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1、圆锥曲线与方程专题1、椭圆考点1、椭圆的定义：椭圆的定义：平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。特别提示：椭圆的定义中特别要注意条件，否则规矩不是椭圆。当时，动点的轨迹是两定点间的线段；当时，动点的轨迹不存在。必备方法： 1、掌握椭圆定义的集合语言表述有助于增强驾驭数学符号语言的能力，椭圆的集合语言表述如下： 若为椭圆上任意一点，则有。 2、一般地，遇到与椭圆的焦点距离有关的问题都可以考虑用椭圆的定义解决。典例导悟：例1、已知，是椭圆C的两个焦点，过且垂直于轴的直线交C于A、B两点，且，则C的方程为（ ） A、
2、 B、 C、 D、例2、已知点，直线与椭圆相交于A、B两点，则的周长为（ ） A、4 B、8 C、12 D、16例3、设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，则的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、考点2、椭圆的标准方程： 1、椭圆的标准方程： （1）焦点在x轴上时： （） （2）焦点在y轴上时： （） 2、在椭圆的标准方程中，都有，且。必备方法： 1、给出椭圆方程时，判断椭圆焦点的位置的方法是：椭圆的焦点在x轴上时；椭圆的焦点在轴上时，这是判断椭圆焦点所在坐标轴的重要方法。 2、在求解椭圆问题时，首先要判断焦点、的位置，这是椭圆的定位条件，它决定椭圆标准方程的类型，而方程中的两个参数、确定椭
3、圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。 3、当焦点的位置不能确定时，椭圆方程可设为（，且）典例导悟：例1、已知中心在原点的椭圆的右焦点为，离心率等于，则的方程是（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知椭圆的离心率为。双曲线的渐近线与椭圆有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆的方程为（ ） A、 B、 C、 D、例3、对于常数、，“”是“方程的曲线是椭圆”的（ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件考点3、椭圆的几何性质：必备方法： 1、在求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出和的值，而是根据题目中给出的椭圆的几何特征，建立关于
4、参数、的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围。 2、椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形。解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦、余弦定理。 3、涉及直线与椭圆相交问题，常将直线方程与椭圆方程联立方程组，消元转化为一元二次方程，然后结合判别式、根与系数关系（，）解题。 4、涉及中点弦问题，常用点差法来解决（一、设点；二、代点；三、作差）标准方程 简 图范 围 顶点 对称轴 轴，轴对称中心 坐标原点O焦点坐标 轴 长轴长为，短轴长为焦距 离心率 （），间关系 焦点三角形 （）弦长公式椭圆上点到焦点的最小距离为，最大距离为。典例导悟：例1、设椭圆的两个焦点分别为、，过
5、作椭圆长轴的垂线交椭圆于点，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例3、若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例4、从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、例5、椭圆的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，若、成等比数列，则此椭圆的离心率为（ ） A、 B、 C
6、、 D、例6、已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点在椭圆上，且轴，直线交轴于点。若，则椭圆的离心率是（ ） A、 B、 C、 D、专题2、双曲线考点1、双曲线的定义： 双曲线的定义：平面上与两个定点、距离的差的绝对值为非零常数2（小于）的动点轨迹是双曲线（）。这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距。特别提示：定义中的“绝对值”与不可忽视。若，则轨迹是以、为端点的两条射线；若，则轨迹不存在；若，则轨迹为线段的垂直平分线。另外，若去掉定义中的绝对值，则轨迹仅表示双曲线的一支。如：方程表示的双曲线是双曲线的左支。必备方法：1、类比椭圆，双曲线定义的集合语言表述如下：2、 在运用双曲线
7、的定义解题时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”。典例导悟：例1、已知双曲线，点、为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则的值为 例2、已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则（ ） A、2 B、4 C、6 D、8例3、已知、为双曲线的左、右焦点，点在上，则（ ） A、 B、 C、 D、考点2、双曲线的标准方程：1、双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上时： （2）焦点在y轴上时： 特别提示：在双曲线方程中和的大小关系不定，这一点与椭圆是不同的。2、在双曲线的标准方程中，有关系式成立，且。必备方法：1、双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正；双曲线的焦点在轴上标准方程中项的系数为正，这是判断双
8、曲线的焦点所在坐标轴的重要方法。2、双曲线标准方程的求解方法是“先定型，后计算”。所谓“定型”，是指确定类型，也就是确定双曲线的焦点所在的坐标轴是轴还是轴，从而设出相应的标准方程的形式；所谓“计算”，是指利用待定系数法求出方程中的，的值，最后写出双曲线的标准方程。3、在求双曲线的方程时，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或直接设双曲线的方程为（）典例导悟：例1、在平面直角坐标系中，已知双曲线上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为 例2、已知双曲线C：的焦距为10，点P（2，1）在C的渐近线上，则C的方程为（ ） A、 B、 C、 D、例3、已知双曲线C：和椭圆有相同的焦点，且双曲
9、线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为 例4、已知抛物线的准线过双曲线C：的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为 考点3、双曲线的几何性质：必备方法： 1、双曲线的几何性质的实质是围绕双曲线中的“六点”（两个焦点、两个顶点、两个虚轴的端点），“四线”（两条对称轴、两条渐近线），“两形”（对称中心、一个焦点以及一个虚轴端点构成的三角形、双曲线上的一点和两焦点构成的三角形）研究它们之间的相互关系。 2、双曲线的渐近线方程的求解是一个重要问题，已知双曲线方程求其渐近线方程时，一方面可以应用公式求得，另一方面，也可将双曲线方程中的“1”改为“0”，便可得到其渐近线方程。另外与双曲
10、线具有共同渐近线的双曲线的方程都可以设为，然后再根据其他条件求出，代入便可求出双曲线方程。3、与双曲线共焦点的圆锥曲线方程为且标准方程 简 图范 围 顶点 对称轴 轴，轴对称中心 坐标原点O焦点坐标 轴 实轴长为，虚轴长为焦距 渐近线方程 离心率 （），间关系 焦点到渐近线的距离 焦点三角形 （）弦长公式典例导悟：例1、已知双曲线C：的离心率为，则C的渐近线方程为（ ） A、 B、 C、 D、例2、已知F为双曲线C：的左焦点，P、Q为C上的点。若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A（5，0）在线段PQ上，则的周长为 例3、双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ） A、 B、 C、1 D、例4、已知双曲
11、线的右焦点为（3，0），则该双曲线的离心率等于（ ） A、 B、 C、 D、例5、设P为直线与双曲线左支的交点，是左焦点，垂直于轴，则双曲线的离心率 例6、已知双曲线与双曲线有相同的渐近线，且的右焦点为，则 ， 例7、中心在原点，焦点在轴上的双曲线的一条渐近线经过点，则它的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、例8、设O为坐标原点，、是双曲线的焦点，若在双曲线上存在点P，满足，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A、 B、 C、 D、例9、设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ） A、 B、 C、 D、例10、如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，A、 B分别为与在第二、四象限的公共点。若四边形为矩形，则的离心率是 考点1、抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物
