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1、第二章 函数,第一节：函数解析式、定义域、值域,常考题型：选择题 分值：5分（一道） 难度：中低档,2,第一节：函数解析式、定义域、值域,考点一：函数的概念,3,第一节：函数解析式、定义域、值域,考点二：定义域和值域 1.在函数y=f(x)，x，自变量x的取值范围（数集A）叫做函数的定义域，函数值的集合f(x) x是函数的值域。 2.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为相等函数。,4,第一节：函数解析式、定义域、值域,例题1：下列各组函数中，表示同一函数的是（ ） A.f = g = 2 B.f =2 g = +1 2 C.f = 2 g = D.f =0 g = 1
2、 + 1,5,C,第一节：函数解析式、定义域、值域,6,C,函数定义域的类型和求法,1.当函数是整式时例如 那么函数的定义域是实数集R。 2.如果函数中含有分式,那么函数的分母必须不为零。 3.如果函数中含有偶次根式,那么根号内的式子必须不小于零。 4.零的零次幂没有意义,即f(x)=x0，x0。 5.对数的真数必须大于零。 6.对数的底数满足大于零且不等于1。,求函数定义域注意以下几点：,一、常规型,即给出函数的解析式的定义域求法,其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组,解此不等式(或组)即得原函数的定义域。,例1求函数,的定义域。,解:要使函数有意义,则必须满足,由解得x-
3、3或x5 ,由解得x5或x-11 ,由和求交集得x-3且x-11或x5,故所求函数的定义域为x| x-3且x-11x|x5。,(-2,-11,2),(2x4且x3,（1/2,1,X1/10,且x1）,二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 (1)已知f(x)的定义域,求fg(x)的定义域。 其解法是:已知f(x)的定义域是a,b求fg(x)的定义域是解ag(x)b,即为所求的定义域。 例1 已知f(x)的定义域为2,2,求f(x2-1)的定义域。 解：令-2x2-12，得-1x23，即0x
4、23， 因此,，从而,故函数的定义域是,（2）已知fg(x)的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知fg(x)的定义域是a，b，求f(x)定义域的方法是：由axb，求g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例2 已知f(2x+1)的定义域为1,2,求f(x)的定义域。 解：因为1x2, 22x4, 32x+15. 即函数f(x)的定义域是x|3x5。,(3)已知f(2x-1)的定义域是0,1,求f(3x)的定义域。 解:因为0x1,02x2,-12x-11. 所以函数f(3x)的定义域是-13x1即 x|-1/3x1/3。,例3 已知函数,的定义域为R求实数m的取值范围。,分析：函数的
5、定义域为R，表明mx2-6mx+8+m0，使一切xR都成立，由x2项的系数是m，所以应分m=0或m0进行讨论。 解：当m=0时，函数的定义域为R； 当m0时，mx2-6mx+8+m0是二次不等式,其对一切实数x都成立的充要条件是,综上可知0m1。 注:不少同学容易忽略m=0的情况,希望通过此例解决问题。,例4 已知函数,的定义域是R，求实数k的取值范围。,解:要使函数有意义,则必须kx2+4kx+30恒成立, 因为f(x)的定义域为R,即kx2+4kx+3=0无实数根 当k0时，=16k2-43k0恒成立， 解得,当k=0时，方程左边=30恒成立。 综上k的取值范围是,四.实际问题型:函数的定
6、义域除满足解析式外, 要注意问题的实际意义对自变量的限制,须要加倍注意,并形成意识。 例5 将长为a的铁丝折成矩形，求矩形面积y关于一边长x的函数的解析式，并求函数的定义域。,解:设矩形一边为x,则另一边长为,于是可得矩形面积,由问题的实际意义，知函数的定义域应满足,故所求函数的解析式为,定义域为(0, ),常用的求函数的值域的方法有以下几种：,1.直接法 2.配方法 3.换元法 4.判别式法 5.分离系数法 6图像法,1.直接法：有的函数的结构并不复杂，可以通过基本函数的值域及不等式的性质直接观察求出函数的值域。,例1：求函数 的值域,二、配方法：,形如 y=ax2+bx+c(a0) 的函数
7、常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围. 例2 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域: -4, -3; -4, 1; -2, 1,三：换元法,通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元的取值范围). 例3 求函数 的值域: 注：换元法是一种非常重工的数学解题方法，它可以使复杂问题简单化，但是在解题的过程中一定要注意换元后新元的取值范围。,3、求下列函数的值域： （1）y = x +,解：设 t =,则 x = 1 t 2 且 t 0,y = 1 t 2 + t,由图知：,故函数的值域为,（2）y = 2x 3 +
8、,解：设 t =,由图知：,故函数的值域为：,四、判别式法,例4 求函数 y = 的值域.,能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的函数常用判别式法求函数的值域.,求函数 y = 的值域,解：由题知 x R，则有,2yx 2 + 2yx + y = x 2 2x 3,( 2y 1 )x 2 + 2( y + 1 )x + ( y + 3 ) = 0,故函数的值域为 4，1 ,例5、求下列函数的值域: (1) y =,解：由,故函数的值域为,分离常数法-可将其分离出一个常数,练习求下列函数的值域,(1)y=3x+2(-1x1) (2),解:(1),-33x3,-13x+25,即-1y
9、5,值域是-1，5,y=,-1x1,解:(2),y1,即函数的值域是 y| yR且y1,求下列函数的值域： （1）y = （2）y = （3）y = x2+4x+3 (-3x1) （4）y =3-2x-x2 x-3,1,变式:(1)求函数 的值域,(2)求函数 , x 3,5 的值域,（5）、求下列函数的值域: （1）y = | x + 1 | | 1 x |,解：由 y = | x + 1 | | x 1 |,当 x 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 2,当 1 x 1 时，y = ( x + 1 ) + ( x 1 ) = 2x,当 x 1 时，y = ( x +
10、 1 ) ( x 1 ) = 2,由图知： 2 y 2,故函数的值域为 2 ， 3 ,第一节：函数解析式、定义域、值域,例题8：求函数y= +1 - 1 的值域 原式= ( +1 + 1 )( +1 1 ) ( +1 + 1 ) = 2 +1 + 1 （1） 解析：利用函数的单调性求解值域，即为单调性法。 求函数=+ 1 的值域,35,把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫函数的解析式，简称解析式.,二、求函数解析式的常用方法有：,一、函数的解析式:,(1)代入法 (2)待定系数法 (3)换元法 (4)配凑法 (5)方程组法,例1,（1）代入法,（1）代入法,设 求,例2 已知一
11、次函数yf(x)，f(1)1，f(-1)-3，(1) 求f(x)的解析式； (2) 求f(3),（2）待定系数法,思路分析：一次函数的一般形式，根据题设条件求待定系数即可,1.已知一次函数f(x)满足ff(x)4x6，则f(x)_.,2.已知二次函数f(x)满足f(0)1，f(1)2，f(2)5，求该二次函数的解析式,（3）换元法,适合：已知fg(x)的解析式,求f(x).,换元法,例3 已知 求 ，,（4）拼凑法,例4.已知函数f(x1)x22x，求f(x)_.,解：因为 f(x1)=x22x (x22x1)(4x4)3 (x1)24(x1)3， 所以f(x1)(x1)24(x1)3， 即f(x)x24x3.,(换元法)令x1t，则xt1， 可得f(t)(t1)22(t1)t24t3， 即f(x)x24x3.,例5 已知,，求,解：由,解得,消元法,（5）方程组法,适合: 同时含有,1.已知,求f(x)的解析式.,解：,1.已知反比例函数f(x),满足f(3)6，求f(x)的解析式.,巩固作业,
