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1、泸县普通高中共同体2024年秋期高二期中联合考试数学试题数学试卷分为第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，共4页，满分150分.注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卷上相应位置.2选择题答案使用2B铅笔填涂在答题卷对应题目号的位置上，填涂在试卷上无效.3非选择题答案请使用黑色签字笔填写在答题卷对应题目号的位置上，填写在试卷上无效.第1卷 （选择题 共58分）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一240人、高二 200人、高三160人中，抽取60
2、人进行问卷调查，则高一年级被抽取的人数为A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论【详解】高一抽取的人数分别，故选B【点睛】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系是解决本题的关键比较基础2. 已知复数满足，则复数在复平面内的对应点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法，将复数整理为标准形式，利用复数的几何意义，可得答案.【详解】由，可得，复数在复平面内的对应点为，则该点位于第二象限.故选：B.3. 向量在正方形网格中的位置如图所示.若向量与共线，则实数（ ）A. -2B
3、. -1C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】先由图得出用表示的式子，再根据向量共线的充要条件求之即得.【详解】根据网格图中的的大小与方向，易于得到，由向量与共线，可得，解得：.故选：D.4. 已知空间中三点，则点到直线的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据点到直线距离的向量坐标公式计算即可求解【详解】因为，所以，则点到直线的距离为.故选：C.5. 空间中有两个不同的平面和两条不同的直线，则下列说法中正确的是（ ）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】A【解析】【分析】根据面面垂直的性质结合线线以及线面的位置关系可判断AB；根据面面平行的性质
4、结合线线以及线面的位置关系可判断CD；【详解】对于A，若，则或，又，当时，在内必存在直线l和m平行，则；当时，显然有，所以，故A正确；对于B，若，则或，由，则与斜交、垂直、平行均有可能，故B错误；对于C，若，则或，由，则与相交、平行、异面均有可能，故C错误；对于D，若，则或，又，则或，故D错误.故选：A.6. 空气质量指数是评估空气质量状况的一组数字，空气质量指数划分为、和六档，分别对应“优”、“良”、“轻度污染”、“中度污染”、“重度污染”和“严重污染”六个等级如图是某市2月1日至14日连续14天的空气质量指数趋势图，则下面说法中正确的是（ ）A. 这14天中有5天空气质量为“中度污染”B.
5、 从2日到5日空气质量越来越好C. 这14天中空气质量指数的中位数是214D. 连续三天中空气质量指数方差最小是5日到7日【答案】B【解析】【分析】根据折线图直接分析各选项.【详解】A选项：这14天中空气质量为“中度污染”有4日，6日，9日，10日，共4天，A选项错误；B选项：从2日到5日空气质量指数逐渐降低，空气质量越来越好，B选项正确；C选项：这14天中空气质量指数的中位数是，C选项错误；D选项：方差表示波动情况，根据折线图可知连续三天中波动最小的是9日到11日，所以方程最小的是9日到11日，D选项错误；故选：B.7. 三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.
6、【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理先求出底面三角形的外接圆半径，再利用为三棱锥的高，为外接球半径），即可求解【详解】在中，由余弦定理可得，即，所以，设的外接圆半径为，则，所以，平面，且，设三棱锥外接球半径为，则，即，所以三棱锥外接球的表面积为故选：B8. 如图，在三棱锥中，点为底面的重心，点是线段上靠近点的三等分点，过点的平面分别交棱，于点，若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由空间向量基本定理，用表示，由D，E，F，M四点共面，可得存在实数，使，再转化为，由空间向量分解的唯一性，分析即得解.【详解】由题意可知，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，使，所以，
7、所以，所以，所以故选：D二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的备选答案中，有多项符合题目要求的全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分9. 已知向量，则下列结论正确的是（ ）A. 向量与向量的夹角为B. C. 向量在向量上的投影向量为D. 向量与向量共面【答案】BCD【解析】【分析】利用向量数量积的坐标表示得出向量夹角可判断A；由向量数量积为0得到向量垂直可判断B；根据投影向量的定义可计算出投影向量从而判断C，得出向量共面可判断D【详解】因为，所以，可得，则向量与向量的夹角为，故A错误；因为，所以，即B正确；根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为，所
