结构的稳定计算

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1、结构力学结构力学海南大学土木工程系海南大学土木工程系第十一章 结构的稳定计算1vv两类稳定问题概述两类稳定问题概述vv稳 定 问 题 的 分 析 方 法稳 定 问 题 的 分 析 方 法vv弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 静 力 法弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 静 力 法vv弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 能 量 法弹 性 压 杆 稳 定 分 析 之 能 量 法vv剪 力 对 临 界 荷 载 的 影 响剪 力 对 临 界 荷 载 的 影 响vv组合压杆的稳定组合压杆的稳定vv圆 环 和 圆 拱 的 稳 定 性圆 环 和 圆 拱 的 稳 定 性21 1、稳定演算的重要性稳定演算的重

2、要性设设计计结结构构强度演算强度演算刚度演算刚度演算最基本的必不可少最基本的必不可少稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构稳定性演算：高强度材料应用、结构形式的发展，结构 趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算趋于轻型、薄壁化，更易失稳，稳定计算 日益重要。日益重要。2 2、平衡状态的三种情况、平衡状态的三种情况稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，恢复原位。干扰消失，恢复原位。不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位，不稳定平衡：在某个平衡状态，轻微干扰，偏离原位， 干扰消失，不能恢复原位。干扰消失，不能恢复原位

3、。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。中性平衡：由稳定平衡到不稳定平衡的中间状态。11.1 11.1 两类稳定问题概述两类稳定问题概述33、失稳:随着荷载的逐渐增大,结构的原始平衡位置由稳定平衡转 为不稳定平衡.这时原始平衡状态丧失其稳定性.4、分支点失稳：完善体系（或理想体系）：直杆（无初曲率），中心受压（无初偏心）。Pl/2l/2POfP1Pcr=1PcrC(稳定)(不稳定)(大挠度理论)(小挠度理论)DDP2原始平衡状态是不稳定的。存在两种不同形式的平衡状态(直线、弯曲）。f分支点B将原始平衡路径 分为两段。在分支点B出现 平衡的二重性。原始平衡有 稳定转变为不稳定。f临界荷载、

4、临界状态2 Pcr4 Pcr Pcrqcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合 Pcr原始平衡：轴向受压新平衡形式：压弯组合原始平衡：平面弯曲新平衡形式：斜弯曲加扭转 结构的变形产生了质的改变。即原来的平衡形式成为不稳定而可能出现新的与原来平衡形式有质的区别的平衡形式，同时，这种现象带有突然性。分支点失稳的特点：55、极值点失稳：非完善体系：具有初曲率的压杆承受偏心荷载的压杆 P PPOPcr(大挠度理论)(小挠度理论)PePe接近于中心压杆的欧拉临界荷载稳定问题与强度问题的区别：强度问题是在稳定平衡状态下：当 ,小变形，进行线性分析（一阶分析）。当 ,大变形，进行几何非线性分析（二阶分析）

5、。重点是求 内力、 应力稳定问题重点是研究荷载与结构抵抗力之间的平衡；找出变形急剧增长的临界点及相应的临界荷载。在变形后的几何位置上建立平衡方程，属于几何非线性分析（二阶分析）。非线性分析，叠加原理不再适用。 极值点失稳的特点：非完善体系出现极值点失稳。平衡形式不出现分支现象，P-曲线具有极值点。结构的变形形式并不发生质的改变，由于结构的变形过大,结构将不能正常使用. 对于工程结构两种失稳形式都是不允许的.因为它们或使得结构不能维持原来的工作状态或使其丧失承载能力,导致结构破坏. 6 Plk1、单自由度完善体系的分支点失稳EI=1）按大挠度理论分析 PRAPOAPcrB(稳定)(不稳定)(大挠

