《2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：19 第五章 5.1 5.1.2 第1课时 导数的概念》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2024年数学选择性必修第2册（配人教版）课件：19 第五章 5.1 5.1.2 第1课时 导数的概念（46页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第,1,课时导数的概念,第,1,课时导数的概念,第五章一元函数的导数及其应用,5.1,导数的概念及其,意义,5.1.2,导数的概念及其几何意义,整体感知,学习目标,1,了解导数概念的实际背景,(,数学抽象,),2,理解导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想,(,数学抽象、直观想象,),(,教师用书,),17,世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的国度里独立研究和完成了微积分的创立工作，他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析作为微分学基础的极限理论来说，早在我国的古代也已经有比较清楚的论述，比如庄周所著的庄子
2、,杂篇,天下中，记有,“,一尺之棰，日取其半，万世不竭,”,；三国时,期的刘徽在他的割圆术中提到,“,割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣,”,这些都是朴素的，也是很典型的极限概念那么这种极限思想对于函数来说有什么意义吗？这就是我们今天要讲的导数,讨论交流,问题,1,函数的平均变化率与瞬时变化率有什么关系？,问题,2,瞬时变化率的几何意义是什么？,问题,3,函数在,x,x,0,处的导数是什么含义？,自我感知,经过认真的预习，结合对本节课的理解和认知，请画出本节课的知识逻辑体系,探究建构,探究,1,导数的概念,探究问题,1,类比平均速度与瞬时速度的关系，瞬时变化率的
3、几何意义是什么？,提示,瞬时变化率为,，其几何意义是曲线的切线斜率,新知生成,1,平均变化率,对于函数,y,f,(,x,),，设自变量,x,从,x,0,变化到,x,0,x,，相应地，函数值,y,就从,f,(,x,0,),变化到,f,(,x,0,x,),这时，,x,的变化量为,x,，,y,的变化量为,y,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,),我们把比值,，即,_,_,_,叫做函数,y,f,(,x,),从,x,0,到,x,0,x,的平均变化率,2,导数,如果当,x,0,时，平均变化率,无限趋近于一个确定的值，即,有极限，则称,y,f,(,x,),在,x,x,0,处,_,，并把这个确定的值叫做
4、,y,f,(,x,),在,_,处的,_(,也称为瞬时变化率,),，记作,_,或,_,_,_,，即,f,(,x,0,),_,_,_,【教用,微提醒】,(1),平均变化率,的几何意义就是函数,y,f,(,x,),图象上的两点,(,x,0,，,f,(,x,0,),与,(,x,0,x,，,f,(,x,0,x,),所在直线的斜率,(2),在导数定义中增量,x,的形式是多种多样的，但不论,x,选择哪一种形式，相应的,y,也必须选择对应的形式，即深刻理解定义，牢固掌握概念形式,【链接,教材例题】,例,1,设,f,(,x,),，求,f,(1),解,f,(1),1.,典例讲评,1,已知函数,y,f,(,x,),
5、2,x,2,1.,(1),求函数,f,(,x,),在区间,x,0,，,x,0,x,上的平均变化率；,(2),求函数,f,(,x,),在区间,2,，,2.01,上的平均变化率；,(3),求函数,f,(,x,),在,x,2,处的瞬时变化率,解,(1),y,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,),1,2,x,(2,x,0,x,),，,函数,f,(,x,),在区间,x,0,，,x,0,x,上的平均变化率为,4,x,0,2,x,.,(2),由,(1),可知,4,x,0,2,x,，,当,x,0,2,，,x,0.01,时，,4,2,2,0.01,8.02,，,即函数,f,(,x,),在区间,2,，,2.
