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1、 高三数学试卷注意事项:1答卷前,考生务必将自己的姓名考生号考场号和座位号填写在答题卡上2回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号回答非选择题时,将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回一选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知,则( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出,得到,从而列出方程,求出,得到答案.【详解】设复数,则,因为,所以,解得,因为,所以,解得,故.故选:B2. 定义差集且,已知集合,则(
2、)A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据差集的定义直接求解即可.【详解】因为,所以,所以故选:B3. “”是“”( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式以及充分条件、必要条件的概念即可得结果.【详解】若,则若,则或故“”是“”的充分不必要条件故选:A.4. 已知某种装水的瓶内芯近似为底面半径是4dm、高是8dm的圆锥,当瓶内装满水并喝完一半,且瓶正立旋置时(如图所示),水的高度约为( )(参考数据:,)A. 1.62dmB. 1.64dmC. 3.18dmD. 3.46dm【答案】B【解
3、析】【分析】由题意可知当装水的瓶正立放置时,圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半,设上半部分小圆锥的底面半径为r dm,则小圆锥的高为2r dm,然后列方程可求出,从而可求出结果.【详解】因为瓶内装满水并喝完一半,所以当装水的瓶正立放置时,圆锥上半部分的体积占圆锥体积的一半,设上半部分小圆锥的底面半径为r dm,则由题意可得小圆锥的高为2r dm,则,解得,即,则剩余的水的高度为故选:B5. 若函数在内有2个零点,则a的取值范围为( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接解方程,然后根据解的要求列不等式得结论【详解】由,得或依题意可得,且,所以,且故选:D6. 展开式中的系数为
4、( )A. B. 21C. D. 35【答案】A【解析】【分析】先将原式整理为,视为两项的展开式,要含有的项,需要在中找即可【详解】因为展开式的通项公式为,所以当时,含有的项,此时,故的系数为故选:A7. 若,椭圆C:与椭圆D:的离心率分别为,则( )A. 的最小值为B. 的最小值为C. 的最大值为D. 的最大值为【答案】D【解析】【分析】根据,求得两个椭圆的离心率,然后利用基本不等式求解.【详解】解:因为,所以,所以,当且仅当时,等号成立,故的最大值为,无最小值故选:D8. 正三棱柱的底面边长是4,侧棱长是6,M,N分别为,的中点,若点P是三棱柱内(含棱柱的表面)的动点,MP平面,则动点P的
5、轨迹面积为( )A. B. 5C. D. 【答案】C【解析】【分析】取AB的中点Q,证明平面平面得动点P的轨迹为MQC及其内部(挖去点M)然后计算MQC的面积即可【详解】取AB的中点Q,连接MQ,CQ,MC,由M,N,Q分别为,AB的中点可得,平面,平面,所以平面,同理得平面,平面,则平面平面,所以动点P的轨迹为MQC及其内部(挖去点M)在正三棱柱中,ABC为等边三角形,Q为AB的中点,则,平面平面,平面平面,则CQ平面,平面,所以因为,所以,因为侧棱长是6,所以所以,则MQC的面积,故动点P的轨迹面积为故选:C【点睛】结论点睛:本题考查空间点的轨迹问题,空间点的轨迹几种常见情形:(1)平面内
6、到空间定点的距离等于定长,可结合球面得轨迹;(2)与定点的连线与某平面平行,利用平行平面得点的轨迹;(3)与定点的连线与某直线垂直,利用垂直平面得点的轨迹;(4)与空间定点连线与某直线成等角,可结合圆锥侧面得轨迹;二多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分9. 下列函数满足的是( )A. B. C. D. 【答案】BD【解析】【分析】根据,有,逐项判断.【详解】解:因为,则当时,必有若,则,则A错误若,则,则B正确若,则,则C错误若,则,则D正确故选:BD10. 已知圆C:,则( )A. 圆C与圆D:相
7、交B. 直线与圆C可能相切C. 直线与圆C必相交D. 直线,各自被圆C所截得的弦长恰好相等【答案】ACD【解析】【分析】利用直线与圆,圆与圆的位置关系判断.【详解】对于A,因为,所以圆C与圆D:相交,A正确对于B,点C到直线的距离,则直线与圆C相离,B错误对于C,得,令,得,解得,所以直线l过定点,易知在圆C的内部,所以直线与圆C必相交,C正确对于D,因为,所以点C到这两条直线的距离相等,且这两条直线与圆C相交,所以直线,各自被圆C所截得的弦长恰好相等,D正确故选:ACD11. 将函数的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到函数的图象,若在内恰有5个极值点,则
