整式乘法及因式分解

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1、高青金钥匙培训学校高青金钥匙培训学校 成成 功功整整式式的的乘乘法法同底数幂的乘法同底数幂的乘法:am.an=am+n幂的乘方：幂的乘方：(am)n=amn积的乘方积的乘方:(ab)n=anbn预预备备知知识识1.单项式乘以单项式：单项式乘以单项式：把它们的系数、同底数的幂分别相把它们的系数、同底数的幂分别相乘，对于只在一个单项式里出现的乘，对于只在一个单项式里出现的字母连同它的指数作为积的一个因字母连同它的指数作为积的一个因式。式。 如如4a2yx5.(-3ab2x)2.单项式乘以多项式：单项式乘以多项式：转化转化单项式乘以单项式单项式乘以单项式m(a+b+c)=ma+mb+mc再如（再如（

2、 ab2-2ab). ab如（如（-4x2).(2x-y-1)3.多项式乘以多项式：多项式乘以多项式：转化转化单项式乘以多项式单项式乘以多项式 (a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn如如(x-y)(x2+xy+y2)相反变形相反变形难点难点am+n=am.anamn=(am)nan.bn=(ab)n想想一一想想a2a3a5+=(1)a2aa2=(2)(x-y)2(y-x)5=(x-y)7(8)x2( )3=x5(4)47(6)(-5) (-5) =511(-3)233=(-3)5(7)2(5)35a2a=10a6(3)a3a3=2a3练习一练习一1.计算计算(

3、1)100.10m+1.10m-2 (2)an+2.an+1.an.a2(3)(102)3 (4)(xy3n)2+(xy6)n (5)-p.(-p)4(6)(b+2)2(b+2)5(b+2) (7)(a-2b)3(b-2a)4(8)(-a2.(-a4b3)2)3 (9)(x-2y)2(y-2x)3注意：通过以上练习可知，公式中的注意：通过以上练习可知，公式中的a既可以是一个数也可以是一个字母，既可以是一个数也可以是一个字母，也可以是一个代数式。也可以是一个代数式。2.(1).- x2y2. xyz (2)( a2+ab-0.6b2).(- a2b2)(3)(2x+y)(x-3y) (4)3y(

4、y2+4y+4)-y(y-3)(3y+4)(5)(2m-3n)(3m-4n) (6)若若ab2=-1,则则-ab(a2b5-ab3-b)的值是多少的值是多少？比一比比一比算算计计(1)3x2( )3-7x3 x3-x4x2+1( )a2( )-2b2a+2b( )-2ab(a-b)(2)先化简，再求值先化简，再求值:其中其中a=1,b=21.公公 式式 的的 逆逆 向向 使使 用用（3 3）已知）已知2m=3，2n=5，求求23m+2n+2的值的值. . 1、若、若10x=5,10y=4,求求102x+3y+1 的值的值.2、计算：、计算：0.251000（-2）2001注意点：注意点：（1）

5、指数：相加）指数：相加底数相乘底数相乘转化转化（2）指数：乘法）指数：乘法幂的乘方幂的乘方转化转化（3）底数：不同底数）底数：不同底数同底数同底数转化转化 （3） （1）012516( (8 8) 17；（2）逆用公式逆用公式 即即 公公 式式 的的 反反 向向 使使 用用 试用简便方法计算试用简便方法计算试用简便方法计算试用简便方法计算: :(ab)n = = anbn （mm, ,n n都是正整数都是正整数都是正整数都是正整数）反向使用反向使用: : anbn = = (ab)n (1)(1) 2 23 3 5 53 3 ; ;(2)(2) ( (- -5)5)16 16 ( (- -2)

6、2)1515(3)(3) 2 24 4 4 44 4 ( (- -0.125)0.125)4 4 ; ;整整式式的的乘乘法法1.单项式乘以单项式单项式乘以单项式2.单项式乘以多项式单项式乘以多项式3.多项式乘以多项式多项式乘以多项式逆逆运运算算预备知识预备知识aman=am-n当当m=n时，规定：时，规定：a0=1(a0)整整式式的的除除法法1.单项式除以单项式单项式除以单项式2.多项式除以单项式多项式除以单项式3.多项式除以多项式多项式除以多项式单项式相除，把系数与同底数的幂分别相单项式相除，把系数与同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字

