《计算固体力学 第2章 一维Lagrangian和Eulerian有限元》由会员分享，可在线阅读，更多相关《计算固体力学 第2章 一维Lagrangian和Eulerian有限元（70页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、TSINGHUA UNIVERSITY计算固体力学计算固体力学第第2 2章章 LagrangianLagrangian和和EulerianEulerian有限元有限元TSINGHUA UNIVERSITY第第2章章 一维一维Lagrangian和和Eulerian有限元有限元 1 1引言引言2 2完全的完全的LagrangianLagrangian格式的控制方程格式的控制方程, , 弱形式弱形式3 3有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵4 4更新的更新的LagrangianLagrangian格式的控制方程格式的控制方程, , 弱形式，单元方程弱形式，单元方程5 5求解方法求解
2、方法6 6EulerianEulerian格式的控制方程，弱形式格式的控制方程，弱形式, , 有限元方程有限元方程TSINGHUA UNIVERSITY1 1 引言引言 TSINGHUA UNIVERSITY1 1 引言引言 非线性连续体一维模型（杆）的有限元方程非线性连续体一维模型（杆）的有限元方程在在固固体体力力学学中中，LagrangianLagrangian网网格格是是最最普普遍遍应应用用的的，其其吸吸引引力力在在于于它它们们能能够够很很容容易易地地处处理理复复杂杂的的边边界界条条件件，并并且且能能够够跟跟踪踪材材料点，因此能够精确地描述依赖于历史的材料。料点，因此能够精确地描述依赖于
3、历史的材料。在在LagrangianLagrangian有限元的发展中，一般采用两种方法：有限元的发展中，一般采用两种方法：1.1.以以LagrangianLagrangian度度量量的的形形式式表表述述应应力力和和应应变变的的公公式式，导导数数和和积积分分运运算算采采用用相相应应的的LagrangianLagrangian（材材料料）坐坐标标X X，称称为为完完全全的的LagrangianLagrangian格式格式（TLTL）。）。2. 2. 以以EulerianEulerian度度量量的的形形式式表表述述应应力力和和应应变变的的公公式式，导导数数和和积积分分运运算算采采用用相相应应的的E
4、ulerianEulerian（空空间间）坐坐标标x x，称称为为更更新新的的LagrangianLagrangian格式格式（ULUL）。）。非非线线性性与与线线性性公公式式的的主主要要区区别别是是前前者者需需要要定定义义积积分分赋赋值值的的坐坐标标系和确定选择应力和应变的度量。系和确定选择应力和应变的度量。TSINGHUA UNIVERSITY两种格式的主要区别在于：两种格式的主要区别在于：TL TL ，在初始构形上描述变量，在初始构形上描述变量，ULUL，在当前构形上描述变量。，在当前构形上描述变量。不同的应力和变形度量分别应用在这两种格式中。不同的应力和变形度量分别应用在这两种格式中。
5、TLTL，习惯于采用一个应变的完全度量，习惯于采用一个应变的完全度量，ULUL，常常采用应变的率度量。，常常采用应变的率度量。这些并不是格式的固有特点，在这些并不是格式的固有特点，在ULUL中采用应变的完全度量中采用应变的完全度量是可能的，并且在是可能的，并且在TLTL中可以采用应变的率度量。中可以采用应变的率度量。尽管尽管TLTL和和ULUL表面看来有很大区别，两种格式的力学本质表面看来有很大区别，两种格式的力学本质是相同的；因此，是相同的；因此，TLTL可以转换为可以转换为ULUL，反之亦然。，反之亦然。1 1 引言引言 TSINGHUA UNIVERSITY 对对于于每每一一种种公公式式
6、，将将建建立立动动量量方方程程的的弱弱形形式式，已已知知为为虚虚功功原原理理（或或虚虚功功）。这这种种弱弱形形式式是是通通过过对对变变分分项项与与动动量量方方程程的的乘乘积积进进行行积积分分来来建建立立。在在TLTL格格式式中中，积积分分在在所所有有材材料料坐坐标标上上进进行行；在在EulerianEulerian和和ULUL格格式式中中，积积分分在在空空间间坐坐标标上上进进行行。也也将将说说明明如如何何处处理理力力边边界界条条件件，因因此此近近似似（试试）解解不不需需要要满满足足力力边边界界条条件件。这这个个过过程程与与在在线线性性有有限限元元分分析析中中的的过过程程是是一一致致的的，在在非
