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1、相似三角形综合应用 2014 年中考怎么考 内容基本要求略高要求 相似三角形了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简 单的推理和计算；会利用三角形的相似 解决一些实际问题 自检自查必考点 模型一 角分线模型 1、内角平分线 是的角平分线，则 ADABC ABBD ACCD 【证明】过作交直线于.CCEADABE ，CEAD ，1E 23 又平分，ADBAC ，12 ，3E ，AEAC 由可得：，CEAD ABBD AECD ABBD ACCD 2、外角平分线 的外角平分线交对边的延长线于，则 BACBCD ABBD ACCD 【证明】过作交直线于.CCEADABE ，CEA
2、D ，13 24 又平分，ADCAF ，12 ，34 ，AEAC 由可得：，CEAD ABBD AECD 3 2 1 E D C B A DCB A D C B A F 4 3 2 1 E DCB A ABBD ACCD 模型二 梯形模型 若，则ADBCab 22 ADEABEBECDEC SSSSaabbab E D CB A 中考满分必做题 考点一 与公共边有关的相似问题 【例 1】 如图，在矩形中，对角线、相交于点，为的中点，连接交于， ABCDACBDGEADBEACF 连接，若，则下列四对三角形：与；与； FD90BFABEAACDFEDDEB 与；与，其中相似的为（ ） CFDAB
3、GADFCFB G A BC D E F A B C D 【答案】D 【解析】，故 2 AEEF EB 2 DEEF EBFEDDEB 【例 2】 如图，矩形中，于，恰是的中点，下列式子成立的是（ ） ABCDBEACFECD F EDC BA A B C D 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 【答案】A 【例 3】 如图，中，于，于，于，交于，、的 ABCADBCDBEACEDFABFBEGFDAC 延长线交于点，求证：. H 2 DFFG FH 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 3 of 21 H G
4、D F E C B A 【解析】可通过射影定理转化成证明，证明即可.AF BFFG FHBFGHFA 【例 4】 如图，中，于为的中点，的延长线交于 ABC90ACBCDAB DE， BC DEAC， F 求证： ACFA BCFD 3 2 1 F D E C BA 【答案】，为中点，又，CDBCEBCEDEC12 290390BB ， ，又，又13 FF FCDFDA FAAD FDCD ，3390ACBADC ，ABCACD ADAC CDBC ACFA BCFD 【巩固】在中，过直角顶点作斜边的垂线，取的中点，连接并延长交的 RtABCBACBDBCEEDBA 延长于点，求证： F FD
5、AB FBBC F E D CB A 【解析】， FADFDB FDADAB FBBDBC 【例 5】 如图，在中，平分，的垂直平分线交于，交的延长线于， ABCADBACADADEBCF 求证： 2 FDFB FC E FDC B A 4 3 2 1 A E BD CF 【答案】连接垂直平分，即，又AFEFADAFDF4DAF 423 ，平分，又41B 231B ADBAC12 3B ，又，CFAAFB CFAAFB 2 FAFC FBAFDF 2 FDFB FC 【巩固】如上图，在中，的垂直平分线交于，交的延长线于， ABC 2 FDFB FCADADEBCF 求证：平分 ADBAC E
6、FDC B A 【答案】连接，垂直平分，AFEFAD ，又AFDF 2 DFFC FB 2 AFFC FB AFFB FCAF AFCBFA ，AFCBFA3B 423 41B 231B ，即平分12 ADBAC 【例 6】 已知，如图，为等边三角形，且的两边交直线于两点，求 ABC120DAEDAEBC DE， 证： 2 BCBD CE E D CB A 3 2 1 E D CB A 【解析】，又12060DAEBAC，1260 ，360 160E 2E 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 5 of 21 ，即360ABC 120ABDACE ABDECA ABCE
7、BDAC ，AB ACBD CEABACBC 2 ABBD CE 考点二 与旋转有关的相似问题 【例 7】 如图，直角梯形中，为梯形内一点，且 ABCD90BCDADBCBCCDE ，将绕点旋转使与重合，得到，连交于已 90BECBECC90BCDCDCFEFCDM 知，则的值为（ ） 53BCCF， :DM MC A B C D 5:33:54:33:4 M F E D CB A 【答案】C 【例 8】 如图，四边形和均为正方形，求_. ABCDBEFG:AG DF CE A B C D E F G G F E D CB A 【答案】连接。， BDBF，,ABBC BGBEABGCBE ,A