6、度理论)不稳定平衡(小挠度理论)随遇平衡 分支点A处的临界平衡也是不稳定的。对于这种具有不稳定分支点的完善体系，一般应当考虑初始缺陷的影响，按非完善体系进行稳定性演算。2）按小挠度理论分析 1 小挠度理论能够得出正确的临界荷载,但不能反映当较大时平衡路径的下降(上升)趋势。随遇平衡状态是简化假设带来的假象。注: 1）平衡方程是对变形以后的结构新位置建立的。 2）建立平衡方程时方程中各项应是同量级的，主要力项（有限量）要考虑结构变形对几何尺寸的微量变化，次要力项（微量）不考虑几何尺寸的微量变化。6、两类稳定计算简例7 Plk2、单自由度非完善体系的极值点失稳EI=1）按大挠度理论分析 P RAP

7、/klO=010.6600.42/2P/klO10.20.6600.10.7850.30.556这个非完善体系是极值点失稳.Pcr 随增大而减小.8 PlkEI=2）按小挠度理论分析 PRAP/klO设：1，1=0=00.40.81.21.610.80.60.40.2各曲线都以水平直线 P/kl=1为渐近线,并得出相同的临界荷载值Pcr=kl对于非完善体系，小挠度理论不能得出随着的增大Pcr会逐渐减小的结论.。93 3、几点认识、几点认识 1）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值）一般说来，完善体系是分支点失稳，非完善体系是极值点失稳。点失稳。 2）分支点失稳的特征是存在不同平衡路

8、径的交叉，在交叉）分支点失稳的特征是存在不同平衡路径的交叉，在交叉点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径，点出现平衡形式的二重性，极值点失稳只存在一个平衡路径， 但但平衡路径上出现极值点。平衡路径上出现极值点。 3）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小）只有按大挠度理论才能得出稳定问题的精确结论，但小挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得挠度理论比较简单适用，特别是在分支点失稳问题中通常也能得出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。出临界荷载的正确值。但也要注意它的某些结论的局限性。 4）在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳）

9、在实际结构中难以区分这两类失稳问题。但分支点失稳问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研问题更具有典型性，就失稳的突发性而言，更有必要首先加以研究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上究；另外，在许多情况下，分支点临界荷载可作为极限荷载的上限考虑。限考虑。 以下只讨论完善体系分支点失稳问题，以下只讨论完善体系分支点失稳问题， 并由小挠度理论求临界荷载。并由小挠度理论求临界荷载。1011.2 11.2 有限自由度体系的稳定有限自由度体系的稳定静力法和能量法静力法和能量法稳定计算最基本最重要的方法静力法：考虑临界状态的静力特征。 （平衡形式的二重性）能量法：考虑临界

10、状态的能量特征。 （势能有驻值，位移有非零解）PlABk1、静力法：要点是利用临界状态平衡形式的 二重性，在原始平衡路径之外寻 找新的平衡 路径，确定分支点， 由此求临界荷载。l=0，原始平衡0，新平衡形式特征方程（稳定方程）临界荷载MA=k 确定体系变形形式(新的平衡形式)的独立位移参数的数目即稳定体系的自由度.PAB转动刚度系数kBEI= 用静力法分析具有 n 个自由度的体系时，可对新的变形状态建立 n 个平衡方程，它们是关于 n 个独立位移参数的齐次线性方程，因失稳时 n 个位移参数不全为零，则方程的系数行列式 D因等于零，得到稳定方程： D=0 它有 n 个实根（特征值），其中最小着即

11、为临界荷载。112、能量法：弹性体系的平衡方程弹性体系的平衡方程势能驻值原理势能驻值原理（对于弹性体系， 在一切微小的可能位移中，同时又满足平衡条件的位移（真实位移）使结构的势能为驻值，即：=0 , =应变能U+外力势能UPMA=k22ql=2sin22ql=)cos1 (qll -=MA=k弹性应变能荷载势能:应用势能驻值条件:位移有非零解则: 势能驻值原理是弹性体系处于平衡的充要条件.但是平衡状态有稳定的、不稳定的和中性的三种，要判断平衡属于哪一种，就必须讨论总势能与荷载之间的关系。PlABkBEI=12 总势能是位移的二次函数，1）PUP表示体系具有足够的应变能克服荷载势能，压杆恢复到原

