广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学(解析版)

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1、广东省深圳市深圳盟校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题考生注意:1.本试卷满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围:选择性必修第一册第一章和第二章.一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 在空间直

2、角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据空间直角坐标系中点关于坐标轴的对称点得解.【详解】在空间直角坐标系中,点关于轴对称的点的坐标为.故选:C2. 直线的一个方向向量为( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据直线方程直接写出其方向向量即可得答案.【详解】由,得,所以直线的斜率为,又当直线斜率存在时,直线的一个方向向量为,所以直线的一个方向向量为,故选:C.3. 若直线的一个方向向量为,直线的一个方向向量为,则直线所成角的大小为( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出直线方向向量的夹角余弦的绝对值即

3、可得解.【详解】设直线所成角为,所以,所以.故选:B4. 已知圆关于直线对称,则实数( )A. B. 1C. D. 2【答案】A【解析】【分析】根据直线经过圆心,可求的值.【详解】由,得,故圆心为,又因为圆关于直线对称,故圆心在直线上,则.故选:A5. 已知点,若过点的直线与线段AB相交,则该直线斜率的取值范围是( )A. B. C. D. 1,4【答案】D【解析】【分析】记为点,求出的斜率,结合图象可得结论【详解】记为点,则直线PA的斜率,直线PB的斜率,因为直线过点,且与线段AB相交,结合图象,可得直线的斜率的取值范围是1,4.故选:D6. 已知直线的一个方向向量为,平面的一个法向量为,则

4、直线与平面的关系是( )A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】根据直线方向向量与平面法向量垂直得出结论.【详解】因,所以,则或.故选:D7. 如图,在正方体中,分别是棱的中点,则点到直线的距离为( )A. B. C. 1D. 【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系,求得各点的坐标,以及直线的方向向量,利用向量法直接求解即可.【详解】如图,以为原点,的方向为轴建立空间直角坐标系,如下所示:易知,;取,则,所以点到直线的距离为故选:B.8. 已知,是圆上两点,且,若直线上存在点使得,则实数的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据,确定点轨迹,再

5、由点轨迹与直线有公共点求参数的取值范围.【详解】由题意可知:圆的圆心为,半径,设中点为,则,且,可得,又因为,可知为等腰直角三角形,则,可得,故点的轨迹是以原点为圆心,为半径的圆,因为直线上存在点使得,即直线与圆有交点,即圆心到直线的距离,解得或. 故选:A二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9. 已知直线过点,且在轴上的截距是轴上的截距的3倍,则直线的方程为( )A B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据直线在坐标轴上的截距为0与不为0讨论求解即可.【详解】当截距为0时,设

6、直线的方程为,将点代入可得,所以,即;当截距不等于0时,设直线的方程为,将点代入可得,解得,所以直线的方程为,即,所以直线的方程为或.故选:BD10. 下列圆中与圆相切的是( )A. B. C. D. 【答案】AB【解析】【分析】判断圆心距是否等于两圆的半径之和或差的绝对值【详解】由题知,圆的圆心为,半径为4.A选项,的圆心为,半径为2,故,由于,所以圆与内切,A正确;B选项,的圆心为,半径为1,故,由于,故圆与外切,B正确;C选项,的圆心为,半径为4,故,由于,故圆与不相切,C错误;D选项,的圆心为,半径为1,故,由于,故圆与不相切,D错误.故选:AB11. 如图,四棱锥中,底面,底面为正方

7、形,且,分别为的中点,则( )A. B. 与所成角的余弦值是C. 点到平面的距离为D. 过点的平面截四棱锥的截面面积为【答案】AC【解析】【分析】建立空间直角坐标系,利用判断A,根据向量的夹角公式判断异面直线所成角判断B,利用向量法求点到平面距离判断C,利用向量法确定截面为四边形对角线垂直,求面积判断D.【详解】如图,以点为原点,以所在直线为轴建立空间直角坐标系,则,所以,故A正确;,则与所成角的余弦值为,故B错误;,设平面的法向量为n=x,y,z,则令,可得,则点到平面的距离为,故C正确;设过点的平面与线段的交点为,则,因为共面,则共面,故存在唯一实数对使得,即,所以 解得,所以,则,因为,

8、所以,所以过点的平面截四棱锥的截面面积为,故D错误故选:AC【点睛】关键点点睛:利用坐标的方法,确定D选项中的截面与线段的交点为的坐标,再由此确定确定垂直,是解决四边形面积的关键所在.三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.12. 已知,则线段的中点坐标为_.【答案】【解析】【分析】根据条件,利用空间两点中点坐标公式,即可求解.【详解】因为,所以线段的中点坐标为,故答案为:.13. 若直线与直线平行,则与之间的距离为_.【答案】【解析】【分析】根据条件,先求出的值,再利用平行线间的距离公式,即可求解.【详解】因为直线与直线平行,所以直线斜率存在,且,得到,此时,即,满足,所以与之间的距