6、01,上的平均变化率为,8.02.,(3),y,f,(2,x,),f,(2),2(2,x,),2,1,(2,2,2,1),2(,x,),2,8,x,.,2,x,8.,故函数,f,(,x,),在,x,2,处的瞬时变化率为,8.,反思领悟,求瞬时变化率的主要步骤,(1),先计算函数值的改变量,y,f,(,x,2,),f,(,x,1,),(2),再计算自变量的改变量,x,x,2,x,1,.,(3),得平均变化率,.,(4),得瞬时变化率,.,学以致用,1,已知函数,f,(,x,),.,(1),函数,f,(,x,),在区间,1,，,1.5,，,1,，,1.1,上的平均变化率各是多少？,(2),函数,f
7、,(,x,),在,x,1,处的瞬时变化率是多少？,解,(1),f,(,x,),，,f,(1),6,，,f,(1.5),4,，,f,(1.1),，,该函数在区间,1,，,1.5,上的平均变化率为,4,，,在区间,1,，,1.1,上的平均变化率为,.,(2),函数,f,(,x,),在,x,1,处的瞬时变化率为,6.,探究,2,导数定义的应用,典例讲评,2,(,源自北师大版教材,),求函数,y,f,(,x,),x,在下列各点处的导数：,(1),x,1,；,(2),x,x,0,.,解,(1),y,f,(1,x,),f,(1),(1,x,),x,.,1.,当,x,趋于,0,时，得到导数,f,(,1),1
8、.,(2),y,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,),(,x,0,x,),x,.,1.,当,x,趋于,0,时，得到导数,f,(,x,0,),1.,发现规律,求一个函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数的步骤,(1),求函数值的变化量,y,_,(2),求平均变化率,_,_,_,(3),取极限，得导数,f,(,x,0,),_,f,(,x,0,x,),f,(,x,0,),学以致用,2,函数,y,在,x,1,处的导数为,_,2,因为,y,，,所以,，,所以,y,|,x,1,2,，,即函数,y,在,x,1,处的导数为,2.,2,探究,3,导数定义式的运用,典例讲评,3,已知奇函数,f,
9、(,x,),满足,f,(,1),1,，则,(,),A,B,C,1,D,1,B,f,(,x,),是奇函数且,f,(,1),1,，,f,(,1),.,故选,B.,反思领悟,由导数的定义可知，若函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,处可导，则,f,(,x,0,),，它仅与,x,0,有关，与,x,无关，因此使用导数的定义时要明确公式的形式，当分子为,f,(1,x,),f,(1),时，分母也应该是,(1,x,),1,，要注意公式的变形,学以致用,3,已知函数,f,(,x,),在,x,x,0,处可导，若,2,，则,f,(,x,0,),(,),A,1 B,C,2 D,8,B,函数,f,(,x,),在,x
10、,x,0,处可导，,f,(,x,0,),2,.,故选,B.,【教用,备选题】,一条水管中流出的水量,y,(,单位：,m,3,),关于时间,t,(,单位：,s),的函数为,y,f,(,t,),t,2,7,t,15(0,t,8),计算,2 s,和,6 s,时，函数的瞬时变化率，并说明它们的实际意义,解,当,t,2,时，,t,11.,当,t,无限趋近于,0,时，,无限趋近于,11.,同理可得当,t,6,时，,t,无限趋近于,0,时，,无限趋近于,19.,在,2 s,与,6 s,时，函数的瞬时变化率分别为,11,与,19.,它说明在,2 s,附近，水流大约以,11 m,3,/s,的速度流出，在,6 s
11、,附近，水流大约以,19 m,3,/s,的速度流出,探究,4,导数在实际问题中的意义,【链接,教材例题】,例,2,将原油精炼为汽油、些油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热已知在第,x,h,时，原油的温度,(,单位：,),为,y,f,(,x,),x,2,7,x,15(0,x,8),计算第,2 h,与第,6 h,时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义,解,在第,2 h,和第,6 h,时，原油温度的瞬时变化率就是,f,(2),和,f,(6),根据导数的定义，,x,3,，,所以,f,(2),3.,同理可得,f,(6),5.,在第,2 h,与第,6 h,时，原油温度的瞬时变化率分别为,3
