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1、第三章 扭 转,概述 传动轴的动力传递、扭矩 薄壁圆轴的扭转、切应力互等 圆轴扭转时的应力和应变 圆轴扭转时的强度、刚度条件 非圆形截面杆的扭转*,对称扳手拧紧镙帽,工程实例,汽车传动轴,工程实例,钻床的钻杆,工程实例,机器中的传动轴,工程实例,直升机的旋转轴,工程实例,一、扭转的概念,杆件受到大小相等、方向相反、作用面垂直于杆件轴线的力偶作用,使杆件的横截面绕其轴线发生转动-扭转变形。,受扭转变形杆件通常为轴类零件，其横截面大都是圆形的。所以本章主要介绍圆轴扭转。,受力特征：外力偶矩的作用面垂直于杆件的轴线。,变形特征： 纵向线倾斜一个角度 ，称为剪切角(或称切应变)；,M0 外力偶矩 扭力
2、矩,使杆产生扭转变形的外力偶矩-扭力矩（M0）,任意两个横截面绕杆轴线发生相对转动，称为扭转角。,二、杆受扭时的内力计算,扭矩：受扭构件横截面上的内力偶矩，记为T。,扭矩符号：按右手螺旋法则。,扭矩矢量与截面外法线方向一致，为正；反之，为负。,已知圆轴受外力偶矩作 用，匀速转动。则,用截面法求内力：,1-1截面：,平衡方程,截面2-2上的内力：,平衡方程,（+）,扭矩图：扭矩随构件横截面的位置变化的图线。,（-）,扭矩图,例题： 图示传动轴上，经由A轮输入功率10kW，经 由B、C、D轮输出功率分别为2、3、5kW。轴的转速 n=300r/min，求作该轴的扭矩图。如将A、D轮的位置 更换放置
3、是否合理？,经由A、B、C、D轮传递的外力偶矩分别为,解：,截面I-I,截面II-II,截面III-III,（-）,扭矩T-图,（+）,（在CA段和AD段）,将A、D轮的位置更换，则,扭矩T-图,（AD段）,因此将A、D轮的位置更换不合理。,三、薄壁圆轴的扭转,薄壁圆轴-壁厚远小于其平均半径,预先在圆筒的表面画上等间距的纵向线和圆周线，形成一系列的方格子。,圆周线保持不变；纵向线发生倾斜。,圆周线（AB与DC）之间的距离保持不变，仍为圆形；但是，它们绕轴线产生相对转动。,一个代表性的“格子”的变形,薄壁圆轴扭转后，横截面仍为平面，其“形状、大小”均无变化；但是，相邻两横截面绕圆筒轴线发生了相对
4、转动。,横截面上没有正应力，只有切应力。且横截面上的切应力的方向是沿着圆周的切线方向，并设沿壁厚方向是均匀分布的。,薄壁圆轴两端截面之间相对转动的角位移，称为相对扭转角 ，用 表示。,薄壁圆轴表面上每个格子的直角的改变量，称为 切应变。用 表示 。,A0=r02,几何关系,切应变,小变形条件,切应力,静力关系,ri 为内半径，为壁厚， r0 为平均半径。,或,切应力互等定理：二个相互垂直的截面上，垂直于两截面交线的切应力大小相等，方向均指向或离开该交线。,薄壁圆轴纵截面上的切应力,剪切胡克定律,B,其中G 是材料的剪切弹性模量。,且,实验证明：当切应力不超过材料的比例极限 时，切应力 与切应变
5、 成正比。 即,单位：MPa、GPa.,四、圆轴扭转时的应力,研究方法：,1、实验观察,观察到的变形现象,（1）,横截面上存在切应力,（2）圆周线大小、位置、形状、间距保持不变，绕轴线产生相 对转动。故横截面上不存在正应力,（3）圆轴右端截面上所绘的径向线保持直线。,2、假设 圆轴扭转时，横截面象刚性平面一样绕轴线作相对转动。 -刚性平面假设,圆轴,许多个套在一起的薄壁圆管，各个薄壁圆管扭转时截面的相对扭转角相同。,在薄壁圆筒的横截面上，切应力处处垂直于径向，且与T 的旋转方向相同。,每个薄壁圆筒上切应力的大小：,r0 为薄壁圆筒的平均半径,应力分布情况,T,t,max,t,max,t,max
6、,T,（实心截面）,（空心截面）,3.理论分析-截面上应力的计算,取微段dx研究,式中,(1) 变形几何方面,单位长度扭转角,即：,（1）,径向坐标,对给定的截面， 是常数，故 与成正比,(2) 物理方面,由剪切胡克定律,即：, 的方向：与半径垂直,(2),对给定的截面，与成正比,(3) 静力学方面,由合力矩定理,即：,式中 GIp圆杆的抗扭刚度,(3),反映了圆杆抵抗扭转变形的能力,将(3)式代入(2)式，得到,式中 T所求切应力点的横截面,所求切应力点到圆心的距离,上的扭矩,注意：切应力公式的适用范围：max p,Ip=A2dA横截面对圆心O的极惯性矩,（4）最大切应力,即,式中,Wp 抗
7、扭截面系数，单位： m3。,常用截面的极惯性矩和抗扭截面系数,(1) 环形截面,即,式中,(2)圆形截面,在环形截面中，令 = 0，得到,等直圆杆扭转时斜截面上的应力,低碳钢试件： 沿横截面断开。,灰铸铁试件： 沿与轴线约成45的螺旋线断开。,因此还需要研究斜截面上的应力。,1. 点M的应力单元体如图(b)：,(a),(b),t,t,(c),2. 斜截面上的应力； 取分离体如图(d)：,(d),(d),n,t,转角规定： 轴正向转至截面外法线,逆时针：为“+” 顺时针：为“”,由平衡方程：,解得：,分析：,当 = 0时，,当 = 45时，,当 = 45时，,当 = 90时，,t,可见：圆轴扭转时，在横截面和纵截面上的切应力最大； 在方向角 = 45的斜截面上,压应力和拉应力最大。 可以解释前述的破坏现象。,五、扭转变形,1.单位长度扭转角,单位：rad/m,由(3)式,定义,2.扭转角,相距 dx 的两横截面间的相对扭转角为,相距 l 的两横截面间的相对扭转角为,单位：弧度(rad)。,对于扭矩为常量的等直圆杆,对于扭矩分段为常量等直圆杆或等直阶梯圆杆,注意：变形公式的适用范围：maxp,再 见,习题：3-1; 3-2; 3-3；3-4,每周星期一交作业,
