《保险学》第三章保险的数理基础

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1、第三章 保险的数理基础,本章主要内容 保险费率的构成与厘订原则 财产保险费率的厘订 人寿保险费率的厘订（人寿保险费率的厘定依据，人寿保险费的计算） 保险责任准备金的提存,第一节 保险费率的构成与厘订原则,一、保险费及保险费率的构成 保险费的概念 保险费(Premium)是保险金额与保险费率的乘积。保险人承保一笔保险业务，用保险金额乘以保险费率就得出该笔业务应收取的保险费，即： 保险费=保险金额保险费率 保险费的构成 保险费由纯保费和附加保费构成: 纯保费是保险人用于赔付给被保险人或受益人的保险金，它是保险费的最低界限； 附加保费是由保险人所支配的费用，由营业费用、营业税和营业利润构成。,保险费

2、的构成,纯保费 赔付保险金 保险费 营业费用 附加保费 营业税 营业利润,被保险人 或受益人,保险人,保险费率的概念 保险费率(Premium Rate)是保险费与保险金额的比率。 保险费率又称保险价格，是被保险人为取得保险保障而由投保人向保险人所支付的价金。 保险费率的结构 保险费率由纯费率和附加费率两部分组成。 习惯上将纯费率和附加费率相加所得到的保险费率称为毛费率。,二、保险费率厘订的基本原则 充分性 公平性 合理性 稳定灵活 促进防损,三、保险费率厘订的一般方法 (一)分类法 (二)观察法 (三)增减法,第二节 财产保险费率的厘订,（一）确定纯费率 （二）确定附加费率 （三）确定毛费率

3、,(一）确定纯费率 计算公式： 纯费率保额损失率()均方差 计算过程： 1.计算保额损失率 保额损失率赔偿金额/保险金额1000 2.计算均方差 3.计算稳定系数 V /X 4.计算纯费率,某保险公司过去10年保额损失率统计表(),若以x表示平均保额损失率，xi(i=1,2,n)表示不同时期的保额损失率，n表示期限，则： x x /n 6.1+5.7+5.4+6.4+5.8+6.3+6.0+6.2+5.9+6.2 10 6.0,例：,均方差计算表 （单位：）,则： 0.84 = （）=0.29 10 稳定系数：V=0.29/6=4.833% 该结果为4.833%，远小于10，说明保险经营稳定性

4、很高。 纯费率6+0.29=6.29,（二）确定附加费率 计算公式： 附加费率附加保费/保险金额1000 通常，附加费率可根据纯保费与附加保费的比例来确定，即： 附加费率纯费率附加保费与纯保费的比例 上例中若附加保费与纯保费的比例为20，则 附加费率6.2920%=1.258,（三）确定毛费率 毛费率纯费率附加费率 上例， 毛费率6.29+1.258=7.548,一、人寿保险费的构成 人寿保险费由两部分构成：纯保险费(Net Premium)和附加保费(Loading)。又称营业保费。 前者用于保险金的给付； 后者用于保险公司业务经营费用的开支 二者的总和就是营业保险费(Office Prem

5、ium )，亦称毛保费(Gross Premium)。计算公式为： 毛保费=纯保费+附加保费,第三节 人寿保险费率的厘订,二、保险费计算的基本原则 确定人身保险费的基本原则，就是保险双方当事人权利与义务对等的原则，即保险人在保险有效期内承担的各项给付义务与保险人在保险有效期内收取保险费的权利相对等。 确定保险费的过程实质是，在不同缴费方式下的保险费匹配不同保险事故对应的保险面值和各项经营费用。 寿险保费计算的基本原则是：收支平衡原则。,收支平衡原则内涵（1）,寿险保费收支平衡原则中： 从保险人看： “收”指保险人收取的保费总额， “支”指保险人的保险金给付和支出的各项经营费用。 收与支应平衡。

