《重庆市名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《重庆市名校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含解析（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、重庆市名校联盟2024-2025学年度第一期第一次联合考试数学试卷（高2026届）本试卷共4页，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上.2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效.3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知点，若向量，则点B的坐标是（ ）.A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据空间向量的坐标表示可得.【详解】由空间向量的坐标表示可
2、知，所以，所以点B的坐标为.故选：B2. 过点，且与直线平行的直线方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行直线的斜率关系，利用待定系数法求出直线方程即可.【详解】直线的斜率，过点的直线与直线平行，所以该直线的斜率，设该直线的方程为，且该直线过点，则，得，所以该直线的方程为，即.故选：.3. 已知点，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角.【详解】已知点，则，斜率，又直线l的倾斜角，则直线l的倾斜角.故选：A4. 已知圆与轴相切，则（ ）A. 1B. 0或C.
3、0或1D. 【答案】D【解析】【分析】根据一般式得圆的标准式方程，即可根据相切得求解.【详解】将化为标准式为：，故圆心为半径为，且或，由于与轴相切，故，解得，或（舍去），故选：D5. 如图，平行六面体的所有棱长均为1，AB，AD，两两所成夹角均为，点E，F分别在棱，上，且，则（ ）A. B. C. 3D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意，连接，由向量的线性运算可得，再由向量的模长公式代入计算，即可得到结果.【详解】连接，由题意可得，所以，所以.故选：D6. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（）A. ；B. ；C. ；D. ；【答案】C【解析】【分析】根据题意，得到直线
4、过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程.【详解】由直线，可得化为，联立方程组，解得，即直线过定点，若要到直线的距离最大，只需，此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得，又由直线的斜率为，因为，可得，可得，故此时直线的方程为，即，经检验，此时，上述直线的方程能够成立.故选：C.7. 已知直线过点，且与直线及轴围成等腰三角形，则的方程为（ ）A. ，或B. ，或C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据直线所过点、倾斜角以及等腰三角形等知识求得正确答案.【详解】设，直线过和，当时，直线、直线与轴为成的三角形是不是等腰三角形.所以直线的斜率存在.设关于轴的对称点为，当直
5、线过两点时，三角形是等腰三角形，同时由于直线的斜率为，倾斜角为，所以三角形是等边三角形，所以，此时直线的方程为设直线与轴相交于点，如图所示，若，则，所以直线，也即直线的斜率为，对应方程为.故选：A8. 点P为圆A：上的一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】B【解析】【分析】结合点与圆的位置关系，把问题转化成两点之间直线段最短的问题解决.【详解】P为圆A：上一动点，Q为圆B：上一动点，O为坐标原点，取，则，.故选：B【点睛】方法点睛：几何问题中，线段和的最小值问题通常利用到两个结论：第一：两点之间直线段最短，第二：点到直线的距离，
6、垂线段最短.该题求线段和的最小值，该思考如何转化，利用这两个结论.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知，是夹角的单位向量，且，则下列说法正确的是（ ）A. B. C. 在方向上的投影向量为D. 与的夹角为【答案】BCD【解析】【分析】根据平面向量数量积的运算法则计算可判断个选项是否正确.【详解】由题意：，.对A：，故A错误；对B：因为，所以，故B正确；对C：在方向上的投影向量为：，故C正确；对D：因为，所以.所以，所以与的夹角为，故D正确.故选：BCD10. 点P在圆M：上，点
7、，点，则下列结论正确的是（ ）A. 直线AB关于点M对称直线为B. 点P到直线AB距离的最大值为C. 圆M关于直线AB对称的圆的方程为D. 当最大时，【答案】BD【解析】【分析】对于A，分别求得点关于点的对称点坐标，即可判断；对于B，利用圆上动点到直线的最大距离为即可判断；对于C，求得圆心关于直线对称的点即可得解；对于D，判断得最大时直线与圆相切，再利用两点距离公式与勾股定理即可得解.【详解】对于A，因为点，点，点，则点关于点的对称点，点关于点的对称点，则，则对称直线方程为，化简可得，故A错误；对于B，由题意可得，直线的方程为，即，因为圆，所以，半径为，所以圆心到直线的距离为，所以点到直线距离