8、以C正确；由向量，可知，向量与向量共面，所以D正确故选：BCD.10. 下列说法正确的是（ ）A. 从容量为的总体中抽取一个容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和按比例分层随机抽样三种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为 则B. 若，则事件A与事件B相互独立C. 一个人连续射击2次，事件“两次均未击中”与事件“至多一次击中”互为对立事件D. 若，且事件A与事件B相互独立，则【答案】ABD【解析】【分析】根据抽样方法的相关概念、独立事件的概率公式、事件之间的关系以及概率的乘法运算，逐一检验，可得答案.【详解】对于A，根据抽样方法的使用规则，可知A正确；对于B，故B正确；对于C，设
9、事件两次均为中=中枪次数为、事件至多中一次=中枪的次数为，由，则事件包含事件，故C错误；对于D，由，则，因为事件与事件相互独立，所以，故D正确.故选：ABD.11. 已知正方体棱长为2，P为空间中一点，下列论述正确的是（ ）A. 若，则异面直线BP与所成角的余弦值为B. 若三棱锥的体积是定值C. 若，有且仅有一个点P，使得平面D. 若，则异面直线BP和所成角取值范围是【答案】BD【解析】【分析】A：为中点，连接，若分别是中点，连接，找到异面直线BP与所成角为或其补角，求其余弦值；B：在（含端点）上移动，面积恒定，到面的距离恒定，即可判断；C：若分别是中点，在（含端点）上移动，证明面，易知要使面
10、，则必在面内，即可判断；D构建空间直角坐标系，设，应用向量夹角的坐标表示求，进而判断夹角的范围.【详解】A：由，即为中点，连接，若分别是中点，连接，则，又且，即为平行四边形，所以，所以异面直线BP与所成角，即或其补角，而，故，故A错误；B：由知：在（含端点）上移动，如下图示，面积恒定，到面的距离恒定，故的体积是定值，故B正确；C：若分别是中点，由知：在（含端点）上移动，由面，面，则面面，由，面面，面，所以面，面，则，同理可证：，由，、面，故面，而面面，要使面，则必在面内，显然面，故C错误；D：由知：在（含端点）上移动，如图以为原点，分别为轴建系，则，则，设，则，所以，令，当，即时，此时直线和所
11、成角是；当，即时，则，当，即时，取最大值为，直线和所成角的最小值为，故D正确.故选：BD第II卷（非选择题 共92分）三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分12. 在一次射击训练中，某运动员5次射击的环数依次是，则该组数据的方差_.【答案】#【解析】【分析】根据平均数公式和方差公式计算可得.【详解】因为平均数，所以方差.故答案为：13. 圆锥的高为2，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥的体积为_.【答案】【解析】【分析】结合圆锥的几何特征，分别求出，最后应用圆锥体积公式计算.【详解】设圆锥的底面半径为，母线长为，高为，则，所以，所以圆锥的体积为.故答案：14. 如图，锐二面角的棱上有，
12、两点，直线，分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于.已知，则锐二面角的平面角的余弦值是_.【答案】【解析】【分析】根据题意得，两边平方，利用向量的数量积运算，即可得到答案；【详解】设锐二面角的平面角为，则，则.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15. 中华人民共和国民法典于2021年1月1日正式施行某社区为了解居民对民法典的认识程度，随机抽取了一定数量的居民进行问卷测试（满分：100分），并根据测试成绩绘制了如图所示的频率分布直方图.（1）估计该组测试成绩的平均数和第57百分位数；（2）该社区在参加问卷且测试成绩位于区间和的居民中，采用分层随
13、机抽样，确定了5人.若从这5人中随机抽取2人作为该社区民法典宣讲员，设事件“两人的测试成绩分别位于和”，求.【答案】（1）平均数76.2；第57百分位数79； （2）.【解析】【分析】（1）利用频率分布直方图计算平均数及百分位数；（2）根据分层抽样确定测试成绩分别位于和的人数，按照古典概型计算即可.小问1详解】由频率分布直方图可知测试成绩的平均数.测试成绩落在区间的频率为，落在区间的频率为，所以设第57百分位数为a，有，解得；【小问2详解】由题知，测试分数位于区间、的人数之比为，所以采用分层随机抽样确定的5人，在区间中3人，用，表示，在区间中2人，用，表示，从这5人中抽取2人的所有可能情况有：
14、，共10种，其中“分别落在区间和”有6种，所以.16. 记的内角，所对的边分别为，已知（1）求；（2）若是的中线，且，的面积为，求的周长【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由正弦定理、三角形内角和定理及三角恒等变换求角；（2）由三角形的面积公式得的值，再由向量的线性运算及向量的模求的值，最后由余弦定理求的值.小问1详解】，由正弦定理得，.即，.，即.【小问2详解】由题意得，.是的中线，CD=12CA+CB，由余弦定理得，.的周长为.17. 某足球俱乐部举办新一届足球赛，按比赛规则，进入淘汰赛的两支球队如果在120分钟内未分出胜负，则需进行点球大战点球大战规则如下：第一阶段，双方各派5名球员轮流罚球，双方各罚一球为一轮，球员每罚进一球则为本方获得1分，未罚进不得分，当分差拉大到即使落后一方剩下的球员全部罚进也不能追上的时候，比赛即宣告结束，剩下的球员无需出场罚球若5名球员全部罚球后双方得分一样，则进入第
