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1、目录 上页 下页 返回 结束 第八节1）一、格林公式一、格林公式 二、平面上曲线积分与路径无关的二、平面上曲线积分与路径无关的 等价条件等价条件各种积分的联系 及其在场论中的应用 第六章 目录 上页 下页 返回 结束 区域 D 分类单连通区域 ( 无“洞区域 )多连通区域 ( 有“洞区域 )域 D 边界L 的正向: 域的内部靠左定理定理1. 设区域设区域 D 是由分段光滑正向曲线是由分段光滑正向曲线 L 围成围成,则有( 格林公式 )函数在 D 上具有连续一阶偏导数,或一、一、 格林公式格林公式目录 上页 下页 返回 结束 证明证明:1) 若D 既是 X - 型区域 , 又是 Y - 型区域
2、, 且那么定理1 目录 上页 下页 返回 结束 即同理可证、两式相加得:定理1 目录 上页 下页 返回 结束 2) 若D不满足以上条件, 则可通过加辅助线将其分割为有限个上述形式的区域 , 如图证毕定理1 目录 上页 下页 返回 结束 Green公式可以推广到由有限条分段光滑的闭曲线公式可以推广到由有限条分段光滑的闭曲线所围成的复连通域。所围成的复连通域。对于右图复连通区域对于右图复连通区域D，可以，可以将其割一刀，将复连通域变成将其割一刀，将复连通域变成单连通域，于是单连通域，于是D的边界构成的边界构成为：为：Green公式仍成立公式仍成立目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 正向闭曲线
3、正向闭曲线 L 所围区域所围区域 D 的面积的面积格林公式格林公式例如例如, 椭圆椭圆所围面积定理1 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 4目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 2. 设 L 是一条分段光滑的闭曲线, 证明证证: 令令那么利用格林公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算计算其中D 是以 O(0,0) , A(1,1) , B(0,1) 为顶点的三角形闭域 . 解解: 令令, 那么利用格林公式 , 有目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 计算计算其中L为一无重点且不过原点的分段光滑正向闭曲线.解解: 令令设 L 所围区域为D,由格林公式
4、知目录 上页 下页 返回 结束 在D 内作圆周取逆时针方向, 对区域应用格记 L 和 l 所围的区域为林公式 , 得目录 上页 下页 返回 结束 二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件二、平面上曲线积分与路径无关的等价条件沿路径C从点A到点B的线积分此时，可记为此时，可记为应与向量场A(M)的分布，起点A与终点B的位置以及积分路径C三者有关。但，有的却与积分路径无关，比如重力场做功一般的，线积分一般的，线积分 的值与积分路径无关的值与积分路径无关时，称场时，称场A(M)为保守场。为保守场。目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2. 设设D 是单连通域是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(
5、1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起止点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 目录 上页 下页 返回 结束 (1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2) 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分与路径无关, 只与起止点有关. 说明说明: 积分与路径无关时积分与路径无关时, 曲线积分可记为曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,那么(根据条件(1)定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (2) 对D 中任一分段光
6、滑曲线 L, 曲线积分(3)与路径无关, 只与起止点有关. 在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分那么同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 定理2 目录 上页 下页 返回 结束 (4) 在 D 内每一点都有(3)在 D 内是某一函数的全微分,即 证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得那么P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而在D内每一点都有定理2 目录 上页 下页 返回 结束 证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式 , 得所围区域为证毕 (1) 沿D 中任意光