8、的最大值为，故B正确；对于C，设圆心关于直线对称的点为，则，解得，所以圆关于直线对称的圆的方程为，故C错误；对于D，当最大时，易得直线与圆相切，如图，在中，所以，故D正确.故选：BD11. 在长方体中，动点P在体对角线上（含端点），则下列结论正确的有（ ）A. 当P为中点时，为锐角B. 存在点P，使得平面APCC. 的最小值D. 顶点B到平面APC的最大距离为【答案】ABC【解析】【分析】依题意建立空间直角坐标系，设，当为中点时，根据判断得符号即可判断A；当平面，则有，从而求出可判断B；当时，取得最小值，结合B即可判断C；利用向量法求出点到平面的距离，分析即可判断D.【详解】如图，以点为原点建
9、立空间直角坐标系，则，设，则，故，则，对于A，当为中点时，则，则，所以，所以为锐角，故A正确；当平面，因为平面，所以，则，解得，故存在点，使得平面，故B正确；对于C，当时，取得最小值，由B得，此时，则，所以，即的最小值为，故C正确；对于D，设平面的法向量，则，可取，则点到平面的距离为，当时，点到平面的距离为0，当时，当且仅当时，取等号，所以点到平面的最大距离为，故D错误.故选：ABC.【点睛】关键点睛：本题解决的关键是建立空间直角坐标系，求得，从而利用空间向量法逐一分析判断各选项即可.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知平面向量，若，则_ .【答案】【解析】【分析】根据
10、题意，结合向量的坐标表示以及向量垂直的坐标运算，列出方程，即可求解.【详解】由向量，可得，因为，可得，即，解得.故答案为：13. 方程表示圆，且坐标原点在该圆外，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】根据点和圆的位置关系列不等式，由此求得的取值范围.【详解】圆的方程可化为 ，即 ， 所以 ，解出.由于在圆外，所以，解得或.故.故答案为：14. 已知圆，点，M、N为圆O上两个不同的点，且若，则的最小值为_.【答案】#【解析】【分析】根据几何关系确定点的轨迹方程，从而根据点到圆上动点距离最值的求解方法求解即可.【详解】解法1：如图，因为，所以，故四边形为矩形，设的中点为S，连接，则，所以，又为
11、直角三角形，所以，故，设，则由可得，整理得：，从而点S的轨迹为以为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内部，所以，因为，所以 ；解法2：如图，因为,所以，故四边形为矩形，由矩形性质，所以，从而，故Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，显然点P在该圆内，所以.故答案： .四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知顶点、（1）求边的垂直平分线的方程；（2）若直线过点，且的纵截距是横截距的倍，求直线的方程【答案】（1） （2）或【解析】【分析】（1）根据、，即可得中点及斜率，进而可得其中垂线方程；（2）当直线过坐标原点时可得直线方程；当直线不过坐标原点时，根据
12、直线的截距式可得解.【小问1详解】由、，可知中点为，且，所以其垂直平分线斜率满足，即，所以边的垂直平分线的方程为，即；【小问2详解】当直线过坐标原点时，此时直线，符合题意；当直线不过坐标原点时，由题意设直线方程为，由过点，则，解得，所以直线方程为，即，综上所述，直线的方程为或.16. 如图，正方体中，E、F、G分别为，的中点.（1）证明：平面ACE；（2）求与平面ACE所成角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2）.【解析】【分析】（1）先证得，再由线面平行判定定理证明即可；（2）以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面ACE的法向量，利用公式求解即可.【小问1详解】证明：连接BD和，设
13、，连接EO，则O为BD中点，在中，因为F，G分别为和的中点，所以，又因为在中，因为E为的中点，所以，所以又平面ACE，平面ACE，所以平面ACE【小问2详解】以D为坐标原点，DA，DC，所在直线分别为x，y，z轴，建系如图：设正方体的棱长为2，则A2,0,0，E0,0,1，所以，设m=x,y,z为平面ACE的一个法向量，则，所以，取设直线与平面ACE所成角为，所以直线与平面ACE所成角的正弦值为：所以与平面ACE所成角的余弦值为.17. 直线的方程为（）.（1）证明：无论为何值，直线过定点；（2）已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的截距
14、式方程.【答案】（1）证明见解析 （2），【解析】【分析】（1）将直线的方程变形为，令，解得即可；（2）首先求出直线在、轴上的截距，即可求出的范围，再由面积公式及基本不等式求出面积最小值及此时的值，从而求出直线的方程及三角形的周长.【小问1详解】直线的方程变形为，由，得到，又时，恒成立，故直线恒过定点2,1【小问2详解】由，依题意，即，令，得到，令，得到，由，得到，所以，令，得到，当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，又，所以当的面积最小时，的周长为.18. 如图所示，等腰梯形中，E为中点，与交于点O，将沿折起，使点D到达点P的位置（平面）.（1）证明：平面；（2）若，试判断线段上是否存在一点Q（不含端点），使得直线与平面所成角的正弦值为，若存在，求三棱锥的体积，若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析 （