12、有平衡位置)当=0，为极小值0。对于稳定平衡状态，真实的位移使为极小值2）Pk/l ，当0，恒小于零（为负定） (即UUP表示体系缺少足够的应变能克服荷载势能，压杆不能恢复到原有位置) 。当=0，为极大值0。原始的平衡状态是不稳定的。3）P=k/l ，当为任意值时，恒等于零(即U=UP) 。 体系处于中性平衡（临界状态）这是的荷载称为临界荷载Pcr=k/l 。PPcrP=Pcr 结论：1）当体系处于稳定平衡状态时，其总势能必为最小。2）临界状态的能量特征是：势能为驻值，且位移有非零解。或表 述为：在荷载达到临界值前后，总势能由正定过渡到非正定。3）当体系处于中性平衡P=Pcr时，如依原始平衡位

13、置作为参考状 态，必有总势能=0。 对于多自由度体系，结论仍然成立。13 例1：图示体系中AB、BC、CD各杆为刚性杆。使用两种方法求其临界荷载。lllPkkABCDPkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/l解：1）静力法设变形状态 求支座反力列变形状态 的平衡方程（a）如果系数行列式 0y1，y2为零，对应原始平衡形式。如果系数行列式=0y1，y2不为零，对应新的平衡形式。ABCD1-1对称问题可利用对称性做。14Pkky1y2R1=ky1R2=ky2YA=Py1/lYD=Py2/lABCD2）能量法在新的平衡位 置各杆端的相 对水平位移)(1222121+-=y

14、yyyl)(212221221+-+=yyyyllD点的水平位移弹性支座应变能:)(22221+=yykU荷载势能:)(222121+-=-=yyyylPPUPl体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUUPP势能驻 值条件:0)2(21=-+yPklPy0)2(21=+-PyyPkl0, 021=yyPP以后的计算步骤同静力法能量法步骤:给出新的平衡形式;写出总势能表达式;建立势能驻值条件;应用位移有非零解的条件,得出特征方程; 解出特征值,其中最小的即临界荷载Pcr。15体系总势能:)2(2)2(21222121-+-=+=yPklyPyyPkllUU

15、PP总势能是位移y1 、y2的对称实数二次型。如果Pkl/3=Pcr， 是正定的。如果kl/3 Pkl， 是负定的。由此可见，多自由度体系在临界状态的能量特征仍然是：在荷载达到临界值的前后，势能由正定过渡到非正定。（或说：势能达极值，位移有非零值）非正定16PPllABCk例2：用两种方法求图示体系的临界荷载。并绘其失稳曲线。 1、静力法：两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：2qk()21qq-kBC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程并求解：求失稳曲线：实际失稳曲线只是理论上存在的失稳曲线172、能量法：外力势能：PPllABCk2qk()21qq-k应变

16、能：总势能：根据势能驻值条件：由位移参数不全为零得稳定方程：以下计算同静力法。18例3：用静力法求图示体系的临界荷载。两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡方程：BC:AC:由位移参数不全为零得稳定方程：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP19例3：用能量法求图示体 系的临界荷载。两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。求变性能和外力势能：lllEI2EIEI=EI=ABCPBABCPP当杆件上无外荷载作用时，杆端力的功=变形能。20P例4：用静力法求图示体系的临界荷载。EI=两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。分析受力列平衡

17、方程：由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC21P 用能量法求图示体系的临界荷载。 EI=两个自由度，取1 2 为位移参数，设失稳曲 线如图。由位移参数不全为零得稳定方程：AlllBCD()21qq+k()23qq-kBC求变性能和外力势能：22Dl/2EPlCEl/2DlP利用对称性求 EI=1、正对称失稳取半刚架如图： 取 1 为位移参数，设失 稳曲 线如图。PAlllBCDC1qk02、反对称失稳取半刚架如图： 取 1 为位移参数，设失 稳曲 线如图。C)(21qq+k0C23静力法的解题思路: 先对变形状态建立平衡方程，然后根据平衡形式的二重性

