机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、严平稳过程、严平稳过程 设设随机过程随机过程若若对于任意的对于任意的n和任意的和任意的有有则称则称为严为严平稳过程平稳过程由由定义可知严平稳过程的一维分布与定义可知严平稳过程的一维分布与t 无关，即无关，即二维分布函数满足二维分布函数满足4.1 平稳过程的概念平稳过程的概念9/25/20241 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 若严平稳过程存在二阶矩，则有若严平稳过程存在二阶矩，则有（常数）（常数）同理同理2、宽平稳过程、宽平稳过程设设二阶矩过程二阶矩过程满足：满足：即严即严平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关平稳过程的二维分布仅于时间差有关，与起始点无关.4.1 平稳过程的概念平稳过程的概念9/25/20242 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过显然，一个严平稳过程如果存在二阶矩，则必为宽平稳过程。
以后平稳过程均指宽平稳过程以后平稳过程均指宽平稳过程 解解:所以所以,具有平稳性具有平稳性,称其为平稳随机序列称其为平稳随机序列试试讨论讨论平稳性平稳性. 例例1、设、设是不是不相关的随机变量序列，且相关的随机变量序列，且（（1））（常数）（常数）（（2））则称则称为宽为宽平稳过程平稳过程4.1 平稳过程的概念平稳过程的概念9/25/20243 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 例例2、设、设在在上上均匀分布，试讨论其平稳性均匀分布，试讨论其平稳性解：解：为为常数，常数，4.1 平稳过程的概念平稳过程的概念9/25/20244 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 1、相关函数的性质、相关函数的性质则则设设是是平稳过程，其相关函数为平稳过程，其相关函数为(1)(2)(3)(4)具有非负定性，即具有非负定性，即及及复数复数有有4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质9/25/20245 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程（（2) (3)证明证明：：(1)4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质9/25/20246 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 (4) 由由相关函数的性质可知：相关函数的性质可知：（（1）若）若 是是实实平稳过程，则其相关函数是平稳过程，则其相关函数是偶函数，即偶函数，即 （（2）设）设是是平稳过程平稳过程,则其协方差函数则其协方差函数满足满足:4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质9/25/20247 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 2、若、若则称则称 为周期平稳过程，使得上式为周期平稳过程，使得上式成立的最小正数成立的最小正数T为过程的周期。
周期平稳过程的相关函数为过程的周期周期平稳过程的相关函数也为周期函数，且其周期同过程的周期也为周期函数，且其周期同过程的周期证明：证明： 3、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得、由二阶矩过程的均方微积分的有关结论可得 （（1）平稳过程）平稳过程均方连续的充要条件为均方连续的充要条件为在在 处处连续 （（2）平稳过程）平稳过程均方可导的充要条件为均方可导的充要条件为在在处处一阶、二阶导数都存在一阶、二阶导数都存在4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质9/25/20248 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程（（3）若平稳过程）若平稳过程均方可导，则其导数过程均方可导，则其导数过程 仍为仍为平稳过程，且平稳过程，且 4、联合平稳过程的互相关函数及其性质、联合平稳过程的互相关函数及其性质记记 （（2））的的性质性质1））特别，当特别，当 为联合平稳为联合平稳的实过程时，的实过程时，（（1）定义：设）定义：设为为两个两个平稳过程，平稳过程，则称这两个过程为联合平稳过程。
则称这两个过程为联合平稳过程若对于任意若对于任意4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质9/25/20249 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程2）对任意的复常数）对任意的复常数 也是平稳过程，且也是平稳过程，且它们的互相关函数满足：它们的互相关函数满足：3）） 证明证明：：1））4.2 平稳过程相关函数的性质平稳过程相关函数的性质9/25/202410 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程同理可得同理可得4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202411 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、各态历经概念、各态历经概念 设设 是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数是平稳随机过程，其数学期望函数与相关函数怎样通过试验近似地确定？作怎样通过试验近似地确定？作n次试验，得样本函数次试验，得样本函数 对于固定的对于固定的 由大数定律，由大数定律，n必须很大，难以实现。
