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1、第十一章,动量矩定理,110 引言,均质轮受外力作用而绕其质心O作定轴转动，它有角速度和角加速度，但对于轮的动量为：,外力的矢量和为：,这个问题不能用动量定理来描述轮绕其质心作定轴转动的运动。,42 力对点的矩和力对轴的矩,1、 力对点的矩以矢量表示 力矩矢,三要素,(3）大小:力F与力臂的乘积,(2)转向:转动方向,空间力对点的矩是矢量,111 动量矩,2.力对轴的矩,111 动量矩,一、质点的动量矩,动量矩：动量对某点（轴）之矩。,1、质点动量对某点之矩：质点在某瞬时的动量对O点之矩定义为质点在某瞬时对点O的动量矩。,质点A对点O的动量矩：,单位：,质点A对Z轴的动量矩：,方向： 是代数量
2、，它的正负可以通过右手定则判断,大小：,二、质点系动量矩,1、对点的动量矩：,2、对轴的动量矩：,3、刚体的动量矩,（1）平移刚体：刚体上任意点的速度均与其质心速度相同。故可将其看作为质量集中与质心的一个质点。,对点的：,对轴的：,（2）定轴转动刚体对转动轴的动量矩：,定轴转动刚体对z轴的转动惯量,11-2 动量矩定理,1质点的动量矩定理,设O为定点，有,其中：,（O为定点）,投影式：,因此,即：质点对固定轴的动量矩对时间的导数等于作用在质点上的力对该轴之矩。,得,称为质点系的动量矩定理：质点系对某定点O 的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和。,2. 质点系的动
3、量矩定理,由于,投影式：,内力不能改变质点系的动量矩。,即：质点系对某固定轴的动量矩对时间的导数，等于质点系的外力对该轴之矩的矢量和。,3、动量矩守恒定理,若： 则 （常矢量）,若： 则 （常量）,高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2 。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。,O,M,W1,v,W2,1、取小车与鼓轮组成质点系，,解：,系统外力对O轴的矩为,受力分析,2、用轴O点的动量矩定理 以顺时针为正，质点系对O轴的动量矩,由质点系对O轴的动量矩定理
4、，有,若 ，则 , 小车的加速度沿斜坡向上。,3、列运动学 补充关系,摩擦离合器靠接合面的摩擦进行传动。在接合前，已知主动轴 1 以角速度0转动，而从动轴 2 处于静止(图a)。一经结合，轴 1 的转速迅速减慢，轴 2 的转速迅速加快，两轴最后以共同角速度 转动(图b)。已知轴 1 和轴 2 连同各自的附件对转轴的转动惯量分别是 J1 和 J2 ，试求接合后的共同角速度 ，轴承的摩擦不计。,例题,解：,取轴1和轴2组成的系统作为研究对象。,离合器接合后，系统的动量矩是 (J1 + J2) 。故由动量矩守恒定律得,从而求得结合后的共同角速度,显然 的转向与 0 相同。,接合时作用在两轴的外力对公
5、共转轴的矩都等于零。故系统对转轴的总动量矩不变。,接合前，系统的动量矩是 J1 0,刚体的转动惯量,刚体对某轴的转动惯量：刚体内各质点质量与各质点到轴的矢径大小平方的乘积之和。,单位：,一、简单形状刚体的转动惯量,1、均质杆对质心轴的转动惯量,2、均质薄圆环对过圆心轴的转动惯量,3、均质薄圆盘对过圆心轴的转动惯量,另外：,二、平行移轴定理计算复杂形状刚体转动惯量,平行移轴定理：,即：刚体对某轴的转动惯量，等于刚体对过其质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。,解：,三、惯性半径,z,称为刚体对z轴的惯性半径,114 定轴转动刚体的运动微分方程,定轴转动刚体对转动轴
6、的动量矩为：,动量矩定理：,且,刚体定轴转动时的运动微分方程,飞轮对O的转动惯量为JO，以角速度O绕水平的O轴转动，如图所示。制动时，闸块给轮以正压力FN。已知闸块与轮之间的滑动摩擦系数为fs，轮的半径为R，轴承的摩擦忽略不计。求制动所需的时间t。,O,O,例题,以轮为研究对象。受力分析,解：,O,O,F,FN,FOx,FOy,W,取逆时针方向为正，刚体的转动微分方程为,11-5 质点系相对于质心的动量矩定理,1质点系对质心的动量矩,由于,有,得,其中,即：无论是以相对速度或 以绝对速度计算质点系对 质心的动量矩结果相同。,平面运动刚体对质心的动量矩,这个就是平面运动的，是绝对角速度,对任一点