18、建立特征方程，再由特征方程求出临界荷载。不同的是，平衡方程是代数方程（有限自由度体系）微分方程（无限自由度体系）xRxylPEI11.3 11.3 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定静力法静力法1、等界面压杆2423p2pa ly4.493先由图解法求出近似解：l再由试算法求更准确的值：22)7 . 0(lEIp=219.20lEI=22)493. 4(lEI=22)(lEIla=2EIPcra=25yx Pl2l1EI例5：求图示压杆的稳定方程。解：1）选坐标系，取图示曲线的平衡形式， 建立平衡微分方程。M=Py2）求解平衡微分方程3）由边界条件，可得一组与未知数（A、 B、 ）数目相等的齐次方程

19、，位移有非零解系数行列式应等于零，得出特征方程。特征方程：代入边界条件展开：26f刚性支承上等截面直杆的稳定EI=1=2=1材力已导出几种简单支承情况下的轴压杆的临界荷载：长度系数=2、1、约束加强，临界荷载提高。ll/2单根压杆可以看成是某些实际结构中抽象出来的力学模型。27f具有弹性支承的等截面直杆的稳定PABkB xyPABkB xyPABk xyll P3i3ik=6i28可能发生反对称失稳的计算简图考虑下端转动刚度特性的计算简图EI1=EI1=PPPEIEIEIPEIkPEI29PPEIEI1EI1lPEIEI1l/2PEI1P或：反对称失稳时PPEIEI1EI1l或：正对称失稳时P

20、EIEI1l/2PEI1P30PBAPAB注意：对于某些结构的稳定问题（如局部失稳）常可将其中 压杆取出，以弹性支座代替其它部分对它的作用，同 时并由其余部分求出弹性支承的刚度系数，然后就可 按单根压杆进行计算。31例6 试求图示排架的临界荷载和柱子AB的计算长度。 PI1I2=nI1BADCEA=A PBk解：CD杆的作用用弹簧来代替xyB Px yR=k1）I2=0，k=0相当于悬臂柱，计算长度为l0=2l322）I2=，k=相当于上端铰支、下端固定柱，计算长度为l0l22)7 . 0(lEIp=219.20lEIPcr=3）当）当 0k当 I2=I1/2l试算法求解:计算长度为l0l33

21、xyl1l2lI1I2 P Pcr两段的弹性曲线微分方程：解方程：由系数行列式等于零得稳定方程：y1y22、阶形压杆的稳定34xyl1l2lI1I2 P1 P2例 阶形杆的稳定。解：弹性曲线微分方程：解方程：2Dy1y2 P1 P235位移参数不全为零，应系数行列式等于零：展开后，得到特征方程： 这个方程只有当I2/I1、 l2/l1、 P2/P1的比值都给定时才能求解。l1=2l/3l2=l/3I11.5I1 P1 5P1 变截面（阶形变截面（阶形变化或连续变化）变化或连续变化）杆件，都可采用能杆件，都可采用能量法较简捷地得到量法较简捷地得到满意的结果。满意的结果。36 2）解平衡微分方程；

22、静力法解题思路：1）对新的平衡形式列平衡微分方程； 3）代入边界条件，得到包含待定参数的齐次方程组；能量法解题思路： 1）对于满足位移边界条件的任意可能位移求出总势能； 2）由势能驻值条件 = 0， 得到包含待定参数的齐次方程组； 3）令系数行列式等于零，得到特征方程。 4）令齐次方程组的系数行列式等于零，由此得到特征方程。 Pl设变形曲线为：dxdx 11.4 11.4 弹性压杆的稳定弹性压杆的稳定能量法能量法37有势能驻值条件，即令：展开是关于P的n次方程,其最小根即临界荷载。上述方法叫里兹法，所得临界荷载的近似值是精确解的上限。?减少自由度相当于对体系施加约束，抗失稳能力提高。38例7

23、能量法求临界荷载.解：位移边界条件为： 当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy1）设失稳曲线为抛物线(纯弯下的挠曲线) .123166423lEIllEI=01Pacr0)31664(13alPlEI=-38)(212102lPadxyPUlP-=-=,32)(2132102lEIadxyEIUl= =:, 01a=得由P误差为 22% 因为所设挠曲线不满足力的边界条件。甚至相差甚远，故精度较差。39另解：:位移边界条件为： 当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy2）设失稳曲线为图b .102lEIPcr=960)(21225202IElPQdxyPUlP-=-=,96)(