6、 从投保人看： 其支出保费总额应与收到的保额或安全保障或获得的服务平衡。,收支平衡原则内涵（2）,收支平衡关系建立的时点通常在投保生效之日,而保险金给付与保费缴纳总是分离的。 收支平衡绝不是收的总额简单等于支付总额，或者使保费总额等于保险面值。 要使收支平衡建立，必须将分离的货币额折现到一个可比点或可比日，方能判断它们的大小； 由于寿险不仅要涉及利率，且离不开生死概率，所以货币的折现非简单的折现，而是精算意义上的折现。 收支平衡是精算意义上的平衡。,收支平衡原则内涵（3） ,收支平衡原则可描述为: 保险费的精算现值 保险金额的精算现值+各项业务费用的精算现值 保险费精算现值为纯保费精算现值与附

7、加保费精算现值之和，从而： 纯保费精算现值+附加保费精算现值 保险金的精算现值+各项业务费用精算现值 据此，可分别计算纯保费和附加保费。亦即: 纯保费精算现值保险金精算现值； 附加保费精算现值各项业务费用精算现值,三、人寿保险费的分类 1.自然纯保费、趸缴纯保费与均衡纯保费 按缴费方法进行分类 自然纯保费是分别以各年岁的死亡率为缴付标准计算的保险费。 均衡纯保费是在约定缴费期限内，每次缴费金额始终不变的均衡毛保费中扣除均衡附加保费的剩余部分。 趸缴纯保费是在投保之日一次性缴清的趸交毛保费中扣除附加保费后的剩余部分。 2.纯保险费和附加保费 按保险费所含成份进行分类,四、人寿保险费的计算依据 预

8、定死亡率 (Assumed Mortality Rate) 预定利息率 (Assumed Interest Rate) 预定费用率 (Assumed Expense Rate),生命表,生命表(Life Table)又称死亡表或寿命表，是根据一定时期的特定国家(或地区)或特定人口群体(如寿险公司的全体被保险人)的有关生命统计资料，经整理、计算编制而成的统计表。 生命表中最重要的就是设计产生每个年龄的死亡率。影响死亡率的因素很多，主要有年龄、性别、职业、习性、以往病史、种族等。一般情况下，在设计生命表时，只注重考虑年龄和性别。,生命表的分类,国民生命表和经验生命表 完全生命表和简易生命表 选择表

9、、终极表和综合表 寿险生命表与年金生命表,生命表的结构,x：年龄。生命表的年龄自0岁起每岁为一组。自出生时算起，一直到最高龄，即极限年龄，极限年龄一般用w表示。 lx：x岁的人在年初的生存人数。在生命表中，在0岁年初的人数一般假定为100000人，即l0=100000人。 dx：x岁的人在年内死亡的人数，即x岁至x+1岁的年龄间死亡人数。如d5表示5岁至6岁的年龄间死亡人数。 px：x岁的人在一年间的生存率，即x岁的人生存至x+1岁的概率。 qx：x岁的人在一年间的死亡率,即x岁的人在一年内死亡(即死于x+1岁间)的概率。 ex：平均余命。即x岁的全体人口平均计算可期望生存的“余年”，即仍可继

10、续生存的岁数。对年龄0岁的平均余命为平均寿命。,中国人寿保险业经验生命表 (1990-1993,混合表),生命表中各项生命函数的关系,(1)x岁的人年初生存人数(lx)与年内的死亡人数(dx)的差额为次年初(x+1)岁的生存人数: lx-dx =lx+1 上式可以变换为： dx = lx-lx+1 即x岁的人年内死亡人数等于x岁的人年初生存人数与次年初尚存活的人数的差额。 (2)连续数年死亡人数之和等于第一年初生存人数和最后一年初生存人数的差额： dx+dx+1+dx+2+dx+n-1=lx-lx+n,生命表中各项生命函数的关系,(3)生存率指次年初生存人数(lx+1)与年初生存人数(lx)之

