伯德图分析稳定性及幅值和相角裕度

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1、 线性控制系统工程 第16章 伯德图分析，稳定性， 及幅值和相角裕度 (g c) 第第16章章 伯德伯德图分析分析,稳定性定性 及幅及幅值和相角裕度和相角裕度u伯德图中的增益裕度和相角裕度g c(g c)M ( pc)改变增益的作用是使幅值曲线上下平移，而相角曲线不变。如果 那么条件稳定考虑下面的例子： 转折频率为 奈奎斯特稳定性判据：当相角为-180o时，如果系统幅值小于或等于1，那么这个系统是稳定的。 在伯德图中， 单位幅值对应于 MdB=0。 例子中: 相位为-180时， 幅值约为 18dB ，因此系统是稳定的。 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270

2、图16.1 例子系统的伯德图0相位穿越点增益穿越点 增加K 将使幅值曲线向上平移动，从而使幅值穿越点向右移。但是相角穿越点保持不变。 系统最终处在临界不稳定点上。 计算临界不稳定时系统的幅值。 90180270K1K2K cK31K1K2K3KcReI mRe图.16.2 具有变化K的系统伯德图、奈奎斯特图和根轨迹I mK3KcK2K1 在相位-180时， K dB 幅值约为 18dB， 如果系统不稳定： 这个结果接近于先前分析的结果K=0.832. 误差是由伯德图的相角曲线用直线近似引起的。 l伯德图中的增益裕度 增益裕度 (用分贝表示)为 Kc 的分贝值与增益K的分贝值之差。 伯德图中的增

3、益裕度和相角裕度伯德图中的相位裕度：- 相位裕度是使相角曲线向下移动 直到增益和相角穿越点发生在同一频率时的纯相角滞后量 。 - 在图中 l 在伯德图中获得增益裕度和相位裕度: 增益裕度是通过相角穿越频率得出的。 它是该频率处的幅值分贝值与0dB线之间的差值(用分贝表示) 。 相角裕度是通过增益穿越频率得出的， 它是此频率处的相角与-180o线之间的差值。0db图.16.3 增益裕度和相位裕度GMPMl一般开环传递函数 当 趋于 0 时 系统的型和从伯德图得到稳态误差l0型系统 图.16.4 0型系统的伯德图l1型系统 幅值增益 如果k=1 ，那么当 = 1 时，图形经过Mdb= 0dB线。-

4、20db/decade图.16.5 1型系统的伯德图 Kv的值可以通过测量在 =1处的增益来获得。如果其他环节在频率 =1之前作用于对数幅频特性， 那么应该用低频渐近线的延长线求出。-20db/decade 图.16.6 1 型系统的另一种伯德图l2型系统 如果 ka=1。对数幅频特性在当 =1时，其低频段或它的延长线会以40db/decade 的斜率穿过 零分贝线 。 Ka 的值可以通过测量 = 1 处的增益值来获得。-40db/decade图.16.7 2 型系统的伯德图l相角裕度是确定系统稳定性的唯一可靠的参数。l无频率穿越点：- 考虑下面的例子 - 相角绝不会穿过 -180 线。 但是

5、相位裕度可以从增益穿越点 PM=45处获得， 系统是稳定的。进一步讨论增益裕度和相位裕度 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270 图16.8 无相位穿越点的伯德图0K=1MATLAB 仿真 用根轨迹来验证： ReI m-10-1图.16.9 系统的根轨迹图l 多个频率穿越点： 考虑下面的例子 增益穿越频率在=1处, 相角裕度为-45, 可判断出系统是不稳定的。这里有两个相位穿越频率，分别为=3 和=300。在每个频率处增益裕度是正的， 表明系统是稳定的系统。 但相位裕度判断系统的确是不稳定的。 0.01 0.1 1.0 10 40 0-40-80-90-18

6、0-270图16.10 具有两个相位穿越点的系统0GM1=K (db)K=1GM2=K(db)-20-40-40-60PMMATLAB 仿真 用根轨迹来验证： 在kk1时， 系统是不稳定的； 在 k1kk2时， 系统再次不稳定。 图.16.11 系统的根轨迹图-1-10-100-1000ReI mK=K2K=K13 polesK=1l单一频率穿越点: 增加相位考虑下面的例子相位裕度是负的，表明系统是不稳定的。增益裕度是正的，表明系统是稳定的。 考虑相位裕度，系统是稳定的。 0.1 1 10 10040 0-40-40-90-180-270 图16.12 具有单一渐增相位穿越点的系统的伯德图0-

7、40-60PMGM=K1(db)MATLAB 仿真从根轨迹得到证实， 系统是条件稳定的。 当kk1时， 系统是不稳定的。 3 poles2 zeroes-2K=K1K=1ReI m图.16.13 系统的根轨迹图l通过伯德图判断稳定性的可靠方法是:l- 如果系统有正的相角裕度，那么系统是稳定的。l- 相角裕度是由伯德图判定系统稳定性的唯一可靠的方法。 改进的奈奎斯特判据： 根据沿着频率增加方向的频率特性，观察临界点是在其左边还是右边通过，是由极坐标图判断稳定性的唯一可靠的方法。 当 k k1时， 系统是稳定的 -1ReI m 图.16.14 稳定系统的奈奎斯特图l问题: 如图所示的系统， 画出当

8、K=45时的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 计算使系统稳定的最大K值， 并用劳斯阵列验证其结果。例题 K-+RC图l解:开环传递函数： 转折频率发生在=2 和=3处， 将会在以下的频率范围画出伯德图： 0.1 1 10 10020 0-20-40-90-180-270 图0PMGMMATLAB 仿真获得最大值 Kmax=NK用劳斯阵列来验证结果： 特征方程为 误差与增益裕度的精确性有关121l问题: 一个单位反馈控制系统，其开环传递函数为：l 画出当 时系统的伯德图， 并确定增益裕度和相位裕度。 使系统的相位裕度约为 60的K为何值?l解: 例题 转折频率: =1( 两次), =5 (零), n=2 (二阶系统的转折频率). 将在以下频率范围内画出伯德图： 画出每一个环节的增益和相位曲线 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-90-180-270图0 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40-180-360图0PM=60GM=3db3db 二阶环节频率比=/ n频率比=/ n 增益裕度为 3 dB，相位裕度约为35。 为了给系统提供一个 60的相位裕度，幅值曲线需要下平移约3dB作业：P339 16.1 a.P339 16.3 e.