24、213202EIlQdxyEIUl= =:0=求得由PQ误差为 1.3%如取均布荷载作用下的挠曲线,精度会更高.如用某一横向荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。40另解：位移边界条件为： 当 x=0 和 x=l 时，y=0l PEIxy3）设失稳曲线为正弦线 )(4)(212202llPadxyPUlPp-=-=,)(4)(214202lEIladxyEIUlp= =.:, 022lEIPcrpdp=得由 4）讨论：*正弦曲线是真实的失稳变形曲线，所得结果是精确解。 *抛物线不满足全部力的边界条件，精度最差。 *如果用某一横线荷载引起的挠曲线作为失稳曲线，则

25、体系的应变能也可用该荷载的实功来代替。41例 求均匀竖向荷载作用下的临界荷载.解: 当 x=0 时， y=0：x=l 时，设失稳曲线为正弦线 ,)(64)(214202lEIladxyEIUlp= =lyxqEIxdx微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：所设失稳曲线能否满足力的边界条件？42另解: 当 x=0 时， y=0：x=l 时，设失稳曲线为(b)中Q引起的挠曲线 . 微段dx倾斜使该段以上荷载向下移动，这部分荷载作功为：xdxlyxqEI（a）yxQ（b）43xyl P2I2I2I2例：图示变截面杆的求Pcr解: 当 x=0 时， y=0：x=l 时， y=0设变形曲

26、线为三角级数： 先取第一项作为近似的变形曲线44再取前两项作为近似的变形曲线系数行列式等于零得到特征方程： 两次计算结果相对差值不到 1%，由此可知所得近似结果的精确程度。45考虑剪力时压杆的挠度为：y=yM+yQ M引起挠度Q引起挠度考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：dxhl PEIABQQdyQg考虑弯矩和剪力影响的挠曲线微分方程：弯矩引起的曲率：剪力引起的曲率计算：11.5 11.5 剪力对临界荷载的影响剪力对临界荷载的影响46两端铰支的等截面压杆的临界荷载：l PEIABxyy22lEIPep=即欧拉临界荷载。 修正系数6时可用下式近似计算Pcr。以组合压杆情况下的剪力影响代替。它代

27、表单位剪力作用下的切应变。11.6 11.6 组合压杆的稳定组合压杆的稳定481、缀条式组合压杆 由于肢杆的界面比缀条的截面大的多故只考虑缀条产生的位移。Q=1Q=111gdbApAq bzAd49斜杆影响横杆影响Ap和AqAd相当于肢杆间绝对刚性联结临界荷载与惯性矩为I的实体杆的临界荷载相同。 Ap和AqAd相当于肢杆间绝对柔性联结临界荷载0。一般情况下组合压杆的临界荷载比截面和柔度相同的实体压杆的临界荷载要小。斜杆比横杆对临界荷载的影响更大。计算长度系数规范中采用公式502、缀板式组合压杆 取刚架为计算简图1/21/21/21/2 Pdd/2d/2b1/21/21/21/2IdIb设主肢反

28、弯点在结间中点，剪力平均分配与两肢杆。11/211/2g随缀板间距的增大，2将减小。 2151（缀板式）； 2 0 2 2 0lllm d+=计算长度系数规范中采用公式综上所述，组合压杆的临界荷载计算与实体压杆类似。先求出相应的长度系数：（缀条式）aalpm2 2 02cossin1qdAA+=22)( lEIPcrm p=代入求临界荷载。52 Pcr与杆截面的惯性矩成正比，与杆的计算长度的平方成反比。为了提高临界荷载值，可增强杆件的约束，以减小杆的计算长度；也可设法提高惯性矩。 大型结构的压杆常采用组合压杆的形式。在不增大截面尺寸的前提下，使两个型钢离开一定的距离，获得较大的I，增强稳定性。

