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1、Mechanics of Materials,Chapter 4 Internal forces in beams,材料力学,第四章 弯曲内力,主讲：罗松南教授,4-1 弯曲的概念和实例,第四章 弯曲内力 ( Internal forces in beams ),4-4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图,4-3 剪力和弯矩,4-2 受弯杆件的简化,4-6 平面刚架和曲杆的弯曲内力,4-7 叠加原理作弯矩图,4-5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系,一. 工程实例（Example problem),4-1 弯曲的概念和实例 (Basic concepts and example problems
2、),二、基本概念（Basic concepts),2、梁 (Beam) 以弯曲变形为主的杆件,外力（包括力偶）的作用线垂直于杆轴线.,(1) 受力特征,(2) 变形特征 变形前为直线的轴线,变形后成为曲线.,1、弯曲变形（Deflection ),3、平面弯曲(Plane bending) 作用于梁上的所有外力都在纵向对称面内,弯曲变形后的轴线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲.,A,B,梁变形后的轴线与外力在同一平面内,RA,F1,F2,RB,(3） 支座的类型,梁的力学模型的简化（Representing a real structure by an idealized
3、 model),(1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。,(2）载荷类型,集中力（concentrated force),集中力偶（concentrated moment),分布载荷（distributed load ),可动铰支座（roller support),4-2 受弯杆件的简化,固定铰支座 (pin support),固定端(clamped support or fixed end),静定梁的基本形式 (Basic types of statically determinate beams),例1 贮液罐如图示，罐长L=5m，内径 D=1m，壁厚t=10mm, 钢的密度为： 7.8
4、g/cm，液体的密度为：1g/cm ,液面高 0.8m，外伸端长1m，试求贮液罐的计算简图.,一、内力计算（Calculating internal force),举例已知 如图，F，a，l. 求 距A端x处截面上内力.,解: 求支座反力,4-3 剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams),求内力截面法,1、弯矩(Bending moment )M 构件受弯时，横截面上其作用面垂直于截面的内力偶矩.,2、 剪力(Shear force) FS 构件受弯时，横截面上其作用线平行于截面的内力.,1、剪力符号 (Sign convention
5、for shear force),使dx 微段有 左端向上而右端向下的相对错 动时,横截面m-m 上的剪力为正。或使dx微段 有顺时针转动趋势的剪力为正。 体内一点顺时针转动为正。,二、内力的符号规定 （Sign convention for internal force),使dx微段有左端向下而右端向上的相对错 动时，横截面m-m上的剪力为负。或使dx微段 有逆时针转动趋势的剪力为负。 体内一点反时针转动为负。,当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部受拉 ）时，横截面m-m 上的弯矩为正； 上压下拉为正。,2、弯矩符号（Sign convention for bending moment),
6、当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半部受拉压）时，横截面m-m 上的弯矩为负. 上拉下压为负。,例题1 图示简支梁，已知q 、L求11截面的内力。,解： 求反力,由对称性，易求得：, 求内力,？,c. 不要将材料力学对Fs、M的正负号规定（材力规定）与列平衡方程中力与力偶的正负号（理力规定）混淆。,b. 假设1-1截面上的内力均为正号，则最后结果的符号具有双重含义。,a. 取脱离体之前不能进行力的简化，取脱离体之后可进行。,注意：,例2 求图示悬臂梁11截面的内力。,解：截面法：,总结规律：,(1) 梁内任一截面的剪力Q的大小等于该截面左边(或右边) 的所有外力在与梁轴垂直方向上投影的代数和(
7、横向力代数和) 。若考虑左段为脱离体，则向上的力产生正剪力，向下的力产生负剪力。即：左上右下为正。,基本规律：,(2) 梁内任一截面的弯矩M的大小 等于该截面左边(或右边) 所有外力(包括外力偶) 对该截面形心的力矩的代数和。 即：左顺右逆为正。,例3 求图示梁11，22截面的内力。,解：(1) 求反力,(2) 根据基本规律求内力,解,例题4 求图示梁中指定截面上的剪力和弯矩.,(1）求支座反力,(2）求1-1截面的内力,(3）求2-2截面的内力,4-4 剪力方程和弯矩方程剪力图和弯矩图 (Shear- force shear-force&bending-moment diagrams),FS
8、= FS(x),M= M(x),一、剪力方程和弯矩方程 (Shear- force & bending-moment equations） 用函数关系表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律，分别称作剪力方程和弯矩方程.,1、剪力方程(Shear- force equation ),2、弯矩方程（Bending-moment equation）,弯矩图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,二、剪力图和弯矩图 (Shear-force&bending-moment diagrams),剪力图为正值画在 x 轴上侧，负值画在x 轴下侧,以平行于梁轴的横坐标x表示横截面的位置，以纵坐标表示相
