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1、相似三角形综合应用 2014 年中考怎么考 内容基本要求略高要求 相似三角形了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简 单的推理和计算;会利用三角形的相似 解决一些实际问题 自检自查必考点 模型一 角分线模型 1、内角平分线 是的角平分线,则 ADABC ABBD ACCD 【证明】过作交直线于.CCEADABE ,CEAD ,1E 23 又平分,ADBAC ,12 ,3E ,AEAC 由可得:,CEAD ABBD AECD ABBD ACCD 2、外角平分线 的外角平分线交对边的延长线于,则 BACBCD ABBD ACCD 【证明】过作交直线于.CCEADABE ,CEA
2、D ,13 24 又平分,ADCAF ,12 ,34 ,AEAC 由可得:,CEAD ABBD AECD 3 2 1 E D C B A DCB A D C B A F 4 3 2 1 E DCB A ABBD ACCD 模型二 梯形模型 若,则ADBCab 22 ADEABEBECDEC SSSSaabbab E D CB A 中考满分必做题 考点一 与公共边有关的相似问题 【例 1】 如图,在矩形中,对角线、相交于点,为的中点,连接交于, ABCDACBDGEADBEACF 连接,若,则下列四对三角形:与;与; FD90BFABEAACDFEDDEB 与;与,其中相似的为( ) CFDAB
3、GADFCFB G A BC D E F A B C D 【答案】D 【解析】,故 2 AEEF EB 2 DEEF EBFEDDEB 【例 2】 如图,矩形中,于,恰是的中点,下列式子成立的是( ) ABCDBEACFECD F EDC BA A B C D 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 22 1 2 BFAF 22 1 3 BFAF 【答案】A 【例 3】 如图,中,于,于,于,交于,、的 ABCADBCDBEACEDFABFBEGFDAC 延长线交于点,求证:. H 2 DFFG FH 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 3 of 21 H G
4、D F E C B A 【解析】可通过射影定理转化成证明,证明即可.AF BFFG FHBFGHFA 【例 4】 如图,中,于为的中点,的延长线交于 ABC90ACBCDAB DE, BC DEAC, F 求证: ACFA BCFD 3 2 1 F D E C BA 【答案】,为中点,又,CDBCEBCEDEC12 290390BB , ,又,又13 FF FCDFDA FAAD FDCD ,3390ACBADC ,ABCACD ADAC CDBC ACFA BCFD 【巩固】在中,过直角顶点作斜边的垂线,取的中点,连接并延长交的 RtABCBACBDBCEEDBA 延长于点,求证: F FD
5、AB FBBC F E D CB A 【解析】, FADFDB FDADAB FBBDBC 【例 5】 如图,在中,平分,的垂直平分线交于,交的延长线于, ABCADBACADADEBCF 求证: 2 FDFB FC E FDC B A 4 3 2 1 A E BD CF 【答案】连接垂直平分,即,又AFEFADAFDF4DAF 423 ,平分,又41B 231B ADBAC12 3B ,又,CFAAFB CFAAFB 2 FAFC FBAFDF 2 FDFB FC 【巩固】如上图,在中,的垂直平分线交于,交的延长线于, ABC 2 FDFB FCADADEBCF 求证:平分 ADBAC E
6、FDC B A 【答案】连接,垂直平分,AFEFAD ,又AFDF 2 DFFC FB 2 AFFC FB AFFB FCAF AFCBFA ,AFCBFA3B 423 41B 231B ,即平分12 ADBAC 【例 6】 已知,如图,为等边三角形,且的两边交直线于两点,求 ABC120DAEDAEBC DE, 证: 2 BCBD CE E D CB A 3 2 1 E D CB A 【解析】,又12060DAEBAC,1260 ,360 160E 2E 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 5 of 21 ,即360ABC 120ABDACE ABDECA ABCE
7、BDAC ,AB ACBD CEABACBC 2 ABBD CE 考点二 与旋转有关的相似问题 【例 7】 如图,直角梯形中,为梯形内一点,且 ABCD90BCDADBCBCCDE ,将绕点旋转使与重合,得到,连交于已 90BECBECC90BCDCDCFEFCDM 知,则的值为( ) 53BCCF, :DM MC A B C D 5:33:54:33:4 M F E D CB A 【答案】C 【例 8】 如图,四边形和均为正方形,求_. ABCDBEFG:AG DF CE A B C D E F G G F E D CB A 【答案】连接。, BDBF,,ABBC BGBEABGCBE ,A