7、滑闭曲线 L , 有(4) 在 D 内每一点都有定理2 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理2的物理意义：的物理意义：如果把向量场看作是一平面流速场如果把向量场看作是一平面流速场v(x,y),即即v=Pi+Qj于是于是 ,设流体密度为设流体密度为1，因而上式右端积分表示在单位时间，因而上式右端积分表示在单位时间内，场内，场v沿闭曲线沿闭曲线C流动流体的流量，力学上称其为流动流体的流量，力学上称其为沿沿C的环流量。它给出了流速场的环流量。它给出了流速场v绕曲线绕曲线C旋转趋势大旋转趋势大小的度量。一般的，我们称沿闭曲线小的度量。一般的，我们称沿闭曲线C的第二型线积的第二型线积分分定理定理2 2
8、 流速场在曲线流速场在曲线C的切线方向的分速度的切线方向的分速度为向量场为向量场A沿闭曲线沿闭曲线C的环量的环量.目录 上页 下页 返回 结束 命题命题1中，沿任一分段光滑的简单闭曲线中，沿任一分段光滑的简单闭曲线C的线积分的线积分为为0，这表明了向量场，这表明了向量场A(M)在在D内绕任一点均无旋转内绕任一点均无旋转趋势，我们称其为无旋场。趋势，我们称其为无旋场。定理定理2 2 命题命题2表明向量场表明向量场AM是一个保守场是一个保守场.定义：对于给定的连续向量场定义：对于给定的连续向量场 ，表达，表达式式Pdx+Qdy如果是某个二元函数如果是某个二元函数u的全微分，则称的全微分，则称u是是
9、向量场向量场A(M)的势函数或位函数，而向量场的势函数或位函数，而向量场A(M)是一是一有势场。有势场。命题命题3表明向量场表明向量场AM是一个有势场是一个有势场.定理定理2表明，对于一个连续向量场表明，对于一个连续向量场 ， A(M)是无旋场、保守场、有势场三者是相互等价的。是无旋场、保守场、有势场三者是相互等价的。目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 根据定理2 , 若在某区域D内那么2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时,
10、 可选择方便的积分路径;定理2 目录 上页 下页 返回 结束 4) 若已知 d u = P dx + Q dy ,则对D内任一分段光滑曲定理2 线 AB ,有注注: 此式称为曲线积分的基本公式此式称为曲线积分的基本公式 它类似于微积分基本公式: 例：计算目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算计算其中其中L 为上半为上半从从 O (0, 0) 到到 A (4, 0).解解: 为了使用格林公式为了使用格林公式, 添加辅助线段添加辅助线段它与它与L 所围所围原式原式圆周圆周区域为区域为D , 那那么么目录 上页 下页 返回 结束 例例
11、7. 验证验证是某个函数的全微分, 并求出这个函数. 证证: 设设那么由定理2 可知, 存在函数 u (x , y) 使目录 上页 下页 返回 结束 例例8. 验证验证在右半平面 ( x 0 ) 内存在原函数 , 并求出它. 证证: 令令那么由定理 2 可知存在原函数目录 上页 下页 返回 结束 或目录 上页 下页 返回 结束 30例9说明线积分在全平面是与路径无关，并求I的值。解所以在全平面线积分与路径无关，目录 上页 下页 返回 结束 例10证目录 上页 下页 返回 结束 例例11. 设质点在力场设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通
12、区域内积分与路径无关.目录 上页 下页 返回 结束 考虑考虑: 积分路径是否可以取积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !内容小结 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 格林公式2. 等价条件在 D 内与路径无关.在 D 内有对 D 内任意闭曲线 L 有在 D 内有设 P, Q 在 D 内具有一阶连续偏导数, 则有目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1. 设且都取正向, 问下列计算是否正确 ?提示提示:目录 上页 下页 返回 结束 2. 设提示提示:第四节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题 1. 设设 C 为
13、为沿沿从点依逆时针的半圆, 计算解解: 添加辅助线如图添加辅助线如图 ,利用格林公式 .原式 =到点目录 上页 下页 返回 结束 2. 质点质点M 沿着以沿着以AB为直径的半圆为直径的半圆, 从从 A(1,2) 运动运动到到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 1990 考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,目录 上页 下页 返回 结束 3. 已知曲线积分已知曲线积分与路径无关与路径无关, 其其中中求由求由确定的隐函数确定的隐函数解解: 因积分与路径无关因积分与路径无关 , 故有故有即即因此有因此有