11、比，计算x岁的人存活到x+1岁的生存率，公式：px=lx+1/lx 计算x岁的人存活到x+n岁的生存率，公式为： npx=lx+n/lx (4)死亡率指年内死亡的人数(dx)与年初生存人数(lx)之比，计算x岁的人一年间的死亡率，公式： qx=dx/lx=(lx-lx+1)/lx 计算x岁的人在n年间的死亡率，公式： nqx =(lx-lx+n)/lx,五、人寿保险纯保费的计算 (一)趸缴纯保险费的计算 (二)年缴纯保险费的计算,(一)趸缴纯保险费的计算,趸缴纯保险费是在长期寿险合同签订时投保人将保险期间应缴付保险人的纯保险费一次全部缴清。 趸缴纯保费应与保险合同所规定的保险人在整个保险期内的

12、给付义务相等价。 根据险种不同，趸缴纯保费的计算分为： 1.定期生存保险趸缴纯保险费的计算 2.定期死亡保险的趸缴纯保险的计算 3.定期两全保险的趸缴纯保费的计算,1.定期生存保险趸缴纯保费的计算,收,支,则：,定期生存保险趸缴纯保费的计算举例,例：若35岁的972396人，投保5年期生存保险，保险金额100000元。求投保人每人应趸缴纯保险费。 (1)查生命表领取保险金的人数l40966271人 (2)按年利率i=5%，查现值表v5为0.783527,2.定期死亡保险趸缴纯保费的计算,收,支,则：,定期死亡保险趸缴纯保费的计算举例,例：若35岁的972396人，投保5年期死亡保险，保险金额1

13、00000元，预定利率为5。求投保人每人应趸缴纯保险费。 代入公式，列表计算：,死亡保险趸缴纯保费的计算表（i=5%）,(2),(3),(4),(5),3.两全保险趸缴纯保费的计算,计算公式：,例：若35岁的972396人，投保5年期两全保险，保险金额100000元，预定利率为5。求投保人每人应趸缴纯保险费。 代入公式计算：,（二）年缴纯保费的计算,年缴纯保费现值支出保险金现值趸缴纯保费现值 年缴纯保费趸缴纯保费/保费缴付1元期首付年金的现值,六、营业保费的计算 1.比例法 2.比例常数法 3.三元素法,比例法就是按照营业保费的一定比例作为附加费用。 这一比例一般根据以往的业务经营的经验确定。

14、若以p表示营业保费，k表示附加费占营业保费的比例,P表示纯保费， 则有： PP + kP PP/(1-k) 若以L表示附加保费，则： LkPkP/(1-k),1.比例法,该方法的特点是附加费用的计算简便，并且与营业保费成正比； 但确定附加费用不够合理，因为对于保费高的保单,所收取的附加费可能多于实际经营费用的支出；而对于保费低的保单，所收取的附加费甚至可能不足以支付实际经营的费用。 我国目前计算营业保费时采用的是比例法。 ,1.比例法,例：已知某20岁的人投保5年的定期死亡保险，每年年缴纯保费为390元, 附加保费比例为15%，则用比例法计算营业保费和附加保费为： PP/(1-k) 390(1

15、-15%) 458.82(元) L kP 458.8215% 68.82(元）,1.比例法,该方法是根据以往的业务资料确定每单位保险金额所必须支出的费用，作为一个固定费用(用常数表示)，以作为附加费。即： PP+,2.常数法,例：已知某30岁的人投保10年的两全保险，每年年缴纯保费为400元，每份保单需支出固定费用45元，则用常数法计算营业保费和附加保费： PP+ 40045 445(元) L 45(元),2.常数法,该方法是首先根据以往的业务资料确定每单位保险金额所必须支出的费用，作为一个固定费用(用常数表示)；然后确定一定比例的营业保费作为其余部分的附加费。 即：P= P+kP P=(P+)/(1-k),3.比例常数法,例：已知某30岁的人投保10年的两全保险，每年年缴纯保费为400元，每份保单需支出固定费用15元，附加保费比例为8%，则用比例常数法计算营业保费和附加保费为： P(P+)/(1-k) (40015)(1-8%) 451.09(元) L+kP 15451.098% 1536.09 51.09(元),3.比例常数法,三元素法是将附加费用分解成：新合同费、维持费、收费费用三个部分，并且假设： 新合同费用，是一次性费用，单位保额费用为； 维持费，单位保额每