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1、分式型函数求值域的方法探讨 在教学中，笔者常常遇到一类函数求值域问题，此类函数是以分式函数形式出现，有一次式比一次式，二次式比一次式，一次式比二次式，二次式比二次，现在对这类问题进行探讨。一、 形如()（一次式比一次式）在定义域内求值域。例1：求（的值域。解：=其值域为一般性结论，()如果定义域为,则值域例2：求，的值域。分析：由于此类函数图像可以经过反比列函数图像平移得出，所以解决在给定区间内的值域问题，我们可以画出函数图像，求出其值域。解：=，是由向左平移，向上平移得出，通过图像观察，其值域为小结：函数关系式是一次式比一次式的时候，我们发现在此类函数的实质是反比例函数通过平时得出的，因此我
2、们可以作出其图像，去求函数的值域。二、 形如求（的值域。分析：此类函数中，当，函数为单调函数，较简单，在此我们不做讨论，当时，对函数求导，时，），时，根据函数单调性，我们可以做出此类函数的大致图像，其我们常说的双勾函数，通过图像求出其值域。当然在某些时候可以采用基本不等式来解决其图像例3：求上的值域。解：将函数整理成，根据双钩函数的性质，我们可以判断此函数在单调递减，在上递增，其在处取最小值，比较1，4出的函数值，我们可以知道在1处取的最大值，所以其值域为三、 用双钩函数解决形如（），（）在定义内求值域的问题。例3：（2010重庆文数）已知，则则函数的最小值为_.解：，由基本不等式地例4:求的
3、值域。解：令则=，其中则由基本不等式得例5:求的值域。解：令则，=，其中，由基本式得小结：对于此类问题，我们一般换元整理后，将函数变成这类型的函数，解决此类函数注意应用基本不等式，当基本不等式不行的时候，注意应用双勾函数的思想去解决此类问题三、形如在定义域内求值域。例5：求的值域。分析：当定义域为R时，我们采用判别式法求此类函数的值域。当定义域不为R时，不应采用此法，否则有可能出错。此时，我们要根据函数关系的特征，采用其他方法。解：恒恒成立，所以此函数的定义域为，将函数整理成关于的方程，当关于的方程恒有解，则即，显然，也成立，所以其值域为 以上是求此类函数的常见方法，但同学们在解题过程中。不要拘泥以上方法，我们要根据具体函数的特征采用相对应的方法，多思考，举一反三，那以后解决此类问题就很容易了。
