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1、 1 / 26 第第 36 届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题解答 2019 年 9 月 21 日2019 年 9 月 21 日 一（40 分） 、如图 a，旅行车上有一个半径为 R 的三脚圆凳(可视为刚性结构)，三个相同凳 脚的端点连线（均水平）构成边长为 a 的等边三角形，凳子质心位于其轴上的 G 点半径 为 r 的一圆筒形薄壁茶杯放在凳面上，杯底中心位于凳面中心 O 点处，茶杯质量为 m（远 小于凳子质量） ，其中杯底质量为 5 m （杯壁和杯底各自的质量分布都是均匀的） ，杯高为 H （与杯高相比，杯底厚度可忽略） 杯中盛有茶水，茶水密度为重力
2、加速度大小为g 1）为了使茶水杯所盛茶水尽可能多并保持足够稳定，杯中茶水的最佳高度是多少？ 2）现该茶水杯的底面边缘刚好缓慢滑移到与圆凳的边缘内切于 D 点时静止（凳面边有小凸 缘，可防止物体滑出；凳面和凳面边的凸缘各自的质量分布都是均匀的） ，且 ODAC（见 图 b） ，求此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于滑移前（该茶水杯位于凳面中心处） 的改变 参考解答：参考解答： 1）以凳面中心 O 为坐标原点，以过 O 点向上的竖直线为 y 轴. 茶杯（包括茶水在内）的质 心位置 CM y为 2 CM 2 4 () 522 () m Hh r h y mr h (1) 5 分 式中h是杯中茶水的
3、高度. 令 2 r，(1)式即 2 CM 4 522 m Hh y mh 事实上， 考虑在茶杯中茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程， 茶水杯整体的质心先 是逐渐降低，然后再逐渐上升. 为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯整 体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置 CMmaxCMmin ()()yhhy，故有 max CM d 0 d h h y h (2) 5 分 由(1)(2)式得 max 4 11 5 mH h m (3) 舍弃负值（不合题意） ，杯中茶水的最佳高度为 图 b G R D A B O a C G R A C B O a 图 a 2 / 26 max 2
4、2 4 11 5 4 11 5 mH h m mr H rm (4) 3 分 另一解法： 事实上， 考虑在茶杯中的茶水的水平面从杯底逐渐缓慢上升的过程， 茶水杯整体的质心 先是逐渐降低，然后再逐渐上升. 为了使茶水杯盛尽可能多的茶水并保持足够稳定，茶水杯 整体的质心应尽可能接近凳面，处于最低点的位置 CMmaxCMmin ()()yhhy. (1)式即 2 CM 2 52 2 mHm mhm y mh 它满足代数不等式 22 CMCMmin 22 5252 22() 22 mHmmHm mhmm yy mh (2) 5 分 式中当h满足 2 2 52 2 mHm mh mh (3) 即 max
5、 2 2 4 11 5 4 11 5 mH hh m mr H rm (4) 3 分 时取等号， max h即杯中茶水的最佳高度. 2）记凳子质量为 M. 该茶水杯的底面边缘刚好滑移到与圆 凳的边缘内切于 D 点静止后，坐标系及三脚圆凳的受力分 析分别如解题图 a 和解题图 b 所示， 其中 A N、 B N和 C N分 别是车内底板对凳脚 A、B 和 C 的支持力由几何关系有 /2 oAoB cos303 aa (5) 3 分 ootan30 22 3 aa (6) 3 分 三脚圆凳处于力平衡状态，竖直方向合力为零 ABC 0NNNQP (7) 3 分 AC NN (8) 3 分 式中， m
6、ax Qmghg，PMg. 由(7) (8)式得 AB 20NNQP 以 x 轴为转动轴，力矩平衡 BAC o B()o o0Q RrNNN (9) 5 分 记RRr ，由(5)(6)(9)式有 A C B o o a x 解题图 a Q G R D A NA NC NB C B O o x o 解题图 b 3 / 26 BA 20 32 3 aa QRNN 另一解法： 以 AC 为转动轴，由力矩平衡条件有 B (oo )(oBoo )oo0Q RNP (9) 5 分 即 B ()()0 2 332 32 3 aaaa Q RNP 联立以上各式得 B 2 (2 3) 3 4 12 31 53
7、aR QaP N a Rrr Hg mM am (10) AC 2 (3) 3 4 131 53 aR QaP NN a Rrr Hg mM am (11) 值得指出的是，解(10)满足 B 0N ，即 2 2 3()4 1 5 Rrar H Mm am (12) 这已由题给条件保证了 由(7)(10)(11)式得，此时旅行车内底板对各凳脚的支持力相对于茶水杯滑移前的改变为 B 2 (2 3) 33 2 34 1 35 aR QaPPQ N a Rrr H mg am (13) 4 分 AC 2 (3) 33 34 1 35 aR QaPPQ NN a Rrr H mg am (14) 6 分
