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1、圆锥曲线中的离心率问题离心率两大考点：求值、求范围求值: 1. 利用a与c的关系式（或齐次式）2. 几何法3. 与其它知识点结合求范围: 1. 利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.2. 运用数形结合建立不等关系求解3. 利用曲线的范围，建立不等关系4. 运用函数思想求解离心率5. 运用判别式建立不等关系求解离心率一、求离心率的值1. 利用a与c的关系式（或齐次式）题1：(成都市2010第二次诊断性检测)已知椭圆的一个焦点为F，若椭圆上存在点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF相切于线段PF 的中点，则该椭圆的离心率为 题2：已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内
2、角为60，则双曲线C的离心率为 题3：设双曲线的渐近线与抛物线相切，则该双曲线的离心率等于（ ）（A） （B）2 （C） （D）解：由题双曲线的一条渐近线方程为，代入抛物线方程整理得，因渐近线与抛物线相切，所以，即，故选择C。题4：(2009浙江理) 过双曲线的右顶点A作斜率为-1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为B，C.若，则双曲线的离心率是（ ）（A） （B）（C）（D）2. 几何法题1： 以椭圆的右焦点F，为圆心作圆，使这圆过椭圆的中心，且交椭圆于点M，若直线MFl(Fl为左焦点)是圆F2的切线，M是切点，则椭圆的离心率是 题2： Fl，F2为椭圆的左、右两个焦点，过F2的直
3、线交椭圆于P、Q两点，PF1PQ，且，求椭圆的离心率题3：（采用离心率的定义以及椭圆的定义求解）解：如右图所示，有故选D3. 与其它知识点结合题1：已知M为椭圆上一点，Fl，F2是其两个焦点，且MFlF2= 2，MF2Fl=( 0)，则椭圆的离心率为( )(A)12sin (B)lsin 2 (C)1-cos2 (D)2cos-1题2：已知P为双曲线右支上一点，Fl、F2是其左、右两焦点，且PFlF2= 15，PF2Fl=75，则双曲线的离心率为 练习：.A2.已知双曲线的渐近线为，则双曲线的离心率为 3.过双曲线的一个焦点F作垂直于实轴的弦MN，A 为双曲线的距F较远的顶点，MAN=90，双
4、曲线的离心率等于 2二、求离心率的取值范围1. 利用圆锥曲线相关性质建立不等关系求解.题1：（2008福建）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若P为其上一点，且|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为( )A.(1,3) B.C.(3,+)D.分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ 解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不
5、小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解. 题2：（04重庆）已知双曲线的左，右焦点分别为,点P在双曲线的右支上，且,则此双曲线的离心率e的最大值为：( )A B C D |PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.练习：1. 已知，分别为的左、右焦点，P为双曲线右支上任一点，若的最小值为，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）A B C D解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.2. 利用曲线的范围，建立不等关系题1 设椭圆的左右焦点分别为F1、F2，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。解：设因为，所以
6、 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得题2：椭圆：的两焦点为，椭圆上存在点使. 求椭圆离心率的取值范围；解析 设将代入得 求得 .点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.3. 运用数形结合建立不等关系求解题1：（06福建）已知双曲线的右焦点为F，若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）（B）（C）（D）解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，即即即故选C.题2：直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2，若L与双曲线的两个交点分别在左
7、、右两支上，求双曲线离心率的取值范围。如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则L与双曲线的两交点均在右支上，题3：已知F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点。若ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。解：如图2，因为ABF2是等腰三角形，所以只要AF2B是锐角即可，即AF2F145。则4. 运用函数思想求解离心率题1：（08全国卷）设，则双曲线的离心率e的取值范围是A B. C. D. 解析：由题意可知，故选B.5. 运用判别式建立不等关系求解离心率题1：（全国）设双曲线C：相交于两个不同的点A、B.求双曲线C的离心率e的取值范围解析
8、由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 所以解得双曲线的离心率所以双曲线的离心率取值范围是练习：1。设两条渐近线含实轴的所成角为，离心率，则的范围 1组1。分析 求双曲线离心率的取值范围需建立不等关系，题设是双曲线一点与两焦点之间关系应想到用双曲线第一定义.如何找不等关系呢？ 解析：|PF1|=2|PF2|,|PF1|-|PF2|=|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.点评：本题建立不等关系是难点，如果记住一些双曲线重要结论（双曲线上任一点到其对应焦点的距离不小于）则可建立不等关系使问题迎刃而解.
9、2，|PF1|=4PF2|,|PF1|-|PF2|=3|PF2|=，|PF2|即所以双曲线离心率的取值范围为，故选B.练习：解析 ，欲使最小值为，需右支上存在一点P，使，而即所以.2组1。解：设因为，所以 将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得2，解析 设将代入得 求得 .点评：中，是椭圆中建立不等关系的重要依据，在求解参数范围问题中经常使用，应给予重视.3组1，解析 欲使过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率， ，即即即故选C.2，解：如图1，若，则L与双曲线只有一个交点；若，则L与双曲线的两交点均在右支上， 3，解：如图2，因为ABF2是等腰三角形，所以只要AF2B是锐角即可，即AF2F145。则4组，1解析：由题意可知，故选B.5组 1，解析 由C与相交于两个不同的点，故知方程组有两个不同的实数解.消去y并整理得 （1a2）x2+2a2x2a2=0. 所以解得双曲线的离心率所以双曲线的离心率取值范围是练习