7、母连同它的指数作为商的一个因式。的字母连同它的指数作为商的一个因式。如如20x4y2z(- x3y2) (-2a2b3c)2a3b2单单单单转化转化(a+b)m=am+bm如如(0.25a2b-0.5a3b2- a4b3)(-0.5a2b)初中阶段不学习初中阶段不学习am.an=am+n(am)n=amn(ab)n=anbn特例特例乘乘法法公公式式1.平方差公式平方差公式2.完全平方公式完全平方公式(a+b)(a-b)=a2-b2(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2相反变形相反变形因式分解因式分解(1)(-a)(1)(-a)8 8(-a(-a2 2) )(2)-5a

8、(2)-5a5 5b b3 3c c5a5a4 4b b3 3(4)-3a(4)-3a2 2x x4 4y y3 3(-axy(-axy2 2) )(5)(4(5)(410109 9) )(-2(-210103 3) )=-a=-a6 6=-ac=-ac=3ax=3ax3 3y y=-2=-210106 6 (3) 6m (3) 6m2 2n n(-2mn)(-2mn)= -3m= -3m(1)(-2a(1)(-2a4 4b b3 3c)c)3 3(-8a(-8a4 4b b5 5c)c)(3(3 ) )(-3.6(-3.610101010) )(-2(-210102 2) )2 2(3(31

9、0102 2) )2 2=a=a8 8b b4 4c c2 2= = 1010(2)(6x(2)(6x2 2y y3 3) )2 2(3xy(3xy2 2) )2 2=4x=4x2 2y y2 2练习练习1.计算计算(1).x15 x6 (2). (-xy)x6 (2). (-xy)1010 (-xy)8 (3)a(-xy)8 (3)a2m+42m+4 a am-2 m-2 (4).(x-2y)(4).(x-2y)4 4 (2y-x)(2y-x)3 3 (5).(-a)(5).(-a)5 5 a a3 32.计算计算(1).-3a7b4c 9a9a4 4b b2 2 (2)28x (2)28x

10、4 4y y2 2 7x7x3 3y (3)4ay (3)4a3m+13m+1 (- (-8a8a2m-12m-1) )(4).8(m+n)(4).8(m+n)5 5 (-(m+n)(-(m+n)3 3) (5).(8a) (5).(8a2 2+ab+a)+ab+a) a a(6).(6).已知一个多项式除以多项式已知一个多项式除以多项式已知一个多项式除以多项式已知一个多项式除以多项式a a2 2+4a-3+4a-3所得的商式是所得的商式是所得的商式是所得的商式是2a+1,2a+1,余式余式余式余式是是是是2a+8,2a+8,求这个多项式。求这个多项式。求这个多项式。求这个多项式。 计算（一）

11、：计算（一）：（1） （2x3）（）（2x3）（2） （x2）（）（x2）（3） （2xy）（）（2xy）（4） （yx）（）（xy） ( 5 )19982002填空填空(1).(a+ )2=a2+6a+ 。 (2).(2x- )2=4x2- +25(3).a2+b2=(a-b)2+ 。 (4).(x-y)2+ =(x+y)2想一想想一想下列计算是否正确？如不正确，应下列计算是否正确？如不正确，应如何改正？如何改正？(-x+6)(-x-6) =-x2-6(1)2-x-1(-x-1)(x+1) =(2)(3)(-2xy-1)(2xy-1) =1-2xy2计算计算(1).(5a+3)(5b-3)

12、(2).(3m-2)(3m-2)(3).(3m+4)(3m-4) (4).(-2x-1)(-2x+1)(5).(x+3y)2 (6).(2x-3y)2(7)(-x+y)2 (8).(-2x2-3y)2已知已知(a+b)2=11,(a-b)2=7,则则ab=( )(1)（A） 1（B）-1（C） 0（D） 1或或-1(C)(D)(2) 如果如果4x +12xy+k是一个关于是一个关于x、y的完全的完全2平方式平方式，则则k=( )(A)(B)3y29y2y36y 2AB（3）如果如果a+a1=3,则则a2+a21=( )(A) 7(B) 9(C) 10(D) 11所以所以=9a+a1( )2所以

13、所以a +a1=922+2A故故a a1=72+2因为因为a+a1=3解：解：(a-2b+3)(a+2b-3)的结果是的结果是（ ）（A）22a+4b+12b-9（C）22a+4b -12b-9（B）a2-4b2-12b-9（D）a2-4b2+12b-9D（4）计算计算=a-(2b-3)a+(2b-3)=a2-(2b-3)2=a2-(4b -12b+9)2 =a2-4b2+12b-9(a-2b+3)(a+2b-3)解：解：是一个关于是一个关于x、y的完全平的完全平如果如果4x2+kxy+9y2方式，则方式，则k=( )填空填空因式分解因式分解因式分解因式分解1.运用前两节所学的知识填空运用前两

