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1、2023-2024学年第一学期期中质量检测高二数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 从装有两个红球和两个白球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是（ ）A. 至少有一个白球与都是红球B. 恰好有一个白球与都是红球C. 至少有一个白球与都是白球D. 至少有一个白球与至少一个红球【答案】B【解析】【分析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可.【详解】解：对于A，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是红球”不能同时发生，但是对立，故A错误；对于B，事件：“恰好有一个白球”与事件：“都
2、是红球”不能同时发生，但从口袋内任取两个球时还有可能是两个都是白球，所以两个事件互斥而不对立，故B正确；对于C，事件：“至少有一个白球”与事件：“都是白球”可以同时发生，所以这两个事件不是互斥的，故C错误；对于D，事件：“至少有一个白球”与事件：“至少一个红球”可以同时发生，即“一个白球，一个红球” ，所以这两个事件不是互斥的，故D错误.故选：B.2. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】利用两直线平行可求出的值，利用平行线间的距离公式可求出的值，即可得出的值.【详解】因为直线与平行，则，且这两条直线间的距离为，解得，故.故选：A.3. 如图
3、，二面角的度数为，其棱上有两点、，线段、分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】分析可知，利用空间向量数量积的运算性质可求得线段的长.【详解】由题意可知，则，因为，所以，因此，.故选：D.4. 已知平面的一个法向量为，其中，则点到平面的距离为（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用空间向量求点到面的距离.【详解】由题意可得：，所以点到平面的距离为.故选：C.5. 在正四棱锥中，为顶点S在底面内的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成角的余弦值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分
4、析】以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解【详解】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，以OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系，设，则，则，,设平面PAC一个法向量为，则，令，则，可得，则，设直线BC与平面PAC的夹角为，可得直线BC与平面PAC的夹角的正弦值为，所以直线BC与平面PAC的夹角的余弦值.故选：C6. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件
5、“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）A. 甲与丙相互独立B. 甲与丁相互独立C. 乙与丙相互独立D. 丙与丁相互独立【答案】B【解析】【分析】根据独立事件概率关系逐一判断【详解】 ，故选：B【点睛】判断事件是否独立，先计算对应概率，再判断是否成立7. 已知圆的方程为，直线，点是直线上的一动点，过作圆的两条切线，切点分别为，当四边形的面积最小时，直线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意可得当点到圆心的距离最小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，求出点的坐标，以为直径的圆的方程，两圆相减得到直线的方程.【详解】由圆的方程为可知圆心，半径，点到圆心的距离最
6、小时，切线的长度最小，此时四边形的面积最小，所以，所以直线的方程为，联立，解得，以为直径，以中点为圆心的圆方程为，两圆方程相减可得直线的方程，故选：D8. 在棱长为的正方体中，是正方体外接球的直径，点是正方体表面上的一点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，分析可得，求出的取值范围，即可得出的取值范围.【详解】设正方体的外接球的球心为，球的半径为，则，可得，所以，又，当为正方体某个面的中心时，取最小值；当与正方体的顶点重合时，取最大值.则，所以. 故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项
7、中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列说法正确的是（ ）A. 已知直线过点，且在，轴上截距相等，则直线的方程为B. 直线的倾斜角为120C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件D. 若直线沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为【答案】BCD【解析】【分析】考虑直线截距为0时可以判断A；先求出斜率，进而求出倾斜角，然后判断B；先求出直线与直线垂直的等价结论，进而判断C；设出原直线方程，再求出平移后的直线方程，进而通过两条直线重合求出答案，进而判断D.【详解】对A，若直线过原点，则方程为：，A