12、,/h,与,5,/h.,说明在第,2 h,附近，原油温度大约以,3,/h,的速率下降；在第,6 h,附近，原油温度大约以,5,/h,的速率上升,一般地，,f,(,x,0,)(0,x,0,8),反映了原油温度在时刻,x,0,附近的变化情况,.,【链接,教材例题】,例,3,一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设汽车在某一路段内,t,s,时的速度,(,单位：,m/s),为,y,v,(,t,),t,2,6,t,17,，求汽车在第,2 s,与,第,6,s,时的瞬时加速度，并说明它们的意义,分析：,瞬时加速度是速度关于时间的瞬时变化率因此，在第,2 s,与第,6 s,时，汽车的瞬时加速度分别为,v,(2),
13、，,v,(6),解,在第,2 s,和第,6 s,时，汽车的瞬时加速度就是,v,(2),和,v,(6),根据导数的定义，,t,2,，,所以,v,(2),2.,同理可,得,v,(6),6.,在第,2 s,与第,6 s,时，汽车的瞬时加速度分别是,与,6 m/s,2,.,说明在第,2 s,附近，汽车的速度每秒大约增加,2 m/s,；在第,6 s,附近，汽车的速度每秒大约减少,6 m/s.,典例讲评,4,蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为,T,(,t,),15,，其中,T,(,t,),为体温,(,单位：,),，,t,为太阳落山后的时间,(,单位：,min),(1),从,t,0 min,到,t,10
14、min,，蜥蜴的体温的平均变化率是多少？它表示什么意义？,(2),求,T,(5),，并说明它的实际意义,解,(1),从,t,0 min,到,t,10 min,，蜥蜴的体温的平均变化率为,1.6,，,它表示从,t,0 min,到,t,10 min,，蜥蜴的体温平均每分钟下降,1.6,.,(2),T,(5),1.2,，,T,(5),表示当,t,5 min,时，蜥蜴的体温下降的瞬时速度为,1.2,/min.,反思领悟,导数的物理意义是：函数,y,f,(,x,),在,x,x,0,处的导数即为它的瞬时变化率,学以致用,4,某机械厂生产一种木材旋切机，已知总利润,c,(,单位：万元,),与产量,x,(,单
15、位：千台,),之间的关系式为,c,(,x,),2,x,2,7,x,6.,求,c,(1),与,c,(2),，并说明它们的实际意义,解,设,x,1,时产量的改变量为,x,，,则,2,x,3,，,c,(1),3,，,设,x,2,时产量的改变量为,x,，,则,2,x,1,，,c,(2),1.,c,(1),的实际意义：当产量为,1,千台时，多生产,1,千台旋切机可多获利,3,万元；,c,(2),的实际意义：当产量为,2,千台时，多生产,1,千台旋切机少获利,1,万元,2,4,3,题号,1,应用迁移,1,函数,y,f,(,x,),x,2,在,x,1,处的导数为,(,),A,2,x,B,2,C,2 D,2,
16、B,f,(1),2.,故选,B.,2,3,题号,1,4,2,设,f,(,x,),是可导函数，且,2,，则,f,(1),(,),A,B,1,C,0 D,2,B,2,2,f,(1),2,，,则,f,(1),1.,故选,B.,2,3,题号,4,1,3,函数,f,(,x,),x,2,1,在,x,0,到,x,0,x,之间的平均变化率为,(,),A,2,x,0,1 B,2,x,0,x,C,2,x,0,x,(,x,),2,D,(,x,),2,x,1,B,根据定义，平均变化率为,2,x,0,x,.,故选,B.,2,4,3,题号,1,4,已知函数,y,f,(,x,),x,2,x,在区间,t,，,1,上的平均变化率为,2,，则,t,_,2,y,f,(1),f,(,t,),(,1,2,1),(,t,2,t,),t,2,t,，,t,.,又,2,，,t,2.,2,1,知识链,：,(1),导数的概念,(2),导数定义的应用,(3),导数在实际问题中的意义,2,方法链,：定义法,3,警示牌,：对函数的平均变化率、瞬时变化率及导数概念理解不到位,回顾本节知识，自主完成以下问题：,1,你是如何理解,的？它的意义是什么？