8、BBC BGBE ABGCBE AGCE,EFBE EFBE45 ,2EBFBFBE,BCCD BCCD 45 ,2CBDBDBC ,2 BDBF FBDCBE BCBE FBDEBC 2 DFBD ECBF :1:2 :1AG DF CE 【例 9】 （1）如图 1，等边中，为边上的动点，以为一边，向上作等边，连接 ABCDABCDEDC ，求证： AEAEBC （2）如图 2，将（1）中的等边改为以为底边的等腰三角形，所作的改成相似 ABCBCEDC 于，请问：是否有？证明你的结论 ABCAEBC E D C B A D E B C A 【答案】 （1）由，得，故ACEBCDEACACB
9、AEBC （2）由，得，故ACEBCDEACBACB AEBC 考点三 与三角形有关的相似综合题 【例 10】如图，内有一点，过作各边的平行线，把分成三个三角形和三个平行四边 ABCPPABC 形若三个三角形的面积分别为，则的面积是_ 123 SSS，1 12， ABC P S3 S2 S1 I HG F ED CB A 【解析】设的面积为，则，故ABCS 312 1 SSS PDPEHGBHHGGC BCBCBCBCSSS 22 123 1 1264 2SSSS 【答案】64 2 【例 11】如图所示，是一个凸六边形，、分别是直线与、与、 与 ABCDEFP Q RBAEFFECDDC 的交
10、点，、分别是与、与、与的交点，如果 ABSTUBCEDDEAFFACBAB PRCD ，求证： RQEF QP BC USDE STFA TU T S U RQ P F E DC B A 【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式，且、构成一个与相似的三角ABCDEFPQR 形的三边，因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三ABCDEFPQR 角形 如图所示，将平移至位置，则，且，CDOEOECDOECD= 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 7 of 21 T S U RQ P O F E DC B A 所以，且，FEOQ EO QRCD QRE
11、F QP 因此，从而，且FEOPQROFEP FO PREF QPAB PR 这说明，且，进而，且FOABFOAB=FAOBFAOB= 又因为，于是，所以，CODECOBSTUBC USCO STOB TU 注意到，故CODEOBFABC USDE STFA TU 【例 12】已知：的高所在直线与高所在直线相交于点 ABCADBEF （1）如图 l，若为锐角三角形，且，过点作，交直线于点， ABC45ABCFFGBCABG 求证：； FGDCAD （2）如图 2，若，过点作，交直线于点，则之间 135ABCFFGBCABGFGDCAD、 满足的数量关系是_； （3）在（2）的条件下，若，将一个
12、角的顶点与点重合并绕点旋转， 5 2AG 3DC 45BB 这个角的两边分别交线段于两点（如图 3），连接，线段分别与线段、线 FG MN， CFCFBM 段相交于两点，若，求线段的长 BN P Q， 3 2 NG PQ 图 1 G F E DCB A 图 2 G F E D C B A 图 3 N Q P A BC D E F G M 【答案】 （1）证明：，9045ADBABC ，45BADABC ADBD ，90BEC90CBEC 90DACC CBEDAC ，90FDBCDA FDBCDA DFDCGFBD ，45AGFABC AGFBAD FAFGFGDCFADFAD （2）FGDC
13、AD （3）如图， ，135ABC45ABD90ADB45DABDBA ADBD ，FGBCGDBADAB AFFG 222 5 2AGFGAFAG， 5FGAF ，由（2）知，3CD FGDCAD2ADBD13BCDF， 为等腰直角三角形FDC 22 3 2GCDFDC 分别过，作于点 于点四边形为矩形BNBHFGHNKBGKDFHB ，23HFBDBHDF，3BHHG 2 BGBH sin NK G NG 3 2 4 NK 9 2 4 BK 45MBNHBG MBHNBK 90MHBNKB MBHNBK MHBH NKBK 1MH 1FM BCFGBCFCFN BPCMPF CBFM ， BPCMPF 13 2 22 PCPFFC K HM G F E D CB A P Q N ，BQCNQF BCQNFQ BCCQ NFFQ 2 7 CQ FQ 223 2 3 2 993 CQFC 5 2 6 PQCPCQ 考点四 与相似有关的动点问题 【例 13】如图，中，点
