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1、2024-2025学年度期中学情检测高二数学试题一、选择题1. 已知空间向量，若，则（ ）A. 1B. C. D. 3【答案】B【解析】【分析】由空间向量垂直的坐标表示即可求解.【详解】因，且，所以，解得，故选：B.2. 已知一对不共线的向量，的夹角为，定义为一个向量，其模长为，其方向同时与向量，垂直（如图1所示）在平行六面体中（如图2所示），下列结论错误的是（ ） A. B. 当时，C. 若，则D. 平行六面体的体积【答案】C【解析】【分析】A.根据三角形的面积公式，结合新定义公式，即可判断；B.结合新定义和数量积公式，即可判断；B.根据条件求，即可判断；D.根据新定义和数量积的几何意义，即
2、可判断.【详解】对于A，而，故，正确；对于B，当时，有意义，则，正确；对于C，因为，所以，所以，错误；对于D，的模长即为平行六面体底面OACB的面积，且方向垂直于底面，由数量积的几何意义可知，就是在垂直于底面的方向上的投影向量的模长（即为平行六面体的高）乘以底面的面积，即为平行六面体的体积，正确故选：C3. 经测得某拱桥（如图）的跨度米，拱高米，在建造拱桥时每隔5米需用一根支柱支撑，则与OP相距30米的支柱MN的高度是（注：）（ ）A 6.48米B. 4.48米C. 2.48米D. 以上都不对【答案】A【解析】【分析】以点P为坐标原点，建立平面直角坐标系，由已知求得圆的方程，然后将代入圆的方程
3、，求出点N的纵坐标，可计算出MN的长，即可得出结论.【详解】以点P为坐标原点，OP所在直线为y轴、过点P且平行于AB的直线为x轴建立平面直角坐标系.由题意可知，点A的坐标为，设拱桥圆弧所在圆的半径为r.，由勾股定理可得，即，解得，圆心坐标为，则圆的方程为.将代入圆的方程得.，解得，（米）.故选：A.4. 已知三角形中，角的平分线交于点，若，则三角形面积的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】【分析】先根据正弦定理可得，再建立平面直角坐标系求解的轨迹方程，进而可得面积的最大值.【详解】在中，在中，故，因为，故，又角的平分线交于点，则，故.故.以为坐标原点建立如图平面直角
4、坐标系，则因为，故，设，则，即，故，化简可得，即，故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆（除去）.故当纵坐标最大，即时面积取最大值为. 故选：C5. 已知圆与圆相外切，则m的值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】由两圆外切,则两圆心间的距离等于两半径之和可得答案.【详解】由圆可得，则，所以，所以圆的圆心为 ，半径，圆的圆心为 ，半径，圆与圆相外切，则 解得.故选：A6. 已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先分析已知点与圆的位置关系，再判断出最长弦和最短弦的位置，然
5、后利用三角形的面积公式即可求出四边形ABCD的面积.【详解】解：圆心坐标是，半径是5，圆心到点的距离为1所以点在圆内，最长弦为圆的直径由垂径定理得：最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，最长弦即直径，即，所以四边形的面积为故选：B.7. 在坐标平面内，与点距离为1，且与点距离为2的直线共有A. 1条B. 2条C. 3条D. 4条【答案】B【解析】【详解】根据题意可知，所求直线斜率存在，可设直线方程为ykxb，即kxyb0，所以，解之得k0或，所以所求直线方程为y3或4x3y50，所以符合题意的直线有两条，选B.8. “”是“两点，到直线的距离相等”的（ ）A. 充分不必要条
6、件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据“两点，到直线的距离相等”等价于“直线经过线段的中点或直线与直线平行”，结合充分不必要条件的定义可得答案.【详解】，线段的中点，当时，直线经过线段的中点，所以两点，到直线的距离相等；当两点，到直线的距离相等时，可能有直线经过线段的中点，此时，也可能是直线与直线平行，此时，因此“”是“两点，到直线的距离相等”的充分不必要条件.故选：A二、多项选择题9. 已知两条平行直线：和：之间的距离小于，则实数m的值可能为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 1【答案】AC【解析】【分析】由两条平行直线间距离可求出实数m
7、的取值范围，即可得出答案.【详解】直线：和：平行，则，两条平行直线间距离，解得且，故0和2符合要求.故选:AC10. 已知圆，点，下列说法正确的有（ ）A. 若点在圆上，则圆在点处的切线方程为B. 若点在圆外，则直线与圆相交C. 若点在圆内，则直线与圆相交D. 若点在圆外，则直线与圆位置关系不确定【答案】AB【解析】【分析】根据圆与直线的位置关系，结合题意，即可判断和选择.【详解】对A：点在圆上，则，因为点的坐标满足，故过点，又点到直线的距离，故与圆相切；综上所述，若点在圆上，则圆在点处的切线方程为，A正确；对BD：点在圆外，则，又点到直线的距离，故直线与圆相交，B正确D错误；对C：点在圆内，
