向量完全相同运算中掌握好三角形法则和平行四边形法则是关键 (2)计算三个或多个空间向量的和或差时，要注意以下几点： 三角形法则和平行四边形法则； 正确使用运算律； 有限个向量顺次首尾相连，则从第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的向量即表示这有限个向量的和向量,31.2 空间向量的数乘运算,课前自主学案,1空间向量加法运算满足_和_ 2以前学过的平面向量中有关向量的数乘运算，所谓平面向量的数乘运算就是：实数与平面向量a的乘积a仍然是一个_，还学过平面中两向量共线的充要条件，其具体内容为：在平面内存在_，使得_成立,结合律,交换律,向量,惟一实数,ab(b0),1空间向量的数乘运
4、算 (1)定义：实数与空间向量a的乘积a仍然是一个_，称为向量的数乘运算 (2)向量a与a的关系,向量,相同,相反,|倍,ab,(a)()a,2共线向量与共面向量 (1)共线向量 定义：表示空间向量的有向线段所在的直线_ _，则这些向量叫做_或平行向量； 充要条件：对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使_. (2)共面向量 定义：平行于_的向量叫做共面向量 充要条件：若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y),使_.,共线向量,同一个平面,ab,pxayb,2空间的两非零向量a，b共面，能否推出ab(R)? 提示：不能推出a
5、b.因空间中任意两向量都共面，a，b共面未必有ab，则不一定有ab.,提示：能判定P、A、B共线,课堂互动讲练,空间向量的数乘运算与平面向量的数乘运算没有什么区别，只是将适用范围由平面推广到了空间运算要正确地使用向量加法和减法的平行四边形法则和三角形法则，以及准确使用运算律,【思路点拨】 解答本题需准确画图，先利用三角形法则或平行四边形法则表示出指定向量，再根据对应向量的系数相等，求出x、y的值即可,判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使axb成立，或充分利用空间向量的运算法则，结合具体的图形，通过化简、计算得出axb，从而得出ab即a与b共线,证明三个向量共面的常用方法：(1)设法证
6、明其中一个向量可表示成另两个向量的线性组合；(2)寻找平面，证明这些向量与平面平行,【思路点拨】 利用向量共面的充要条件或向量共面的定义来证明,1向量共线的充要条件及其应用 (1)空间共线向量与平面共线向量的定义完全一样，当我们说a，b共线时，表示a，b的两条有向线段所在直线既可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说ab时，也具有同样的意义 (2)“共线”这个概念具有自反性(aa)，也具有对称性，即若ab，则ba. (3)如果应用上述结论判断a，b所在的直线平行，还需说明a(或b)上有一点不在b(或a)上,(2)共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，即任意一个空间平面可以由空间一点及
7、两个不共线的向量表示出来，它既是判断三个向量是否共面的依据，又可以把已知共面条件转化为向量式，以便于应用向量这一工具,31.3 空间向量的数量积运算,课前自主学案,夹角,数量积,|a|b|cos a，b,a，b,abba,(ab),a(b),ab,a，b,0，,2空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab. (2)数量积的运算律：,(ab),ba,abac,1a，b与b，a的关系是怎样的？a，b与a，b的关系呢？ 提示：a，bb，a；a，ba，b 2(1)两个向量a、b垂直的充要条件是ab0，对吗？ (2)若ab0，则a0或b0，
8、对吗？ 提示：(1)不对；(2)不对,课堂互动讲练,在几何体中进行向量的数量积运算，要充分利用几何性质，把待求向量用已知夹角和模的向量表示后再进行运算在解题过程中注意适当地设向量，以简化步骤,【思路点拨】,已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值,互动探究2 在上面的空间四边形中，求OA与BC所成的角,已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都是a，点M、N分别是边AB、CD的中点，求MN的长,证明两直线的垂直可以转化为证明这两直线的方向向量垂直，将两个方向向量表示为几个已知向量a，b，c的线性形式，然后利用数量积说明两直线