7、O的动量矩：,主矩定理,质点系对任一点O的动量矩等于集中于质心的动量mvc对点O的动量矩再加上质点系对质心的动量矩Lc之和。,动量矩计算,平动刚体(对任意轴）：看成一个质点，动量为mVc,定轴转动刚体 （对转轴）：,平面运动刚体（对质心轴）：,（对其他轴）： 主矩定理,（对其他轴）：,主矩定理,2 对质心的动量矩定理,由于,即,质点系对于质心的动量矩定理：质点系相对于 质心的动量矩对时间的导数，等于作用于质点系 的外力对质心的主矩。,(平面运动刚体)对质心轴的动量矩定理,动量矩计算,平动刚体(对任意轴）：看成一个质点，动量为mVc,定轴转动刚体 （对转轴）：,平面运动刚体（对质心轴）：,（对其
8、他轴）： 主矩定理,（对其他轴）：,主矩定理,动量矩定理,1、对定点的动量矩定理（适用于所有质点系）,2、定轴转动刚体对转轴的动量矩定理 （定轴转动刚体对转轴的运动微分方程）,3、对质心轴的动量矩定理（主要用于平面运动刚体）,定点（轴）,动点（轴）,或,11-6 刚体的平面运动微分方程,以上各组均称为刚体平面运动微分方程。,应用时一般用投影式：,匀质圆柱的质量是 m ，半径是 r，从静止开始沿倾角是的固定斜面向下滚动而不滑动，斜面与圆柱的静摩擦系数是 fs 。试求圆柱质心 C 的加速度，以及保证圆柱滚动而不滑动的条件。,例题,x,y,O,C,A,解:,圆柱受力分析如图，,圆柱平面运动的三个微分
9、方程可写成,maC = mgsin F (a),由于圆柱只滚动而不滑动，故有运动学关系,aC = r （d）,x,y,O,C,A,FN,F,mg,圆柱做平面运动,0 = FNmgcos (b),JC = Fr (c),当圆柱只滚不滑时，滑动摩擦力必须满足 F fsFN ，,从而求得圆柱滚动而不滑动的条件,联立求解以上四个方程，并考虑到 JC = mr2/2 ，得到,aC = 2gsin / 3 , FN = mgcos , F = mgsin / 3,tan 3 fs,maC = mgsin F (a) 0 = FNmgcos (b) JC = Fr (c),aC = r （d）,关于摩擦力,
10、滑动摩擦、滚动摩擦一般均只考虑滑动摩擦力,只滚不滑，摩擦力未知，作为未知量方向可任意假设,如判断存在滑动，用库仑定理求摩擦力，要求方向确定,动量矩计算,平动刚体(对任意轴）：看成一个质点，动量为mVc,定轴转动刚体 （对转轴）：,平面运动刚体（对质心轴）：,（对其他轴）： 主矩定理,（对其他轴）：,主矩定理,动量矩定理,1、对定点的动量矩定理（适用于所有质点系）,2、定轴转动刚体对转轴的动量矩定理 （定轴转动刚体对转轴的运动微分方程）,3、对质心轴的动量矩定理（主要用于平面运动刚体）,定点（轴）,动点（轴）,平面运动：,平动：,定轴转动：,刚体及其适用定理,高炉运送矿石用的卷扬机如图所示。已知
11、鼓轮的半径为R，质量为m1，轮绕O轴转动。小车和矿石总质量为m2 。作用在鼓轮上的力偶矩为M，鼓轮对转轴的转动贯量为J，轨道的倾角为。设绳的质量和各处摩擦均忽略不计，求小车的加速度a。,O,M,W1,v,W2,1、分别取小车与鼓轮为研究对象，进行受力分析,O,M,W1,FOx,FOy,W2,FN,解：,2、小车平动，运用质心运动定理,T,T,轮O定轴转动，用对轴O点动量矩定理,运动学补充方程,解得,A,B,r,r,例：均质圆柱体A和B的质量均为m，半径为r，以绳缠在绕固定轴O转动的 圆柱A上，绳的另一端绕在圆柱B上，直线绳段铅垂，如图所示，摩擦不计。求：圆柱体B下落时质心加速度,解：1）求B质
12、心加速度,分别以A，B圆柱为研究对象，受力分析如图,A圆柱定轴转动,B圆柱体平面运动,o,运动学关系,解得,1.确定研究对象，应对研究对象进行受力分析,小结:动力学分析基本步骤,2.进行运动分析，以选择正确的动力学方程,3.必须补充运动学关系，这是解题的关键,列方程时应先假设加速度，角加速度方向，选择正方向来列方程，方程左右两侧应选同一个正方向。注意协调方向,轮：纯滚动,平面运动,杆（轮）：基点法,加速度合成公式,库仑定理,常见补充方程,刚体间的运动协调关系,匀质细杆 AB 的质量是 m，长度是 2l，放在铅直面内，两端分别沿光滑的铅直墙壁和光滑的水平地面滑动。假设杆的初位置与墙成交角 0，初角速度等于零；试求杆沿铅直墙壁下滑时的角速度 和角加速度 。,x,y,O,A,B,C,y,x,例题,解:,在 A 端脱离墙壁以前，受力如图所示。,由几何关系知,杆作平面运动，取坐标系 Oxy ，则杆的运动微分方程可写成,将式(d)和(e)对时间求导，得,最后得杆 AB 的角加速度,把上式化成积分,求得杆 AB 的角速度,