8、错误；对B，直线斜率：，则倾斜角为120，B正确；对C，直线与直线垂直，等价于或a=3，C正确；对D，若直线斜率不存，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，不与原来重合，舍去；若直线斜率存在，设直线，它沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移2个单位长度后得到：，因为它回到原来的位置，所以，D正确.故选：BCD10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A. 已知两个向量，且，则B. 已知，则在上的投影向量为C. 设是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D. 若对空间中任意一点，有，则四点共面【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量共线的知识判断A；根据投影
9、向量计算公式判断B；根据空间向量共面的知识判断C和D.【详解】对于A，因为，所以，因为，所以，解得，所以，故A正确；对于B，因为，所以，所以在上的投影向量为，故B正确；对于C，设是空间中的一组基底，则不共面，假设共面，则，显然无解，所以不共面，则也是空间的一组基底，故C正确；对于D，但，则四点不共面，故D错误.故选：ABC.11. 下列说法正确的是（ ）A. 圆与圆的公共弦长为B. 过点作圆的切线，则切线的方程为C. 圆与圆关于直线对称D. 圆心为，半径为5的圆的标准方程是【答案】AC【解析】【分析】求出两圆公共弦所在直线方程，再求出弦长判断A；由直线与圆相切判断B；求出两圆连心线的中垂线方程
10、判断C；求出圆的标准方程判断D.【详解】对于A，圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，显然，即两圆相交，把两个圆的方程相减得公共弦所在直线方程，点到此直线距离，因此公共弦长为，A正确；对于B，直线过点，且与相切，即切线的方程可以为，B错误；对于C，圆的圆心，圆的圆心，显然这两个圆是等圆，则它们关于线段的中垂线对称，而线段的中点，直线的斜率为，于是线段的中垂线方程为，即，C正确；对于D，圆心为，半径为5的圆的标准方程是，D错误.故选：AC12. 在正三棱柱中，点满足，其中，则（ ）A. 当时，的周长为定值B. 当时，三棱锥的体积为定值C. 当时，有且仅有一个点，使得D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
11、【答案】BD【解析】【分析】对于A，由于等价向量关系，联系到一个三角形内，进而确定点的坐标；对于B，将点的运动轨迹考虑到一个三角形内，确定路线，进而考虑体积是否为定值；对于C，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数；对于D，考虑借助向量的平移将点轨迹确定，进而考虑建立合适的直角坐标系来求解点的个数【详解】易知，点在矩形内部（含边界）对于A，当时，即此时线段，周长不是定值，故A错误；对于B，当时，故此时点轨迹为线段，而，平面，则有到平面的距离为定值，所以其体积为定值，故B正确对于C，当时，取，中点分别为，则，所以点轨迹为线段，不妨建系解决，建立空间直角坐标系如
12、图，则，所以或故均满足，故C错误；对于D，当时，取，中点为，所以点轨迹为线段设，因为，所以，所以，此时与重合，故D正确故选：BD【点睛】本题主要考查向量的等价替换，关键之处在于所求点的坐标放在三角形内三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分.13. 假如，且与相互独立，则_【答案】【解析】【分析】根据给定条件求出，再借助全概率公式即可计算作答.【详解】因与相互独立，且，则，所以.故答案为：14. 直线经过点，且直线的一个方向向量为，若直线与轴交于点，则_.【答案】#【解析】【分析】利用方向向量可得斜率为，求得直线的方程代入点可得.【详解】由的一个方向向量为可得直线斜率为，所以直线的方程
13、为，即，将代入直线方程可得，可得.故答案为：15. 写出与圆和都相切的一条直线的方程_【答案】或或【解析】【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可.【详解】方法一：显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为，于是，故，于是或，再结合解得或或，所以直线方程有三条，分别为，填一条即可方法二：设圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径，则，因此两圆外切，由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意；又由方程和相减可得方程，即为过两圆公共切点的切线方程，又易知两圆圆心所在直线OC的方程为，直线OC与直线的交点为，设过该点的直线为，则，解得，从而该切线的方程为填一条即可方法三：圆的圆心为，半径为，圆的圆心为，半
14、径为，两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切，如图，当切线为l时，因为，所以，设方程为O到l的距离，解得，所以l的方程为，当切线为m时，设直线方程为，其中，由题意，解得，当切线为n时，易知切线方程为，故答案为：或或.16. 如图，在直三棱柱中，、分别是线段、上的点，是直线上的点，满足平面，且、不是三棱柱的顶点，则长的最小值为_.【答案】#【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算，根据平行、垂直关系的坐标表示，和空间距离的坐标表示求解.【详解】如图，由已知，两两互相垂直，以点A为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，可得，设，设平面的一个法向量为，则，即，令，因为平面，所以,又，可得，当时，取最小值，最小值为.故答案为: .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 如图，在空间四边形中，点为的中点，设.（1）试用向量表示向量；（2）若，求的