9、的方向向量垂直，进而转化为直线垂直,在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O平面GBD.,【思路点拨】 设法证明A1O与平面GBD内的两相交直线垂直,变式训练3 在三棱锥SABC中，SABC，SBAC，求证：SCAB.,1对向量数量积的理解 (1)ab是数量而不是向量，ab的正负由cosa，b确定 (2)ab是两向量之间的一种乘法，与数的乘法不同书写时应写成ab，而不能写成ab. (3)ab的几何意义为：ab等于a的模|a|与b在a方向上的投影|b|cosa，b的乘积，也等于向量b的模|b|与a在b方向上的投影|a|cosa，b的乘积 (4)零向
10、量与任何向量的数量积都为0，即0a0.,31.4 空间向量的正交分解及其坐标表示,课前自主学案,1平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且仅有一对实数1,2,使 _成立，不共线的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组_ 2在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量_,不共线,基底,正交分解,a1e12e2,1空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c_，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x，y，z,使得p_,其中a，b，c叫做空间的一个_，a，b，c都叫做_,不共面,基底,基向量,xaybzc,2空间向量的正交分解
11、及其坐标表示,两两垂直,公共起点O,e1，e2，e3,平移,起点,x，y，z,p(x，y，z),xe1ye2ze3,1空间的基底是惟一的吗？ 提示：由空间向量基本定理可知，任意三个不共面向量都可以组成空间的一个基底，所以空间的基底有无数个，因此不惟一 2空间向量基本定理中，当z0时，是什么定理？ 当yz0时，是什么定理？ 提示：平面向量基本定理；共线定理,课堂互动讲练,判断三个向量能否作为基底，关键是判断它们是否共面，若从正面判断难以入手，可以用反证法结合共面向量定理或者利用常见的几何图形帮助进行判断,若a，b，c是空间一个基底，试判断ab,bc，ca能否作为该空间的一个基底,【思路点拨】 假
12、设不能作为一个基底，看是否存在一对实数、使得ab(bc)(ca)，若存在，则假设成立；若不存在，则假设不成立,互动探究 若本例条件不变，试判断向量ab，ab，c能否作为空间的一个基底,解：假设ab，ab，c共面， 则存在实数x，y，使cx(ab)y(ab)， 即c(xy)a(xy)b， 从而由共面向量知c与a，b共面， 这与a，b，c不共面矛盾 ab，ab，c不共面， 即可以作为空间的一个基底,用坐标表示空间向量的解题方法与步骤为： (1)观察图形：充分观察图形特征； (2)建坐标系：根据图形特征建立空间直角坐标系； (3)进行计算：综合利用向量的加、减及数乘计算； (4)确定结果：将所求向量
13、用已知的基向量表示出来,用基底表示向量时， (1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行 (2)若没给定基底时，首先选择基底选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角是否已知或易求,【思路点拨】 a，b，c是一个基底，再利用三角形重心的性质，可求,1对于基底a，b，c，除了应知道a、b、c不共面外，还应明确以下三点： (1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底 (2)基底中的三个向量a、b、c都不是0，这是因为0与任意向量共线，与任意两个向量共面,(3)一个基底是由不共面的三个向量构成，是指
14、一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量,二者是相关联的不同概念 2空间向量基本定理说明：用空间三个不共面的已知向量组a，b，c可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的,31.5 空间向量运算的坐标表示,课前自主学案,1空间向量的坐标运算 若a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则 (1)ab_ ； (2)ab_ ； (3)a_ (R)； (4)ab_； (5)ab_,_ ,_ (R)； (6)ab_；,(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3),a1b1a2b2a3b3,a1b1,a2b2,a3b3,a1b1a2b2a3b30,(x2x1，y2y1，z2z1),提示：正确 2如何理解空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算之间的关系？ 提示：空间向量的坐标运算与平面向量的坐标运算类似，仅多了一项竖坐标，其法则与横、纵坐标一致,课堂互动讲练,向量的坐标即终点坐标减去起点坐标对应的坐标求点的坐标时，一定要注意向量的起点是