8、BBC BGBE ABGCBE AGCE,EFBE EFBE45 ,2EBFBFBE,BCCD BCCD 45 ,2CBDBDBC ,2 BDBF FBDCBE BCBE FBDEBC 2 DFBD ECBF :1:2 :1AG DF CE 【例 9】 (1)如图 1,等边中,为边上的动点,以为一边,向上作等边,连接 ABCDABCDEDC ,求证: AEAEBC (2)如图 2,将(1)中的等边改为以为底边的等腰三角形,所作的改成相似 ABCBCEDC 于,请问:是否有?证明你的结论 ABCAEBC E D C B A D E B C A 【答案】 (1)由,得,故ACEBCDEACACB
9、AEBC (2)由,得,故ACEBCDEACBACB AEBC 考点三 与三角形有关的相似综合题 【例 10】如图,内有一点,过作各边的平行线,把分成三个三角形和三个平行四边 ABCPPABC 形若三个三角形的面积分别为,则的面积是_ 123 SSS,1 12, ABC P S3 S2 S1 I HG F ED CB A 【解析】设的面积为,则,故ABCS 312 1 SSS PDPEHGBHHGGC BCBCBCBCSSS 22 123 1 1264 2SSSS 【答案】64 2 【例 11】如图所示,是一个凸六边形,、分别是直线与、与、 与 ABCDEFP Q RBAEFFECDDC 的交
10、点,、分别是与、与、与的交点,如果 ABSTUBCEDDEAFFACBAB PRCD ,求证: RQEF QP BC USDE STFA TU T S U RQ P F E DC B A 【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式,且、构成一个与相似的三角ABCDEFPQR 形的三边,因而可以考虑通过平移变换将、集中到一起构成一个与相似的三ABCDEFPQR 角形 如图所示,将平移至位置,则,且,CDOEOECDOECD= 毕业班解决方案初三数学.相似三角形综合应用.教师版Page 7 of 21 T S U RQ P O F E DC B A 所以,且,FEOQ EO QRCD QRE
11、F QP 因此,从而,且FEOPQROFEP FO PREF QPAB PR 这说明,且,进而,且FOABFOAB=FAOBFAOB= 又因为,于是,所以,CODECOBSTUBC USCO STOB TU 注意到,故CODEOBFABC USDE STFA TU 【例 12】已知:的高所在直线与高所在直线相交于点 ABCADBEF (1)如图 l,若为锐角三角形,且,过点作,交直线于点, ABC45ABCFFGBCABG 求证:; FGDCAD (2)如图 2,若,过点作,交直线于点,则之间 135ABCFFGBCABGFGDCAD、 满足的数量关系是_; (3)在(2)的条件下,若,将一个
12、角的顶点与点重合并绕点旋转, 5 2AG 3DC 45BB 这个角的两边分别交线段于两点(如图 3),连接,线段分别与线段、线 FG MN, CFCFBM 段相交于两点,若,求线段的长 BN P Q, 3 2 NG PQ 图 1 G F E DCB A 图 2 G F E D C B A 图 3 N Q P A BC D E F G M 【答案】 (1)证明:,9045ADBABC ,45BADABC ADBD ,90BEC90CBEC 90DACC CBEDAC ,90FDBCDA FDBCDA DFDCGFBD ,45AGFABC AGFBAD FAFGFGDCFADFAD (2)FGDC
13、AD (3)如图, ,135ABC45ABD90ADB45DABDBA ADBD ,FGBCGDBADAB AFFG 222 5 2AGFGAFAG, 5FGAF ,由(2)知,3CD FGDCAD2ADBD13BCDF, 为等腰直角三角形FDC 22 3 2GCDFDC 分别过,作于点 于点四边形为矩形BNBHFGHNKBGKDFHB ,23HFBDBHDF,3BHHG 2 BGBH sin NK G NG 3 2 4 NK 9 2 4 BK 45MBNHBG MBHNBK 90MHBNKB MBHNBK MHBH NKBK 1MH 1FM BCFGBCFCFN BPCMPF CBFM , BPCMPF 13 2 22 PCPFFC K HM G F E D CB A P Q N ,BQCNQF BCQNFQ BCCQ NFFQ 2 7 CQ FQ 223 2 3 2 993 CQFC 5 2 6 PQCPCQ 考点四 与相似有关的动点问题 【例 13】如图,中,点