9、离,故答案为:.14. 空间直角坐标系中,过点且一个法向量为的平面的方程为,阅读上面材料,解决下面问题:已知平面的方程为,直线是两平面与的交线,则直线与平面所成角的正弦值为_.【答案】【解析】【分析】由平面方程求得其一个法向量,再确定直线的一个方向向量)可根据直线上两点,也可根据直线与两个平面的法向量垂直求解),由法向量与方向向量的夹角可得线面角【详解】法一:因为平面的方程为,所以平面的一个法向量,又直线:上有两个点,所以直线的方向向量为,所以直线与平面所成角的正弦值为.故答案为:法二:由题知两平面与的法向量分别为,设直线的一个方向向量,则即取,则,又平面的法向量,所以直线与平面所成角的正弦值

10、为.故答案为:四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 求满足下列条件的圆的标准方程.(1)圆心为,经过点;(2)圆心在直线上,且与轴交于点.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)根据圆心和圆上的点求圆的半径,可得圆的标准方程.(2)根据垂径定理,圆心在线段的垂直平分线上,又圆心在直线上可求圆心,再求半径,得圆的标准方程.【小问1详解】由两点间的距离公式可得圆的半径故圆的标准方程为【小问2详解】因为圆与y轴交于点,所以圆心在直线y=3上. 又圆心在直线上,所以圆心的坐标为, 所以圆的半径,故圆的标准方程为.16. 已知向量,.(1)当时,若向量与

11、垂直,求实数的值;(2)若向量与向量、共面,求实数的值.【答案】(1) (2)【解析】【分析】(1)由可求出的值,由题意可得出,结合空间向量数量积的坐标运算可求得实数的值;(2)设,根据空间向量的坐标运算可得出关于、的方程组,即可解得实数的值.【小问1详解】因为,所以,解得,即.由,且,得,解得.【小问2详解】因向量与向量、共面,所以设,因此,即,解得,故的值为.17. 已知的三个顶点是.(1)求BC边上的高所在直线的方程;(2)若直线过点,且点A,B到直线的距离相等,求直线的方程.【答案】(1) (2)或【解析】【分析】(1)根据垂直关系得出高所在直线斜率,点斜式得出直线方程;(2)由题意转

12、化为所求直线与AB平行或过AB的中点,分别求解即可.【小问1详解】因为,所以BC边上的高所在直线的斜率为1, 所以BC边上高所在直线为,即.【小问2详解】因为点A,B到直线的距离相等,所以直线与AB平行或过AB的中点,当直线与AB平行,所以,所以,即.当直线过AB的中点,所以,所以,即.综上,直线的方程为或.18. 已知以点为圆心圆与轴交于点,与轴交于点N,O为坐标原点.(M,N与不重合)(1)求证:的面积为定值;(2)设直线与圆交于点A,B,若,求实数的值;(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线和圆上的动点,求|PQ|的最小值及此时点的坐标.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)最小值

13、为,点【解析】【分析】(1)求出圆与坐标的交点坐标,然后计算三角形面积可得(2)由与垂直,斜率乘积为可得;(3)求出关于直线的对称点的坐标,连接,线段与直线的交点为与圆的交点为,此时的长度即为所示最小值【小问1详解】由圆的方程,化简得,其与轴,轴的交点分别为:,所以为定值.【小问2详解】如图所示,因为,所以.又OC的斜率,所以,解得(负数舍去),【小问3详解】如图所示,由知:圆的方程为:,圆心,半径.设点关于直线的对称点为,则中点为,且解得,即,则,又点到圆上点的最短距离为,则的最小值为,此时直线的方程为:,即.点为直线与直线的交点,则解得即点【点睛】方法点睛:定直线上的点到定点与定圆上点的距

14、离之和最值问题,首先把定点转化为此定点关于直线的对称点,过对称点与圆心的直线与直线相交的点,与圆相交的点即为取得最值的动点,圆上的交点有两个一个是最小值点,一个是最大值点19. 在中,分别是上的点,满足且经过的重心,将沿折起到的位置,使,是的中点,如图所示.(1)求证:平面;(2)求与平面所成角的大小;(3)在线段上是否存在点,使平面与平面成角余弦值为?若存在,求出的长度;若不存在,请说明理由.【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在,或【解析】【分析】(1)应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系,再由性质定理得到线线垂直关系,进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系;(2)以为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小;(3)假设存在点,使平面与平面成角余弦值为,设,分别求解两平面的法向量,用表示余弦值解方程可得.【小问1详解】因为在中,且,所以,则折叠后, 又平面,所以平

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