由于平稳过程的统计必须很大，难以实现由于平稳过程的统计特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征不随时间而变，能否以一个样本函数去近似计算过程的数字特征呢？下面引入各态历经概念特征呢？下面引入各态历经概念4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202412 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 (1)时间平均与时间相关函数时间平均与时间相关函数设设是是平稳过程，称平稳过程，称1)为为平稳过程平稳过程在在的时间平均的时间平均2)为为平稳过程平稳过程在在的时间相关函数的时间相关函数 (2)设设是是均方连续的平稳过程均方连续的平稳过程,若若则称则称该该过程的均值具有各态历经性过程的均值具有各态历经性; 2)则称该则称该过程的相关函数具有各态历经性过程的相关函数具有各态历经性;4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202413 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 3)均值与相关函数都具有各态历经性均值与相关函数都具有各态历经性,则称该过程为各则称该过程为各态历经过程。
态历经过程 例例3、设、设 其中其中是是常数，常数， 在在上上均匀分布，试讨论其各态历经性均匀分布，试讨论其各态历经性 解：可以求出解：可以求出=04.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202414 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 所以，原过程的相关函数具有各态历经性于是该过程为所以，原过程的相关函数具有各态历经性于是该过程为各态历经过程各态历经过程 2、各态历经性的判定定理、各态历经性的判定定理（（1）均值各态历经定理）均值各态历经定理设设 是平稳过程，则其均值具有各态历经是平稳过程，则其均值具有各态历经 性的充要条件为性的充要条件为 4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202415 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 证明：证明：为了计算上述积分，作变量替换令为了计算上述积分，作变量替换令4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202416 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程又又所以所以4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202417 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程由由充要条件知：充要条件知：只须只须若若 是是实实平稳过程，其相关函数为偶函数，则平稳过程，其相关函数为偶函数，则均值各态历经的充要条件为均值各态历经的充要条件为设设是是平稳过程，如果平稳过程，如果则则的的均值具有各态历经性。
均值具有各态历经性2)相关函数的各态历经定理相关函数的各态历经定理由于由于令令有有4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202418 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程若若是是平稳过程平稳过程,则则 于是于是, 的相关函数的各的相关函数的各态态历经性转化为历经性转化为的的均值的各态历经性判定均值的各态历经性判定,所以所以实际应用中通常定义实际应用中通常定义平稳过程平稳过程的相关函数具有各态历经性的充要的相关函数具有各态历经性的充要条件为条件为4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202419 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 例例4、设平稳过程的协方差函数、设平稳过程的协方差函数满足满足则该则该过程的均值具有各态历经性过程的均值具有各态历经性 证明：证明：所以所以从而，该过程的均值具有各态历经性从而，该过程的均值具有各态历经性3、各态历经性的应用、各态历经性的应用设设是是具有各态历经性的平稳过程，即具有各态历经性的平稳过程，即4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202420 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 这就从这就从理论上保证可以认为由试验得到的样本函数理论上保证可以认为由试验得到的样本函数由由确定确定均值和相关函数，有均值和相关函数，有或或或或设设为实为实过程，将过程，将[0,T]N等分，于是等分，于是称称为采样点为采样点,取取N足够大，足够大，足够小。
足够小4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202421 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程令令4.3 平稳过程的各态历经性平稳过程的各态历经性9/25/202422 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、相关函数的谱分解、相关函数的谱分解(1)维勒维勒—辛钦定理辛钦定理 是均方连续的平稳过程，则其相关是均方连续的平稳过程，则其相关函数函数 设设可可表示为表示为 其中其中 是是 上上 非负、有界、单调不减、右连续非负、有界、单调不减、右连续函数，且函数，且 证明：若证明：若则则此时此时即为所求即为所求若若令令连续、非负定且连续、非负定且4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202423 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程于是，于是， 必为某随机变量的特征函数，从而存在分布函数必为某随机变量的特征函数，从而存在分布函数使得使得即得即得 即为即为所求。
