矩阵不等式－金锄头文库

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1、本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即特征值的估计广义特征值问题实对称矩阵（一般是 Hermite 矩阵）特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1 特征值的估计一、特征值的界首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的一些方法定理 5.1 设 A=(ars)Rnn,令 M=| 2 1 max ,1 srrs nsr aa 若表示 A 任一特征值，则的虚部 Im() 满足不等式 2 ) 1( | )Im(| n

2、n M |Im()|AAT|2 / 2 |Im()|AAT|1n/2. 证明：设 x+iy 为对应于的 A 的特征向量，则 A(x+iy)=(+i)(x+iy) 其中=+i.显然 x,y 为实向量，且 x,y 为线性无关的向量。经整理 A(x,y)=(x,y)B, 其中 B= 。从而(x,y)TA(x,y)=(x,y)T(x,y)B 展开有 AyyAxy AyxAxx TT TT = yyyx yxxx TT TT + xyyy xxyx TT TT (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (xTx+yTy)=xTAx+yTAy (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元可得： (

3、xTx+yTy)=xT(AAT)y 1). 记 B=AAT,则 |xTBy| |x|2 |B|2 |y|2 从而 | |x|2 |B|2 |y|2 /(|x|2)2 +(|y|2)2) 利用 ab/(a2+b2) 1/2 可得 | |B|2 /2. 2). 由于|xTBy| |Bx|1 |y| |B|1|x|1 |y| 从而 | |B|1 |x|1 |y| /(|x|2)2 +(|y|2)2) 易证明 |x|1 |y| /(|x|2)2 +(|y|2)2) n/2. (显然，不妨假设(|x|2)2 +(|y|2)2=1, 设|y|=t=cos(), 则 y 必为 t ej 的形式（为什么？）

4、，从而极值转化为求解如下最大值问题： max |x|1, 满足约束(|x|2)2=1t2 这样有均值不等式|x|1n|x|2= n(1t2)1/2, 从而我们需要求解 t(1t2)1/2的最大值，设 t=cos() 可得 t(1t2)1/2的最大值为 1/2. 从而得证。) 因此 | |B|1n/2. 3). 由于 bii=0, i =1,2,n, bij= bji, 因此 |xTBy|2=| 1 1 () n ijijji ij i bxyx y |2 (2M)2 2 1 | n ijji ij i x yx y (利用(a1+a2+an)2 n(a1)2+(a2)2+(an)2) (2M

5、)2 (n(n1)/2) 2 1 | n ijji ij i x yx y (2M)2 (n(n1)/2) 2222 11 1 (2) 2 nn ijijijji ij x yx x y yx y =M2 (n(n1)2 (xT x) (yTy) (xT y)2 利用 (xT x) (yTy) (xT y)2(xT x) (yTy)可得 | M (2n(n1)1/2 (xT x)1/2 (yTy)1/2 /(xTx+yTy) M (2n(n1)1/2 / 2 =M (n(n1)/2)1/2 4). |xTBy|=| 1 1 () n ijijji ij i bxyx y | 1/2 2 1 |

6、 n ij ij i b 1/2 2 1 | n ijji ij i x yx y 而 1/2 2 1 | n ijji ij i x yx y (xT x)1/2 (yTy)1/2 由此可以有|(1/2) 1/2 2 1 | n ij ij i b 思考题：对于(1)式，利用定理推导的类似技术，求出关于|的界。推论实对称矩阵的特征值都是实数。事实上，当 A 这实对称矩阵时，M=0. 由定理 5.1 可得 Im()=0,即为实数。引理 1 设 BCnn,列向量 yCn满足|y|2=1, 则|yHBy| m B |. 定理 5.2 设 ACnn，则 A 的任一特征值满足 |A| m m

7、 H AA| 2 1 | )Re(| (5.1.3) m H AA| 2 1 | )Im(| (5.1.4) 推论: Hermite 矩阵的特征值都是实数; 反 Hermite 矩阵的特征值为零或纯虚数。事实上，当 A 为 Hermite 矩阵时，由式（5.1.4）知 Im()=0,即为实数；当 A 为反 Hermite 矩阵时，由式（5.1.3）知 Re()=0,即为为零或纯虚数。定义.5.1 设,)( nn rs CaA 记 n rs s rs aA 1 r |)(R),R( r 简写为., 1nr 如果 0 0 |ar r 0 | r R, 则称矩阵 A 按行(弱)对角占优。定