8、 评分标准评分标准：本题 40 分. 第 1）问 13 分，(1)(2)式各 5 分，(4)式 3 分； 第 2）问 27 分，(5)(6)(7)(8)式各 3 分，(9)式 5 分，(13)式 4 分，(14)式 6 分. 4 / 26 二（50 分） 、农用平板车的简化模 型如图 a 所示，两车轮的半径均为 r（忽略内外半径差） ，质量均为 m （车轮辐条的质量可忽略） ， 两轮可 绕过其中心的光滑细车轴转动（轴 的质量可忽略） ；车平板长为 l、质 量为 2m， 平板的质心恰好位于车轮 的轴上； 两车把手 （可视为细直杆） 的长均为 2l、质量均为 m，且把手 前端与平板对齐平板、把手和
9、车 轴固连成一个整体，车轮、平板和把手各自的质量分布都是均匀的重力加速度大小为g 1）该平板车的车轮被一装置（图中未画出）卡住而不能前后移动，但仍可绕车轴转动将 把手提至水平位置由静止开始释放，求把手在与水平地面碰撞前的瞬间的转动角速度 2）在把手与水平地面碰撞前的瞬间立即撤去卡住两车轮的装置，同时将车轮和轴锁死，在 碰后的瞬间立即解锁， 假设碰撞时间较短 （但不为零） ， 碰后把手末端在竖直方向不反弹 已 知把手与地面、车轮与地面之间的滑动摩擦系数均为（最大静摩擦力等于滑动摩擦力） 求 在车轮从开始运动直至静止的过程中，车轴移动的距离 参考解答：参考解答： 1）车轮被一装置卡住而不能前后移动
10、，但仍可绕轮轴转动. 把手绕车轴的转动惯量为 22222 1 6 7 ) 4 1 12 4 (2) 2 1 ()2( 12 1 2mlmlmlmlmJ 平板绕车轴的转动惯量为 22 2 6 1 2 12 1 mlmlJ 平板与把手整体绕车轴的转动惯量为 222 21 3 4 6 1 6 7 mlmlmlJJJ (1) 4 分 把手和平板整体的质心位置到车轴的距离 C r（见解题图 a） 为 2 2 44 C l m l r m (2) 2 分 设把手与地面碰撞前的瞬间的角速度为，由机械能守恒有 mghJ4 2 1 2 (3) 2 分 式中 h 是把手和平板整体的质心下降的距离（见解题图 b）
11、23l/ r r h C 将(2)式代入上式得 643 2rl l r h 由上式和(1)(3)式得 l gr (4) 2 分 2）在把手与地面碰撞前的瞬间，把手和平板整体的质心的速度大小为 1 44 CC grgrl r l v 由几何关系有 2l l r 2m m m m m 把手 末端 把手 前端 图 a. 农用平板车的简化模型 rC C o rC r h 3l/2 o 解题图 a 解题图 b 5 / 26 2 sin 3 r l ， l rl 3 49 cos 22 碰前瞬间把手和平板质心速度的水平与竖直分量（从把手末端朝向把手前端为正）分别为 l grr l rgr CxC 63 2
12、 4 sin 11 vv (5) 2 分 2222 11 (94)94 cos 4312 C yC grgrlrlr ll vv (6) 2 分 记碰撞时间间隔为t，由题设，把手、平板与车轮组成的系统在碰撞过程中可视为一 个物体. 刚碰时，由于把手末端与地面之间有相对速度，把手末端与地面之间在碰撞过程中 水平方向的相互作用力是滑动摩擦力. 设碰撞过程中地面对系统在竖直方向上总的支持力 为 N，在碰撞后的瞬间系统的水平速度为 v0（ 0 0v）. 在水平和竖直方向上分别对此系统 应用动量定理有 01 0 (d64 t C x Ntmm vv) (7) 2 分 1 0 d0( 4) t C y N
13、 tm v (8) 2 分 值得注意的是，(8)式左端的冲量不可能等于零，因而(7)式左端的冲量也不可能等于零. 由 (7)(8)式得 cos4sin4446 11110CCyCxC mmmmmvvvvv 即 01 22 (sincos )(sincos )(sincos ) 3346 C grgr vv 当 22 2 tan 94 r lr 系统静止，故 s = 0 (9) 2 分 当 22 2 tan 94 r lr 系统开始运动. 下面分两阶段讨论系统开始运动 后直至停止的过程： 阶段阶段 I. 车轮又滑又滚阶段车轮又滑又滚阶段 两车轮的受力如解题图 c 所示，图中 01 N是 地面对两
14、车轮的正压力， ox N和 oy N是把手和平 板通过轴对两车轮分别在水平方向和竖直方向的 作用力， 地面对车轮的滑动摩擦力 101 fN. 把 手和平板作为一个整体的受力解题图 d 所示，图 中N是地面对把手末端的正压力. 地面与车之间的总滑动摩擦力为 01 ()(6)fNNmg (10) 2 分 把手、 平板和车轮组成的系统的质心加速度 C a为 C 6 f ag m (11) 2 分 对把手和平板系统应用质心运动定理有 4 oxC NNma (12) 1 分 40 oy NNmg (13) 1 分 解题图 c 解题图 d f1 o Nox Noy N01 2mg aC N N 4mg Noy Nox c rc o 6 / 26 对把手和平板系统应用相对于过质心的水平轴的转动定理有 55 sincossincos0 4444 oxoy llll NNNN (14) 2 分 由(11) (12) (13)式得 4 ()4 ox NNmgNmg 4 oy NmgN 将以上两式代入(14)式得 55 sincos(4)sin(4)cos0 4444 llll NNNmgmgN 于是 2