8、则，又点到直线的距离，故直线与圆相离，C错误；故选：AB.11. （多选） “曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（ ）A. 若点，则B. 若点，则在轴上存在点，使得C. 若点，点在直线上，则的最小值是3D. 若点在上，点在直线上，则的值可能是4【答案】ACD【解析】【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C.【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确；对于B，设，则，B错误；对于C，作轴，交直线于，过作，
9、垂足为，如图所示： 由曼哈顿距离的定义可知，而点，当不与重合时，由直线的斜率为，得，则；当与重合时，于是，因此，C正确对于D，如图所示，取，则，D正确故选：ACD 三、填空题12. 已知，设直线：，：，若，则_.【答案】1【解析】【分析】根据两直线平行满足的条件可求的值.【详解】因为，所以.故答案为：113. 点P为直线上任意一个动点，则P到点距离的最小值为_.【答案】3【解析】【分析】先判断出当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，再由点到直线的距离求解即可.【详解】由题意得当点P和点的连线和直线垂直时距离最小，此时距离等于点到直线的距离，故P到点的距离的最小值为3.故答案为：3.14. 已知
10、点（，）在圆：和圆：的公共弦上，则的最小值为_.【答案】8【解析】【分析】两圆方程相减得公共弦所在直线方程，代入已知点坐标得关系式，然后由基本不等式求得最小值，并验证等号成立时，点在公共弦上【详解】两圆方程相减得，即，所以，当且仅当，即时等号成立，点为，点在两圆公共弦上，满足题意，故答案为：8.四、解答题15. 已知直线经过点，圆（1）若直线与圆C相切，求直线的方程；（2）若直线被圆C截得的弦长为，求直线的方程【答案】（1）或 （2）或【解析】【分析】（1）根据直线与圆相切，进行求解；（2）先由勾股定理求出圆心到直线的距离，再由距离公式求解即可.【小问1详解】由已知圆，所以圆心坐标为，半径为2
11、.当直线的斜率不存在时，即直线的方程为：，此时是与圆相切，满足题意；当直线的斜率存在时，设直线为：，即，则圆C的圆心到直线l的距离，解得，故直线l的方程为综上，直线l的方程为或【小问2详解】因为直线l被圆C所截得的弦长为，所以圆心到直线l的距离为由（1）可知，直线的斜率一定存在，设直线为：，即，则圆心到直线l的距离，解得或故直线l的方程为或16. 如图，在四棱锥中，平面平面，.（1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析；（2）；（3）存在，【解析】【详解】试题分析：（1）由面面垂直性质定理知A
12、B平面；根据线面垂直性质定理可知，再由线面垂直判定定理可知平面；（2）取的中点，连结，以为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法可求出直线与平面所成角的正弦值；（3）假设存在，根据A，P，M三点共线，设，根据平面，即，求的值，即可求出的值.试题解析：（1）因为平面平面，所以平面，所以，又因为，所以平面；（2）取的中点，连结，因为，所以.又因为平面，平面平面，所以平面.因为平面，所以.因为，所以.如图建立空间直角坐标系，由题意得，.设平面的法向量为，则即令，则.所以.又，所以.所以直线与平面所成角的正弦值为.（3）设是棱上一点，则存在使得.因此点.因为平面，所以平面当且仅当，即，解得.所以在棱上
13、存在点使得平面，此时.考点：1.空间垂直判定与性质；2.异面直线所成角的计算；3.空间向量的运用.17. 如图，在四棱锥中，四边形ABCD是矩形，是等边三角形，平面平面，E为棱SA上一点，P为棱AD的中点，四棱锥的体积为.（1）若E为棱SA的中点，F是SB的中点，求证：平面平面SCD；（2）是否存在点E，使得平面PEB与平面SAD的夹角的余弦值为？若存在，确定点E的位置；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析 （2）存在点E，E为AS上靠近A点三等分点【解析】【分析】（1）以点P为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用两个平面法向量相同得证平行；（2）设，向量法表示已知条件中两平面夹角的余
14、弦值，求解即可.【小问1详解】在等边三角形SAD中，P为AD的中点，于是，又平面平面ABCD，平面平面，平面SAD，平面ABCD，是四棱锥的高，设，则，矩形的面积，如图，以点P为坐标原点，PA所在直线为x轴，过点P且与AB平行的直线为y轴，PS所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，则，设n1=x1,y1,z1是平面的一个法向量，则即，令，则，.同理可得平面SCD的一个法向量为.，平面平面SCD.【小问2详解】存在.设，则，设平面PEB的一个法向量为，则，令，则，易知平面SAD的一个法向量为，.，存在点E，且E为AS上靠近A点的三等分点.18. 已知直线，直线（1）若，求实数的值；（2）若，求实数的值【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）利用直线平行的判定列方程求参数值，需要验证所得参数是否符合要求.（2）利用直线垂直的判定列方程求参数值即可.【小问1详解】由，则，即，所以或，当，