14、节所学的知识填空1).m(a+b+c)= .2).(a+b)(a-b)= .3).(a+b)2= .2.试一试试一试 填空填空:1).ma+mb+mc= m( )2).a2-b2=( )( )3).a2+2ab+b2=( )2ma+mb+mca2-b2a2+2ab+b2你能发现这你能发现这两组等式之两组等式之间的联系和间的联系和区别吗区别吗?a+b+ca+ba+ba-b 一般地，把一个多项式转化成几个整式的一般地，把一个多项式转化成几个整式的积积积积的形式，的形式，叫做叫做因式分解因式分解因式分解因式分解，有时我们也把这一过程叫做，有时我们也把这一过程叫做分解因式分解因式分解因式分解因式。定义

15、定义理解概念判断哪些是因式分解判断哪些是因式分解? (1) x2-4y2=(x+2y)(x-2y) (2) 2x(x-3y)=2x2-6xy (3) (5a-1)2=25a2-10a+1 (4) x2+4x+4=(x+2)2 (5)(a-3)(a+3)=a2-9 因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法整式乘法因式分解因式分解整式乘法整式乘法两者都不是两者都不是像像(1)(1)这种因式分解的方法叫这种因式分解的方法叫提公因式法提公因式法像像(2),(3)(2),(3)利用乘法公式对多项式进行因式分利用乘法公式对多项式进行因式分解的这种因式分解的方法就称为解的这种因式分解的方法就称为公式法公式法

16、. .1) ma+mb+mc=m( a+b+c )2) a2-b2=(a+b)(a-b )3)a2+2ab+b2=(a+b)2注意事项注意事项1) 首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一首选提公因式法（若各项间有公因式，要先将公因式提出来），另一 个因式再考虑其他方法。个因式再考虑其他方法。x3-4x2)一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。一般情况下，两项考虑平方差公式，三项考虑完全平方公式。 x4-2x2y2+y43）因式分解要彻底。）因式分解要彻底。4）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。）（可用整式的乘法检验）但不走回头路。 m4-1=(m2+1)

17、(m2-1)=(m2+1)(m+1)(m-1)=(m2+1)(m2-1)找出下列各多项式中的公因式找出下列各多项式中的公因式找一找找一找公因式公因式系数系数字母字母35a6ab各项系数的各项系数的最最大大公约数公约数取每项中含有的取每项中含有的相同字母相同字母问问:多项式中的公因式是如何确定的？多项式中的公因式是如何确定的？指数指数 相同字母的最相同字母的最低低次幂次幂易易错错分分析析1、 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 12.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A.4X+y B. 4 x- (-y

18、) C.-4 X-y D. - X+ y2) -4a +1分解因式的分解因式的结果果应是是 （ ）-(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)-(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)DD拓展提高拓展提高1.把下列多项式因式分解把下列多项式因式分解1). 6x(a+2b)2-3x(a+2b)2). (b-a)2-2a+2b3). a(a-b)2+(b-a)3提公因式法因式分解提公因式法因式分解1) 13.80.125+86.22) 0.7332-0.32633) 33+112+664)已知已知a+b=5,ab=3,求求a2b+ab2的值的值.巧计妙算巧计

19、妙算183.解方程解方程:(5x+3)(5x+6)-(5x+3)(5x+7)=0(x-2004)2=(2004-x)(2005-x)提公因式法因式分解提公因式法因式分解( ) ( ) x216练习：分解下列各式练习：分解下列各式: （1）x2-16 解：解：(1)（2）9m2-4n2 x x ( ) ( )a2b2aabb( ) ( )x2 4242x2(2) 9m2-4n2 3m 3m( ) ( )a2aabb (3m)2 (2n)2(2n)2(3m)2b22n 2n平方差公式的应用题：平方差公式的应用题： 1、利用分解因式简便计算、利用分解因式简便计算 (1) 652-642 (2) 5.

20、42-4.62(3) (4) 解解:652-642=(65+64)(65-64)=1291=129 解解:5.42-4.62 =(5.4+4.6)(5.4-4.6) =100.8 =8答案答案:5答案答案:28提高题：提高题： 2、已知、已知 , ,求（求（a+b）2-(a-b)2的值。的值。 解解: (a+b)2-(a-b)2 =(a+b)+(a-b)(a+b)-(a-b) =2a2b =4ab当当 ， 时，时，原式原式=4 =3、求、求证:当当n是整数是整数时，两个，两个连续奇数的平方差奇数的平方差 (2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数。的倍数。思考：思考：(a+b)2=a2+2ab

