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1、圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6 B15 C20 D12答案D 解析S|OF|y1y2|OF|2b12.2、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1B.C2D2解析：设椭圆1(ab0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上的顶点为椭圆短轴端点，S2cbbc1.a22.a.长轴长2a2，故选D.3、(文)(2011山东省临沂市质检)设P是椭圆1上一点，M、N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()
2、A9,12 B8,11 C8,12 D10,12解析：由已知条件可知两圆的圆心恰是椭圆的左、右焦点，且|PF1|PF2|10，(|PM|PN|)min1028，(|PM|PN|)max10212，故选C.点评：圆外一点P到圆上所有点中距离的最大值为|PC|r，最小值为|PC|r，其中C为圆心，r为半径，故只要连接椭圆上的点P与两圆心M、N，直线PM、PN与两圆各交于两点处取得最值，最大值为|PM|PN|两圆半径和，最小值为|PM|PN|两圆半径和4、(2010福州市质检)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值
3、是()A5 B8 C.1 D.2答案C 解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，圆x2(y4)21的圆心为C(0,4)，设点P到抛物线的准线距离为d，根据抛物线的定义有d|PF|，|PQ|d|PQ|PF|(|PC|1)|PF|CF|11.5、已知点F是双曲线1的左焦点，定点A的坐标为(1,4)，P是双曲线右支上的动点，则|PF|PA|的最小值为_解析如图所示，根据双曲线定义|PF|PF|4，即|PF|4|PF|.又|PA|PF|AF|5，将|PF|4|PF|代入，得|PA|PF|45，即|PA|PF|9，等号当且仅当A，P，F三点共线，即P为图中的点P0时成立，故|PF|PA|的最小值为9.故
4、填9.答案96、已知直线和直线，抛物线上一动点到直线和直线的距离之和的最小值是（ ）A.2 B.3 C. D. 【解析1】直线为抛物线的准线，由抛物线的定义知，P到的距离等于P到抛物线的焦点的距离，故本题化为在抛物线上找一个点使得到点和直线的距离之和最小，最小值为到直线的距离，即，故选择A。【解析2】如图，由题意可知【答案】A二、目标函数法1、椭圆1上的一点P到两焦点的距离的乘积为m，则当m取最大值时，点P的坐标是_解析：设椭圆上点P到两焦点的距离分别为u、v，则uv10，uvm；设F1PF2，由余弦定理可知cos，即u2v22uvcos64m，显然，当P与A或B重合时，m最大答案：(3,0)
5、或(3,0)2、设F1、F2分别是椭圆y21的左、右焦点(1)若P是该椭圆上的一个动点，求的最大值和最小值； 解析(1)由已知得：F1(，0)，F2(，0)，设点P(x，y)，则y21，且2x2.所以x23y2x231x22，当x0，即P(0，1)时，()min2；当x2，即P(2,0)时，()max1.3(2011长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模)已知双曲线x21的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则的最小值为()A2 B C1 D0答案A 解析由已知得A1(1,0)，F2(2,0)设P(x，y)(x1)，则(1x，y)(2x，y)4x2x5.令f(x)4
6、x2x5，则f(x)在x1上单调递增，所以当x1时，函数f(x)取最小值，即取最小值，最小值为2.4(2011安徽模拟)点A、B分别为椭圆1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于x轴上方，PAPF.(1)求点P的坐标；(2)设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于|MB|，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值解析(1)由已知可得点A(6,0)，F(4,0)，设点P的坐标是(x，y)，则(x6，y)，(x4，y)由已知得消去y得，2x29x180，x或x6由于y0，只能x，于是y，所以点P的坐标是(，)(2)直线AP的方程是xy60设点M的坐标是(m,0)，则M到直线
7、AP的距离是，于是|m6|，又6m6，解得：m2椭圆上的点(x，y)到点M的距离是d，d2(x2)2y2x24x420x2(x)215，由于6x6，所以当x时d取最小值.5(文)已知点A(2,0)、B(4,0)，动点P在抛物线y24x上运动，则取得最小值时的点P的坐标是_答案(0,0) 解析设P，则，y2y288，当且仅当y0时取等号，此时点P的坐标为(0,0)6、 如图，已知抛物线与圆相交于A、B、C、D四个点。（）求r的取值范围 （）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标。解：（）将抛物线代入圆的方程，消去，整理得抛物线与圆相交于、四个点的充要条件是：方程（1）有两
8、个不相等的正根即。解这个方程组得.（II）设四个交点的坐标分别为、。则由（I）根据韦达定理有，则 令，则 下面求的最大值。方法2：设四个交点的坐标分别为、则直线AC、BD的方程分别为解得点P的坐标为。设，由及（）得 由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积则将，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）当时，；当时；当时，故当且仅当时，有最大值，即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为。 7、已知直线经过椭圆 的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（）求线段MN的长度的最小值；（解 方法一（I）由已知得，椭圆的左顶点为
9、上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而 即又，由得故，又 当且仅当，即时等号成立 时，线段的长度取最小值8、已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标； 解 （）由题意可知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 解得 从而，该双曲线的方程为.（）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故 从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，
10、因点M在双曲线右支上，故由方程组 解得 所以点的坐标为. 9、如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求AMN面积最大时直线l的方程和AMN的最大面积 解法一 由题意，可设l的方程为y=x+m,其中5m0 由方程组,消去y,得x2+(2m4)x+m2=0 直线l与抛物线有两个不同交点M、N，方程的判别式=(2m4)24m2=16(1m)0,解得m1,又5m0,m的范围为(5，0)设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=42m，x1x2=m2,|MN|=4 点A到直线l的距离为d= =2(5
11、+m),从而 ,当且仅当22m=5+m,即m=1时取等号 故直线l的方程为y=x1，AMN的最大面积为8 10、设椭圆中心在坐标原点，A(2,0)，B(0,1)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F两点，求四边形AEBF面积的最大值解依题设得椭圆的方程为y21.直线AB，EF的方程分别为x2y2，ykx(k0)设E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x1x2，且x1，x2满足方程(14k2)x24，故x2x1.根据点到直线的距离公式和式，得点E，F到AB的距离分别为h1，h2，又|AB|，所以四边形AEBF的面积为S|AB|(h1h2)22，当2k1，即k时，取等号所以四边
12、形AEBF面积的最大值为2.三、切线法【例2】求椭圆y21上的点到直线yx2的距离的最大值和最小值，并求取得最值时椭圆上点的坐标解设椭圆的切线方程为yxb，代入椭圆方程，得3x24bx2b220.由(4b)243(2b22)0，得b.当b时，直线yx与yx2的距离d1，将b代入方程3x24bx2b220，解得x，此时y，即椭圆上的点到直线yx2的距离最小，最小值是；当b时，直线yx到直线yx2的距离d2，将b代入方程3x24bx2b220，解得x，此时y，即椭圆上的点到直线yx2的距离最大，最大值是.圆锥曲线中的最值问题一、圆锥曲线定义、性质1.(文)已知F是椭圆1的一个焦点，AB为过其中心的一条弦，则ABF的面积最大值为()A6 B15 C20 D122、若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A1B.C2D23、(文)(2011山东省临沂市质检)设P是椭圆1上一点，M、N分别是两圆：(x4)2y21和(x4)2y21上的点，则|PM|PN|的最小值、最大值分别为()A9,12 B8,11 C8,12 D10,124、(2010福州市质检)已知P为抛物线y24x上一个动点，Q为圆x2(y4)21上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是()A5 B8 C.1 D.25、已知点F是
