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1、第4章 控制系统的频域分析,4.1 频率响应与频率特性 4.2 频率特性的图示法奈魁斯特图和伯 4.3 典型环节的频率特性 4.4 控制系统的开环频率特性 4.5 闭环的频率特性 4.6 频域稳定性判据与稳定性分析 4.7 频域指标与时域指标的关系 4.8 开环频率特性与时域响应的关系 第四章 小结,下一页,返回,频域分析法是控制工程中广泛应用的有效的实际工程方法，这种方法是以正弦输入信号的频率为变量，在频率域内通过研究系统的频率特性及其图形来分析系统性能的一种方法。系统的频率特性也是系统的一种数学模型，它具有明确的物理意义，而且系统或元、部件的频率特性可以通过实验的方法测定。这对于难以用机理
2、法建立数学模型的系统或元、部件是非常实用的。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,4.1.1 周期函数（信号）的谐波分析 周期函数定义为 （4-1） 式中，T为周期；n1，2，。 如果函数满足狄里赫利条件： （1）在一个周期内只有有限个第一类间断点（左右极限存在，但不相等）； （2）在一个周期内只有有限个极值点。 则周期函数可分解为傅里叶（Fourier）级数，即 （4-2）,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,式中 基波频率或频率间隔，； （4-3） 第n次谐波频率，基波频率的整数倍， ； （4-4） （4-5）,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,周期函数
3、的傅里叶也可以写成 （4-6） 式中 第n次谐波幅值； 第n次谐波相位。 显然，周期函数可分解为平均值与n个谐波分量之和。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,4.1.2 非周期函数（信号）的谐波分析 非周期函数可以看成是周期为无穷大的周期函数。因此，当周期T时，有 ，相邻的两个谐波频率无限接近，谐波的次数n，再用n来表示谐波次数已无意义，因此改用来表示各次谐波的角频率，于是有 （4-7） 或 （4-8）,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,由上述分析可知，非周期函数含有一切频率的谐波分量。由于非周期函数的周期无穷大，这些谐波分量是在-t时刻存在的，因此这些谐波分量
4、是稳态的正弦波。换言之，一个任意的信号是由不同频率、不同幅值的正弦信号叠加组成的。例如，常用的单位阶跃函数，它是由下式表示的含有一切频率的谐波分量叠加组成的 （4-9） 这样，可以用系统对正弦输入信号的稳态响应来研究系统的瞬态性能。因为一个特定时刻输入的非周期函数可以展成无穷多个稳态的正弦波（恒值分量可视为频率为0时的谐波），所以也就可以用稳态的正弦波信号作为输入来研究系统的特性，改变正弦波的频率，也就知道了系统对非周期函数的响应特性。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,4.1.3 频率响应 稳定的线性系统对正弦输入的稳态响应称为频率响应。或者说，当正弦信号作用于稳定的线性系统
5、时，系统输出响应的稳态分量是与输入同频率的正弦信号，这种过程称为系统的频率响应。 如图4-1所示，对线性系统输入某一频率的正弦波信号，系统的响应经过一定时间进入稳态，系统的稳态响应也是同一频率的正弦波，但稳态输出的幅值和相位与输入信号的幅值和相位相比发生了变化。并且，随着输入信号频率的变化，输出、输入信号的幅值比和相位差将会相应地随频率而发生变化。因此，可以利用这一特性，保持输入信号的幅值不变，不断改变输入信号的频率，研究系统响应信号的幅值和相位随频率的变化规律，即可达到研究系统性能的目的。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,图4-2 RC网络 下面，以图4-2所示的RC网络为
6、例，说明频率响应的基本概念。RC网络的运动微分方程为 （4-10） 式中，时间常数TRC。 RC网络为惯性环节，其传递函数为 （4-11） 若RC网络输入为正弦电压，即,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,则由式（4-11）可得 求出待定系数，经拉氏反变换，得电容器两端的输出电压，即 式中，第一项为瞬态响应；第二项为稳态响应。当t趋于无穷时，第一项衰减为0，于是，稳态响应为 （4-12）,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,由式（4-12）可见，网络的稳态输出仍然是正弦电压，其频率和输入 电压的频率相同，幅值是输入幅值的 倍，其相位比输入 信号的相位滞后 。显然 是
7、输出幅值与输入幅值之幅值比， 是输出相位对输入相位的相位差，而且两者都是频率的函数。我们称前者为RC网络的幅值频率特性，简称“幅频特性”，后者称为RC网络的相位频率特性，简称“相频特性”。 频率响应的特性用频率特性来描述。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,4.1.4 频率特性 采用向量法，将由式（4-12）表示的稳态响应与输入信号相比，有 （4-13）,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,这说明函数 从幅值和相位两方面完整地描述了RC 网络在正弦输入电压作用下，稳态输出电压随正弦输入电压频率变化的规律， 就称为该网络的频率特性。 将RC 网络的频率特性式（4-1
