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1、实验一 线性方程组迭代法实验一、 实验目的 1掌握用迭代法求解线性方程组的基本思想和计算步骤；2能熟练地写出Jacobi迭代法的迭代格式的分量形式，并能比较它们各自的特点及误差估计；3.理解迭代法的基本原理及特点，并掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代格式的分量形式、矩阵形式及其各自的特点；4.掌握Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代和SOR迭代算法的MATLAB程序实现方法,及了解松弛因子对SOR迭代的影响；5.用SOR迭代法求解线性方程组时，超松弛因子的取值大小会对方程组的解造成影响，目的就是能够探索超松弛因子怎样对解造成影响，通过这个实验我们可以了解的大致
2、取值范围。二、 实验题目1、迭代法的收敛速度用迭代法分别对n=20，n=200解方程组Ax=b,其中（1）选取不同的初值x0和不同的右端向量b，给定迭代误差，用两种迭代法计算，观测得到的迭代向量并分析计算结果给出结论；（2）取定初值x0和右端向量b，给定迭代误差，将A的主对角元成倍放大，其余元素不变，用Jacobi迭代法计算多次，比较收敛速度，分析计算结果并给出结论。2、SOR迭代法松弛因子的选取（1）给定迭代误差，选取不同的超松弛因子，从1.00到2.00，观察不同的松弛因子对解得影响。然后利用雅可比迭代求的的解与它们比较； （2）给定迭代误差，选取不同的低松弛因子，从1.00到2.00，观
3、察不同的松弛因子对解得影响。然后利用雅可比迭代求的的解与它们比较。三、 实验原理1、迭代法的收敛速度运用了Jacobi迭代，Gauss-Seidel迭代1）Jacobi迭代算法：1. 取初始点x(0),精度要求，最大迭代次数N，置k：=0；2. 由，计算出x（k+1）；3. 若,则停算，输出x(k+1)作为方程组的近似解；4. 若k=N，则停算，输出迭代失败信息；否则置k：=k+1，转步2。2）Gauss-Seidel迭代算法：1.输入矩阵A，右端向量b，初始点x(0),精度要求，最大迭代次数N，置k:=0；2.计算3.若，则停算，输出x作为方程组的近似解；4. 若k=N，则停算，输出迭代失败
4、信息；否则置x（0）:=x，k:=k+1，转步骤2。2、SOR迭代法松弛因子的选取（1）逐次超松弛迭代法是Gauss-Seidel迭代法的加速。Gauss-Seidel迭代格式为：X(k+1)=D-1*L*x(k+1)+D-1*U*x(k)+ D-1*b（2）SOR迭代格式为X(k+1)=（I-w D-1*L）-1*(1-w)I+w D-1*U*x(k)+w(I-w D-1*L)-1* D-1*b其中，w叫做松弛因子，当w1时叫超松弛，当1w0时叫低松弛。W=1是Gauss-Seidel迭代法；（3）SOR迭代法的算法：输入矩阵A，向量b，初始点x(0),精确度，最大迭代次数N，松弛因子的选取
5、；进行迭代；判断迭代的情况。四、 实验内容1、迭代法的收敛速度1.1实验步骤：（1）打开matlab软件，新建一个M文件，编写程序（如下），运行程序，记录结果；（2）把程序中x0=ones(n,1)改为x0=eye(n,1)，运行程序，记录结果；（3）把程序中A(i,i)=m改为A(i,i)=2*m，注释掉x1=majacobi(A,b);x1后面的部分，运行程序，记录结果；（4）仿照（3）再把主对角元成倍放大，运行程序，记录结果。1.2实验程序：clcn=20;A=zeros(n);m=4;for i=1:n A(i,i)=m;endfor i=1:n-1 A(i,i+1)=-1/3; A(
6、i+1,i)=-1/3;endfor i=1:n-2 A(i,i+2)=-1/5; A(i+2,i)=-1/5;endx0=ones(n,1);b=A*x0;x1=majacobi(A,b);x1x2=maseidel(A,b);x2norm(x1-x2)1.3实验设备： matlab软件。2、SOR迭代法松弛因子的选取2.1实验步骤：（1） 数据准备：A=12*eye(200,200);for i=1:199 A(i,i+1)=-2; A(i+1,i)=-2;endfor j=1:198 A(j,j+2)=1; A(j+2,j)=1;endb=5*ones(200,1);（2）给定迭代误差1
7、e-6，取=1.00,1.10,1.20,1.30,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,1.91,1.92,1.95,1.97,1.98,1.99,2.00，代入x=masor(A,b，)，x20=majacobi(A,b)并利用norm(x-x20)分别分析与雅可比迭代求的解的误差； (3) 给定迭代误差1e-6，取=0.02,0.03,0.040.10,0.20,0.30,0.40,0.50,0.60,0.70,0.80,0.90,0.97.0.98,0.99，代入x=masor(A,b，)，x20=majacobi(A,b)并利用norm(x-x20)分别分析与雅
8、可比迭代求的解的误差。五、 实验结果1、迭代法的收敛速度（1）对于n=20时：n = 20Columns 1 through 12 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.20
9、00 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.2000 -0.3333 4.0000 -0.3333 -0.2000 0 0 0 0 0 0 0 0 -0.200
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