9、应截面上的剪力和弯矩.这种图线分别称为剪力图和弯矩图,例题5 如图所示的悬臂梁在自由端受集中荷载 F 作用, 试作此梁的剪力图和弯矩图.,解 (1) 将坐标原点取在梁的左端， 列出梁的剪力方程 和弯矩方程,悬臂梁受均布载荷作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：任选一截面x ，写出剪力和弯矩 方程,依方程画出剪力图和弯矩图,由剪力图、弯矩图可见。最大剪力和弯矩分别为,例题6,图示简支梁C点受集中力作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyFb/l FByFa/l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题5-3
10、,例题7,图示简支梁C点受集中力偶作用。,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAyM / l FBy -M / l,2写出剪力和弯矩方程,AC,CB,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题5-4,例题8,简支梁受均布载荷作用,试写出剪力和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。,解：1确定约束力,FAy FBy ql/2,2写出剪力和弯矩方程,3. 依方程画出剪力图和弯矩图。,例题5-5,例题9,2、以集中力、集中力偶作用处、分布荷载开始或结束处，及支 座截面处为界点将梁分段.分段写出剪力方程和弯矩方程，然后 绘出剪力图和弯矩图.,1、取梁的左端点为座标原点，x 轴向右为
11、正;剪力图向上为 正；弯矩图向上为正.,5、梁上的最大剪力发生在全梁或各梁段的边界截面处；梁上的最大弯矩发生在全梁或各梁段的边界截面，或Fs = 0 的截面处.,小 结,3、梁上集中力作用处左、右两侧横截面上，剪（图）有突变， 其突变值等于集中力的数值.在此处弯矩图则形成一个尖角.,4、梁上集中力偶作用处左、右两侧横截面上的弯矩值（图） 也有突变，其突变值等于集中力偶矩的数值.但在此处剪力图 没有变化.,例题10 一简支梁受移动荷载 F 的作用如图所示.试求梁的最大弯矩为极大时荷载 F 的位置.,解 先设 F 在距左支座 A 为 x 的任意位置.求此情况下梁的最大弯矩为极大.,荷载在任意位置时
12、，支反力为,当荷载 P 在距左支座为 x 的任意位置 C 时，梁的弯矩为,令,此结果说明，当移动荷载 F 在简支梁的跨中时，梁的最大弯矩为极大.,得最大弯矩值,设梁上作用有任意分布荷载 其集度,4-5 剪力、弯矩与分布荷载集度间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment),一、弯矩、剪力与分布荷载集度间的微分关系(Differential relationships between load,shear force,and bending moment),q = q (x),规定 q (x)向上为正.,将 x 轴
13、的坐标原点取在 梁的左端.,假想地用坐标为 x 和 x+dx的 两横截面m-m和n-n从梁中取出dx 一段.,x+dx 截面处 则分别为 FS(x)+dFS(x) , M(x)+dM(x) . 由于dx很小，略去q(x) 沿dx的变化.,m-m截面上内力为 FS(x) ,M(x),x,m,m,n,n,dx,写出平衡方程,得到,略去二阶无穷小量即得,公式的几何意义,（1）剪力图上某点处的切线斜率等于该点 处荷载集度的大小.,（2）弯矩图上某点处的切线斜率等于该点 处剪力的大小.,M(x)图为一向上凸的二次抛物线.,FS(x)图为一向右下方倾斜的直线.,二、q(x)、Fs(x)图、 M（x）图三者
14、间的关系 (Relationships between load,shear force,and bending moment diagrams),1、梁上有向下的均布荷载，即 q(x) 0,2、梁上无荷载区段，即 q(x) = 0,剪力图为一条水平直线.,弯矩图为一斜直线.,当 F S(x) 0 时，向右上方倾斜.,当 F S(x) 0 时，向右下方倾斜.,3、梁上最大弯矩 Mmax可能发生在FS(x) = 0 的截面上; 或发生在集中力所在的截面上；或集中力偶作用处； 最大剪力可能发生在集中力所在的截面上；或分布载荷发生变化的区段上.,4、在集中力作用处剪力图有突变，其突变值等于集中力的值
15、.弯矩图有转折.,5、在集中力偶作用处弯矩图有突变，其突变值等于集中力偶的值，但剪力图无变化.,无荷载,集中力,F,C,集中力偶,m,C,向下倾斜的直线,上凸的二次抛物线,在FS=0的截面,水平直线,一般斜直线,或,在C处有转折,在剪力突变的截面,在紧靠C的某一侧截面,一段梁上的外力情况,剪力图 的特征,弯矩图 的特征,Mmax所在 截面的可 能位置,表 4-1 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征,向下的均布荷载,在C处有突变,在C处有突变,在C处无变化,微分关系绘制剪力图与弯矩图的方法：, 根据载荷及约束力的作用位置，确定控制面。, 应用截面法确定控制面上的剪力和弯矩数值。, 建立FS一x和M
16、一x坐标系，并将控制面上的剪力 和弯矩值标在相应的坐标系中。, 应用平衡微分方程确定各段控制面之间的剪力图 和弯矩图的形状，进而画出剪力图与弯矩图。,三、分布荷载集度、剪力和弯矩之间的积分关系(Integral relationships between load, shear force, and bending moment),若在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面 A，B 间无集中力则,等号右边积分的几何意义是，上述 A,B 两横截面间分布荷载图的面积.,式中，FSx1 ，FSx2 分别为在 x=x1 和 x= x2 处两个横截面上的剪力.,若横截面 A,B 间无集中力偶作用则得,式中 MA,MB分别为在x = a , x = b 处两个横截面A及B上的弯矩.,等号右边积分的几何意义是 A,B 两个横截面