8、的取值可能是( )A. B. C. D. 【答案】BCD【解析】【分析】利用三角函数的平移变换和伸缩变换得到,再根据因为在内恰有5个极值点,由求解.【详解】解:将的图象向右平移个单位长度后,得到的图象,再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的,得到,设,由,得,因为在内恰有5个极值点,所以,解得故选:BCD12. 若,则( )A. B. C. D. 【答案】ABD【解析】【分析】构造函数比较大小,构造函数比较大小,利用三角函数定义有比较大小,从而得结论【详解】由,令,则,故为增函数由,得由,令,则,当时,设,则,则在上单调递减,则,得在上单调递减,所以,得,故根据三角函数的定义可证,故,即故选
9、:ABD【点睛】关键点点点睛:本题考查实数大小比较,解题关键是根据数据的形式构造适当的函数,利用导数确定函数单调性后,由单调性得大小关系三填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分13. 已知向量,若A,B,C三点共线,则_【答案】5【解析】【分析】由向量共线的坐标表示求解.【详解】由A,B,C三点共线知,则,解得故答案为:514. 若函数的导函数为偶函数,则曲线在点处的切线方程为_【答案】(或)【解析】【分析】求出导函数,由其为偶函数得值,然后计算出斜率,再计算出,由点斜式得直线方程并整理【详解】因为为偶函数,所以,解得,则又,故曲线在点处的切线方程为,即故答案为:15. 已知,点P满足,动
10、点M,N满足,则的最小值是_【答案】3【解析】【分析】以的中点O为坐标原点,的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,由双曲线定义得点P的轨迹是以,为焦点,实轴长为6的双曲线的左支,然后根据双曲线的性质,数量积的运算律求解【详解】以的中点O为坐标原点,的中垂线为y轴,建立如图所示的直角坐标系,则,由双曲线定义可知,点P的轨迹是以,为焦点,实轴长为6的双曲线的左支,即点P的轨迹方程为,由,可得因为的最小值为,所以的最小值是3故答案为:3.16. 设是数列的前n项和,则_;若不等式对任意恒成立,则正数k的最小值为_ 【答案】 . ; . .【解析】【分析】由与关系,推出为等差数列,即可求出,再由原
11、不等式转化为恒成立,可证出为递增数列,不等式转化为,即可得解.【详解】当时,得当时,两式相减得,得,所以又因为,所以是以6为首项,4为公差的等差数列,所以,即因为,所以,即记,所以为递增数列,所以,解得,则正数k的最小值为故答案为:,.四解答题:本题共6小题,共70分解答应写出文字说明证明过程或演算步骤17. 在,这三个条件中选一个合适的补充在下面的横线上,使得问题可以解答,并写出完整的解答过程问题:在钝角ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c已知, (1)求ABC的面积;(2)求ABC外接圆的半径与内切圆的半径【答案】(1)选不合题意,选面积为 (2)【解析】【分析】(1)先判断选不合
12、题意,若选,利用余弦定理、平方关系以及三角形面积公式可得答案;(2)由正弦定理可得ABC外接圆的半径,由三角形面积相等可得ABC内切圆的半径.【小问1详解】若选,则,可得,则ABC为锐角三角形,不合题意;若选,则,可得,则ABC为锐角三角形,不合题意;若选,因为,所以,故ABC的面积【小问2详解】由(1)知选不合题意;若选,设ABC外接圆的半径为R,由正弦定理得,所以设ABC内切圆的半径为r,由,得18. 已知在等比数列中,且,成等差数列,数列满足,,.(1)求的通项公式;(2)设,求数列的前项和.【答案】(1); (2).【解析】【分析】(1)由已知条件求得等比数列的公比和首项,即可求得其通
13、项公式;(2)求得的通项公式,结合(1)的结论可得,利用分组求和法,结合等比数列的前n项和公式即可求得答案.【小问1详解】因为,成等差数列,所以 ,又因为在等比数列中,,所以,得的公比 ,所以 ,解得 ,故.【小问2详解】由,,得 ,则是等差数列,因为,所以,则 ,则 19. 故宫太和殿是中国形制最高的宫殿,其建筑采用了重檐庑殿顶的屋顶样式,庑殿顶是“四出水”的五脊四坡式,由一条正脊和四条垂脊组成,因此又称五脊殿由于屋顶有四面斜坡,故又称四阿顶如图,某几何体ABCDEF有五个面,其形状与四阿顶相类似已知底面ABCD为矩形,AB2AD2EF8,EF底面ABCD,EAEDFBFC,M,N分别为AD,BC的中点(1)证明:EFAB且BC平面EFNM(2)若二面角为,求CF与平面ABF所成角的正弦值【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】【分析】(1)由线面平行的性质结合已知条件可证得EFAB,由等腰三角形的性质可得EMAD,FNBC,再结合线面垂直的判定可证得BC平面EFNM;(2)过点E作,垂足为H,作,垂足为K,以H为原点,以的方向为x轴的正方向建立空间直角坐标系,然后利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明:因为EF底面ABCD,平面ABFE,平面底面,所以因为,M,N分别为AD,BC中点,所以EMAD,FNBC,因为,