29、 为了保证他们能正常工作，在型钢的翼缘上用一些扣件将它们连起来。扣件缀条式：斜杆、横杆 与柱肢铰接。 P缀板式：横杆 与柱肢刚接。 P1、缀条式组合压杆 失稳时桁架中各杆只引起附加轴力。能量法：ydb12组合压杆的稳定组合压杆的稳定( (能量法能量法) )53桁架应变能：式中A肢为弦杆面积， A1为上斜缀条面积， A2为下斜缀条面积。一般缀条式组合压杆的结间数较多，可取 54 P55 P P 有交叉缀条的组合压杆的临界荷载，仍按上式计算，但此时缀条面积要加倍。实腹杆的临界荷载 k1组合杆的折减系数：与缀条和柱肢的截面积比值有密切的关系。当缀条面积很小时：当缀条面积很大时：一般情况下缀条式组合压

30、杆的临界荷载总 小于同样惯性矩的实腹柱的临界荷载。56组合压杆的计算长度 在工程中,水平缀条的轴力小影响小可忽略不计；同时 30 60缀条式组合压杆的计算长细比公式: 0是按回转半径为r=b/2 的实腹杆算出的长细比.572、缀板式组合压杆 P取刚架为计算简图变形状态作为一根杆件产生整体变形:作为一刚架在结间由Q产生MQ造成的局部变形:Q/2Q/2Q/2Q/2d/2d/2d582肢l组合压杆的计算长度如缀板刚度比柱肢刚度大很多,2肢l2肢l2肢l2肢l59注意注意:1、组合压杆的临界荷载等于实体压杆临界荷载乘、组合压杆的临界荷载等于实体压杆临界荷载乘 以折减系数：以折减系数：122221224

31、1- - + + += =板板肢肢EIbdEIdlEIkp p12212221cossin21- - + + += =q qq qq qp ptgAAAAlbk肢肢肢肢缀条式组合压杆缀条式组合压杆缀条式组合压杆缀条式组合压杆2、以上结果都是近似的，但实践表明，当节间数、以上结果都是近似的，但实践表明，当节间数 较多时（不少于较多时（不少于 6个个 ），上述的近似解法能给出），上述的近似解法能给出 相当满意的结果。相当满意的结果。60q0q0+ffACB圆环圆拱在径向均布荷载作用下抛物线拱在竖向均布荷载作用下悬 链 线 拱 在 填 土 荷 载作用下当荷载较小时都处于中心受压当荷载达到临界荷载时都

32、突然 在轴线平面内偏离原位失稳。AB fCq11.7 11.7 圆环圆拱的稳定圆环圆拱的稳定611、圆弧曲杆的弯曲平衡微分方程曲率的改变与弯矩之间的关系：dsR+dR因忽略轴向变形dsRABdsRABuu+dudsRABvv+dv求A截面转角Rudsdv圆弧拱轴弯曲平衡微分方程:因忽略轴向变形，所以：截面转角沿轴向的变化率汲取率的改变622、屈曲后截面弯矩qRN0N0MMM M失稳前，拱内弯矩剪力都是零，只有轴力。径向平衡：在新的平衡位置，任一截面弯矩可分解为两部分：两铰拱径向荷载引起的截面弯矩；拱脚反力矩引起的截面弯矩。qRqvKKqN0VAHAN0与截面以左所有外力平衡，所以截面以左所有外力对K取矩等于N0对点K取矩。002M/l2M/lx l/2 l/263对给定的值求得满足特征方程得最小值后，即可得无铰拱的临界荷载qR特征方程无铰拱的临界荷载（对应反对称的变形形式）64两铰拱的临界荷载（对应反 对称的变形形式）qR或根据M为的奇函数的条件得:65根据M为的偶函数的条件得:qR三铰拱的临界荷载（对应正 对称的变形形式） l/2 l/2f为了应用上的方便，利用 将各种等截面圆拱受均匀静水压力作用时的最小临界荷载写成如下形式 K1与拱的高垮比有关的临界荷载系数66