所求2)定义定义 称称 为为平稳过程平稳过程的谱的谱函数函数,称称 为为平稳过程平稳过程相关函数的谱展开式相关函数的谱展开式4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202424 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 如果存在非负函数如果存在非负函数使得使得则称则称为为随机过程随机过程的的谱密度3)谱密度与相关函数的关系谱密度与相关函数的关系表明表明是是互为富氏变换对互为富氏变换对 例例5、设、设是是平稳过程，其相关函数为平稳过程，其相关函数为其中其中是是正数，求其谱密度与谱函数正数，求其谱密度与谱函数 设设均方连续的平稳过程，且均方连续的平稳过程，且 绝对可积，绝对可积，则则 即即4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202425 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 解：解： 试证明试证明 例例6、设、设F(x)是任意单调不减、右连续的有界函数，且是任意单调不减、右连续的有界函数，且 又又设设X,Y是两个相互独立的随机变量，是两个相互独立的随机变量，X以以为其分布函数，为其分布函数，Y在在上上均匀分布。
对均匀分布对令令是均值为是均值为0的平稳过程，且的平稳过程，且F(x）） 为其谱为其谱函数4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202426 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程证明：设证明：设F(x,y)为为(X,Y)的联合分布函数的联合分布函数, 分别为分别为X,Y的分布函数，因为的分布函数，因为 =04.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202427 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程因此，因此，是是平稳过程，且平稳过程，且F(x)为其谱函数为其谱函数2、谱密度的物理意义、谱密度的物理意义 设设x(t) 为一确定性功率信号，由为一确定性功率信号，由“信号与系统信号与系统”可知：可知：x(t)在频率在频率 处的处的功率谱密度为功率谱密度为 设设是是平稳过程平稳过程相关函数，如果相关函数，如果绝对可积，则绝对可积，则4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202428 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 证明：证明：可得可得类似于各态历经性定理类似于各态历经性定理的证明令的证明令 故故这这就是功率谱密度的物理意义。
就是功率谱密度的物理意义3、谱密度的性质和计算、谱密度的性质和计算4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202429 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 (1) (2)若若 (4)设设 为两个正交的平稳过程为两个正交的平稳过程(即即 设设为为平稳过程平稳过程 谱密度，则谱密度，则为为实值非负函数实值非负函数;为实值为实值平稳过程平稳过程,则则 (3)则则 的的谱谱密度为密度为例例7、若平稳过程、若平稳过程X(t)的谱函数的谱函数对某对某a满足满足 则则X(t)是任意是任意n次均方可微的次均方可微的证明：因为证明：因为4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202430 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 由由 可知可知是是任意任意n次可微分的次可微分的若若 不是绝对可积，则谱函数不存在。
下面引进不是绝对可积，则谱函数不存在下面引进函数，推广谱密度的概念函数，推广谱密度的概念称称为为冲击函数（广义函数）冲击函数（广义函数） 若若连续，则有连续，则有 证明：令证明：令4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202431 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程则有则有于是有于是有 例例8、设平稳过程、设平稳过程X的相关函数为的相关函数为 求求其其谱密度解：解：4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202432 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 4、互谱密度及其性质、互谱密度及其性质(1)互谱密度的定义互谱密度的定义绝对可积绝对可积,即即设设是是联合平稳过程联合平稳过程的的互相关函数互相关函数,如果如果则称则称为为联合平稳过程联合平稳过程的互谱的互谱密度 (2)互谱密度的性质互谱密度的性质1））2））是是一对一对Fourier变换，即变换，即4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202433 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 3)若若X,Y为实过程为实过程, 则则 的实部的实部是偶是偶部部是奇是奇函数；函数；4) 5)函数函数,虚虚4.4 平稳过程的谱密度平稳过程的谱密度9/25/202434 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程1、线性时不变系统概念、线性时不变系统概念Lx(t)y(t)y(t)=L[x(t)],称称L为系统，也称为系统，也称L为算子。