8、义 5.2 设 ACnn。如果 AT按行严格对角占优，则称 A 按列严格对角占优；如果 AT按行（弱）对角占优，则称 A 按列（弱）对角占优。对直接估计矩阵特征之乘积的模的界，再给出以下两个方法。定理 5.3 设 A=(ars)Cnn, 令 Mr=|arr|+ n rs n rs rsrrrrs aama 11 |,| 如果 A 按行严格对角占优，则 n r n r n r rrr MAAm 111 | )(|det|0(5.1.5) 且当 ars=0(sr)时，式(5.1.5)中等号成立。证明：由于 A 按对角占优，所以 det(A)0. 考虑方程组 212222 11 12

9、 0, n nnnnn aaa AA aaa 因为 A 按行对角占优，因此 A1也按行对角占优。从而 A1可逆。上述线性方程组有唯一解 x(1)=(2, ,n)T. 可以证明 | k|=max |2|, ,|n| 1|(a1,ak)|2/(ak,ak) =|a1|21 (maxk1|(a1,ak)|/(|ak|a1|) )2 = |a1|2sin2(a1ak) 如下图所示的多面体的体积应该等于底面积乘以高, 也就是底面积乘以向量 h 的长度。根据正弦函数的定义， h 的长度等于 a1和底面的投影 OP 夹角的正弦乘以 a1的长度。由于正弦函数为在0,/2内为单调增加的，因此高 h 的长度

11、HA). 由于酉相似的矩阵有相同的迹。定义 5.3 设 A=（aij）Cnn,称由不等式 |z-aii|Ri (5.1.10) 在复平面上确定的区域为矩阵 A 的第 i 个 Gerschgorin 圆（盖尔圆）Gi的半径（i=1,n）. 定理 5.6 （Gerschgorin theorem1）矩阵 A=（aij）Cnn的一切特征值都在它的 n 个盖尔圆的并集之内。定理 5.7 (Gerschgorin theorem2) 由矩阵 A 的所有盖尔圆组成的连通部分中有且仅有 A 的 k 个特征值(盖尔圆相重时重复计数，特征值相同时也重复计数). 推论: 若将式(5.1.10)中的 R

13、使得 n j ji Aa 1 0 |则有 (A)Ri(A)Rj(A),则 detA0. 52 广义特征值问题在振动理论中，常常会碰到形式如下的特征值问题，求数使方程 Ax=Bx (5.2.1) 有非零解 x，这里 A 为 n 阶对称矩阵， B 为 n 阶实对称正定矩阵 x 为 n 维列向量。当 B=I 时，式(5.2.1)就成为普通的特征值问题，因此式(5.2.1)可以看作是对普通特征值问题的推广。定义 5.5 称形如式(5.2.1)的特征值问题为矩阵 A 相对于矩阵 B 的广义特征值问题，简称为广义特征值问题；称满足式(5.2.1)要求的数为矩阵 A 相对于矩阵 B 的特征值

14、；而与相对应的非零解 x 称之为属于的特征向量. (xi,Bxj)=ij 定义 5.6 满足式(5.2.5) 向量系 x1,xn称为按 B 标准正交化向量系；式（5.2.5）的第一式称作 B 正交（共轭）条件，按 B 标准正交化向量 x1,xn具有以下的性质。性质 1 xi0(i =1,n) 性质 2 x1,xn线性无关。 5.3 对称矩阵特征值的极性在许多实际问题中，所产生的矩阵往往都具有对称性。如用等距的差分格式求解调和方程的第一类边值问题时所出现的矩阵，以及用有限元法求解某些结构问题时所产生的刚度矩阵，一般都是对称的，特别是，实对称矩阵在理论研究与实际应用当中占有比较重要的地位。因此，本节将着重讨论实对称矩阵的一些性质。一、实对称矩阵的

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