21、+b2(a-b)2=a2-2ab+b2a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 = (a-b)2完全平方公式完全平方公式a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 = (a-b)2用他们可以把一个三项式分解因式的用他们可以把一个三项式分解因式的特点特点：两项是两个数两项是两个数( (式）的式）的平方平方另一项是加上另一项是加上( (或减去或减去) )这两个数（式）这两个数（式）积的两积的两倍倍完全平方例题讲解完全平方例题讲解完全平方例题讲解完全平方例题讲解(1)(1)(1)(1) x2-4x+4 =x2-22x+22 =(x-2)2a2 +2a+1= a2 +2a1 +1

22、2=（a+1）2 a2+10a+25=a2+2a( )+( )2=(a+ )2555 X2+12ax+36a2=X2+2x6a +(6a)2=(x+6a)2小练习小练习(2)(2) 4a2+25b2-20ab=(2a)2 -22a5b +(5b)2=(2a-5b)2 -8x2y-2x3-8xy2 =-2x(x2+4xy+4y2) =-2x(x+2y)2动手做动手做已知已知x=a+2b,y=a-2b，求求:x +xy+y 2 2 1 、已知、已知a+b=5 ，ab= -2， 求（求（1） a2+b2 （2）a-ba2+b2=(a+b)2-2ab(a-b)2=(a+b)2-4ab2、已知、已知a2

23、-3a+1=0，求（，求（1） （2）3、已知、已知 求求x2-2x-3的值的值4.若若(x-m)2=x2+8x+n,求求mn的值的值5.若若9x2-mx+4是一个完全平方式，求是一个完全平方式，求m的值的值6.若若(m+n)2=11,(m-n)2=7.求求5mn的值的值7.在整式在整式4x2+1中加上一个单项式使之成为中加上一个单项式使之成为完全平方式，则应添完全平方式，则应添 。8.在式在式 子子 中加上一个单项式使之成为完全平方的中加上一个单项式使之成为完全平方的形式，则应添形式，则应添 。9.若若(2m-3n)2=(2m+3n)2+A成立，成立， A应为应为 。10.若若x2+2mx+

24、36是完全平方式，是完全平方式， 求求m的值的值11.已知：已知：a+b=5,ab=3,求求a2+b2的值的值12.已知：已知：a-b=3,a2+b2=17，求，求(a+b)2的值的值13.已知：已知：ab=12,a2+b2=25, 求求(a-b)2的值的值14.已知：已知：m2+n2+4m-6n+13=0,求求mn的值。的值。考查知识点：（当考查知识点：（当m,n是正整数时）是正整数时）1、同底数幂的乘法：、同底数幂的乘法：am an = am+n 2、幂的乘方、幂的乘方: (am )n = amn 3、积的乘方、积的乘方: (ab)n = an bn 4、合并同类项、合并同类项:计算：计算

25、：x3(-x)5-(-x4)2-(-2x3)4 -(-x10)(- x)2解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆.计算：计算：(1) (-2a 2 +3a + 1) (- 2a)3 (2) 5x(x2+2x +1) - 3(2x + 3)(x - 5)(3) (2m2 1)(m 4) -2 ( m2 + 3)(2m 5)注意点：注意点：1、计算时应注意运算法则及运算顺序、计算时应注意运算法则及运算顺序2、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏、在进行多项式乘法运算时，注意不要漏 乘，以及各项符号是否正确。乘，以及各项符号是否正确。计算：计算

26、：(1) (1-x)(1+x)(1+x2)-(1-x2)2(2) (x2+32)2-(x+3)2(x-3)2 (2x-1)2-(3x+1)(3x-1)+2(x-1)2 (x+4y-6z)(x-4y+6z) (x-2y+3z)2例例1、已知：、已知：x2+y2+6x-8y+25=0, 求求x,y的值；的值；1、已知、已知x2-2mx+16 是完全平方式，则是完全平方式，则m=_4、如果、如果(2a+2b+1)(2a+2b-1)=63,那么那么a+b=_2、已知、已知x2-8x+m是完全平方式，则是完全平方式，则m=_3、已知、已知x2-8x+m2是完全平方式，则是完全平方式，则m=_41644-mx85.若若 则则m=( )A. 3 B. -10 C. -3 D.-5A观察观察:请你用正整数请你用正整数n的等式表示你发现的规律的等式表示你发现的规律 _.正整数正整数n观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律n是正整数是正整数观察下列各组数观察下列各组数,请用字母表示它们的规律请用字母表示它们的规律n是正整数是正整数设设 (n为大于为大于0的自然数的自然数). 探究探究an 是否为是否为8的倍数，并用文字语言表述你的倍数，并用文字语言表述你所获得的结论；所获得的结论；两个连续奇数的平方差是两个连续奇数的平方差是8的倍数的倍数