为算子 若系统若系统L满足：满足： (1)其中其中为为常数常数,则称则称L为线性系统为线性系统;(2)则称则称L为线性时不变系统为线性时不变系统;满足满足(1)和和(2)的系统的系统,称为线性时不变系统称为线性时不变系统4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202435 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程设设L为线性时不变系统，为线性时不变系统，为为一列信号，一列信号，若当若当时有时有则称则称L为保持连续性的时不变系统为保持连续性的时不变系统2、线性时不变系统的脉冲响应函数与频率响应函数、线性时不变系统的脉冲响应函数与频率响应函数(1)频率响应函频率响应函数数设设系统系统L 为线性时不变系统，输入为为线性时不变系统，输入为输出为输出为称称脉冲响应函数脉冲响应函数连续点时，有连续点时，有由由 为为性质知，当性质知，当4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202436 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程设设系统输入为系统输入为系统的脉冲响应函数为系统的脉冲响应函数为 则则系统的输出为系统的输出为证明：证明： (2)频率响应函数频率响应函数 系统的脉冲响应函数的傅氏变换，称为系统的频率响应系统的脉冲响应函数的傅氏变换，称为系统的频率响应函数，记作函数，记作即即4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202437 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程由于由于两端作傅氏变换，得两端作傅氏变换，得其中其中设设系统的输入为系统的输入为则则系统的输出为系统的输出为为为系统的频率响应函数。
系统的频率响应函数其中其中4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202438 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程证明：证明： 例例8、如图所示、如图所示R-C电路，试求频率响应函数电路，试求频率响应函数RC解：右图系统的方程为解：右图系统的方程为令令代入得代入得解之得解之得4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202439 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程3、线性时不变系统对随机输入的响应、线性时不变系统对随机输入的响应变系统，其脉冲响应和频率响应函数分别为变系统，其脉冲响应和频率响应函数分别为且且满足：满足： 设系统的输入为平稳过程设系统的输入为平稳过程其其相关函数相关函数和谱密度分别为和谱密度分别为且且绝对可积，绝对可积，L是线性时不是线性时不 (1)(2)则有则有L的输出的输出为为 (1)4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202440 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程(2) (3)Y的谱密度存在的谱密度存在,且且例例9、设例、设例8中输入为平稳过程的功率谱密度是中输入为平稳过程的功率谱密度是(白白噪声噪声)，求输出的相关函数。
求输出的相关函数白白噪声噪声)，，解：由上例知系统的频率响应函数为解：由上例知系统的频率响应函数为4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202441 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程 4、线性时不变系统输入与输出的互相关函数与互谱密度、线性时不变系统输入与输出的互相关函数与互谱密度 设设线性时不变系统的输入和输出分别为平稳过程线性时不变系统的输入和输出分别为平稳过程且且存在谱密度存在谱密度则则X 与与Y平稳相关，且它们的互谱密度为平稳相关，且它们的互谱密度为4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202442 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程其中其中为为系统的频率响应系统的频率响应 例例10、设、设Y 是均方二次可微的平稳过程，是均方二次可微的平稳过程，X是均方连续的是均方连续的平稳过程，且满足平稳过程，且满足试用试用X的谱密度表示的谱密度表示Y的谱密度的谱密度则则系统输出系统输出代入微分方程得代入微分方程得解：该系统为线性系统，先求频率响应，设解：该系统为线性系统，先求频率响应，设4.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202443 机动 目录 上页 下页 返回 结束 随机过程(西电版）第4章 平稳过程得得设设输入输入X 的谱密度为的谱密度为则则作业作业:P146 习题四习题四 1、、6、、10、、11、、15、、18、、21、、23、、24、、26、、33、、364.5 线性系统中的平稳过程线性系统中的平稳过程9/25/202444 。