8、3）与网络传递函数式（4-11）比较，可知，只要将式（4-11）中的复变量s以纯虚数j置换，即得频率特性，即有 （4-14） 从RC网络得到的这一重要结论，对于任何稳定的线性定常系统都是正确的，即系统的频率特性和传递函数存在以下紧密联系 （4-15）,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,由上式可以得出下列重要结论：频率特性和传递函数、运动微分方程一样，也表征了系统的运动规律，是系统的数学模型之一。也可以说，频率特性是定义在s复平面虚轴j上取值时的传递函数，故也称为正弦传递函数。 综上所述，频率特性的定义是：线性稳定系统在正弦信号作用下，当频率从0变化到时，稳态输出与输入的幅值比、
9、相位差随频率变化的特性，称为频率特性，它由幅频特性和相频特性两部分组成。 系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的幅值之比随输入频率的变化而变化的特性称为幅频特性 ，它描述了系统对输入信号幅值的放大或衰减特性；系统稳态正弦输出信号与相应的正弦输入信号的相位之差随输入频率的变化而变化的特性称为相频特性，它描述了系统输出信号相位对输入信号相位的滞后（负值）或超前（正值）特性 。 显然，以正弦信号作为典型试验信号，以频率作为变量，弄清了系统对频率从0变化到时的正弦信号的响应特性，由叠加原理，实质上也就掌握了任意周期或非周期函数输入时，系统的响应特性。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特
10、性,4.1.5 频率特性的物理意义 仍以图4-2所示的RC网络为例，说明频率特性的物理意义。RC网络的幅频特性和相频特性的计算值如表4-1所示。 图4-3是根据表4-1数据绘制的幅频和相频特性曲线。随着频率的增加，幅值下降、相位滞后越来越大。由此可知，系统频率特性的物理意义是： （1）系统的频率特性表明系统跟踪、复现不同频率信号的能力。当频率低时，系统能正确响应、跟踪、复现输入信号；当频率高时，系统输出幅值衰减近似为0，相位严重滞后，系统不能跟踪、复现输入。 （2）系统的频率特性随频率而变化的根本原因是系统有储能元件、有惯性，对频率高的输入信号，系统来不及响应。,上一页,下一页,返回,4.1
11、频率响应与频率特性,（3）系统的频率特性是系统的固有特性，取决于系统结构和参数。时间常数一旦确定，频率特性随之而定，幅频特性、相频特性也就确定，时间常数越大，系统能跟踪、能复现的信号的频率越低，即系统的惯性越大，系统能响应的输入信号的频率就越低。系统的这种特性也称为“滤波”，一般地，控制系统具有“低通滤波器”特性。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,4.1.6 求取频率特性的解析方法 当已知系统的传递函数时，可按式（4-15）求取，即 当从系统原理图开始求取系统的频率特性时，应该先求出系统的传递函数。 频率特性是复变量sj的复变函数，因此有 （4-16） （4-17） （4-1
12、8）,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,式中 表示 的实部， 表示 的虚部； 表示 的幅值幅频特性，用 表示； 表示 的相位相频特性，用 表示。 请读者注意，复数的积、商运算法则：两个复数的积或商的模等于两个复数的模的积或商；两个复数的积或商的相位等于两个复数的相位的和（加）或差（减）。 必须指出，根据式（4-12）可知，一般地，系统对正弦输入信号的稳态响应为 （4-19） 这就是说，只要求出系统的幅频特性和相频特性，根据频率响应的特性，就可以直接求得系统在正弦输入下的稳态响应。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,这就是说，只要求出系统的幅频特性和相频特性，根据
13、频率响应的特性，就可以直接求得系统在正弦输入下的稳态响应。 例4-1 已知系统传递函数和输入，求该系统的稳态输出。 ，解 求稳态输出，首先必须求得幅频特性和相频特性。 （1）求频率特性。 （2）求幅频特性和相频特性。,上一页,下一页,返回,4.1 频率响应与频率特性,幅频特性就是频率特性的模，相频特性就是频率特性的相位，因此有 （3）求稳态输出。 根据式（4-19），可直接写出该系统的稳态响应为,上一页,返回,4.2 频率特性的图示法奈魁斯特图和伯德图,在控制系统的频域分析和设计中，通常把系统或元、部件的频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发进行研究，这是频域分析法的显著特点。常用的图示方法
14、有奈魁斯特图、伯德图和尼柯尔斯图。下面只介绍奈魁斯特图、伯德图。 4.2.1 奈魁斯特图 奈魁斯特（Nyquist）图也称极坐标图。在数学上，频率特性可以用直角坐标式表示，如式（4-16）；也可以用幅相式（指数式）表示，即 （4-20）,下一页,返回,4.2 频率特性的图示法奈魁斯特图和伯德图,如图4-4（a）所示，某一频率 下的 可用向量表示，向量的长度就是 的模 ，即频率特性 在频率 时的幅频特性值；向量与极坐标轴的夹角就是 的相角 ，即频率特性 在频率 时的相频特性值。 通常将极坐标重合在直角坐标中，如图4-4（b）所示。极点取直角坐标原点，极坐标轴取直角坐标系的正实轴。这样，向量 在实
15、轴上的投影 为 的实部，在虚轴上的投影 为 的虚部。即 ， 当频率w 从0变化到时，向量 的矢端将绘出一条曲线，这条曲线称为频率特性 的奈魁斯特曲线或幅相频率特性曲线，如图4-4（c）的虚线所示。这种图也称为极坐标图或奈魁斯特图（简称奈氏图）。,上一页,下一页,返回,4.2 频率特性的图示法奈魁斯特图和伯德图,图中， 的箭头表示频率 增大的方向。奈氏图的特点是把频率 看成参变量，将频率特性的幅频和相频特性同时表示在 复数平面上。 下面仍以图4-2所示的RC网络为例，说明奈氏图的具体画法。 下面仍以图4-2所示的RC网络为例，说明奈氏图的具体画法。 RC网络的传递函数为 式中，时间常数TRC。RC网络的频率特性为 （4-21）,上一页,下一页,返回,4.2 频率特性的图示法奈魁斯特图和伯德图,幅频特性为 （4