7、非线线性性公公式式中中的的主主要要区区别别是是需需要要定定义义积积分分赋赋值值的的坐坐标系和确定选择应力和应变的度量标系和确定选择应力和应变的度量。 1 1 引言引言 推推导导有有限限元元近近似似计计算算的的离离散散方方程程。对对于于考考虑虑加加速速度度（动动力力学学）或或那那些些包包含含率率相相关关材材料料的的问问题题，推推导导离离散散有有限限元元方方程程为为普普通通微微分分方方程程（ODEsODEs）。这这个个空空间间的的离离散散过过程程称称为为半半离离散散化化，因因为为有有限限元元仅仅将将空空间间微微分分运运算算转转化化为为离离散散形形式式，而而没没有有对对时时间间导导数数进进行行离离散
8、散。对对于于静静力力学学与与率率无无关关材材料料问问题题，离离散散方方程程独独立立于于时间，有限元离散将导致一组非线性代数方程。时间，有限元离散将导致一组非线性代数方程。TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY2.2 TL的控制方程的控制方程初始构形初始构形参考构形参考构形当前构形当前构形变形构形变形构形2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY物体的运动由物体的运动由Lagrangian坐标和时间的函数描述坐标和时间的函数描述
9、是在初始域与当是在初始域与当前域之间的映射前域之间的映射 当材料坐标在初始位置当材料坐标在初始位置 2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式位移差位移差 或者或者 变形梯度变形梯度 偏微分的意义？偏微分的意义？ TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式定定义Jacobian：作作为变形物体的无限小体形物体的无限小体积相相对于于变形前物体微段体形前物体微段体积的比的比值 应变的度量应变的度量 在变形前构形中上式为零，它等效于工程应变在变形前构形中上式为零，它等效于工程应变 应力的度量应力的度量 Cauc
10、hy 应力应力 名义应力名义应力 在多维上没有工程应力的定义。在多维上没有工程应力的定义。 工程应力工程应力 物理应力物理应力 初始值初始值，J01TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式推导方程推导方程 应用下面方程推导非线性杆：应用下面方程推导非线性杆： 1. 1. 质量守恒质量守恒 2. 2. 动量守恒动量守恒 3. 3. 能量守恒能量守恒 4. 4. 变形度量，也常称为应变变形度量，也常称为应变- -位移方程位移方程 5. 5. 本构方程，描述材料应力与变形度量的关系本构方程，描述材料应力与变形度量的关系 另外，要求变形
11、保持连续性，称为协调性要求。另外，要求变形保持连续性，称为协调性要求。TSINGHUA UNIVERSITY质量守恒质量守恒 2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式对于对于Lagrangian格式，质量守恒方程为格式，质量守恒方程为 对于一维杆对于一维杆动量守恒动量守恒 由名义应力由名义应力P P 和和LagrangianLagrangian坐标给出坐标给出( (单位长度的力单位长度的力) ) 如果初始横截面面积在空间保持常数，则动量方程成为如果初始横截面面积在空间保持常数，则动量方程成为 应力在坐力在坐标方向的分量方向的分量 b单位位质量的力体力量的力体力 TS
12、INGHUA UNIVERSITY平衡方程平衡方程 2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式平衡意味着物体处于静止或者以匀速运动平衡意味着物体处于静止或者以匀速运动 能量守恒能量守恒 内部功率由内部功率由变形率的梯度形率的梯度和名和名义应力力P 的乘的乘积给出出 本构方程本构方程 不计惯性力，则动量方程成为平衡方程不计惯性力，则动量方程成为平衡方程 etc. 表示影响应力的其他变量表示影响应力的其他变量，如温度，夹杂等，如温度，夹杂等。 是变形历史的函数是变形历史的函数。 完全形式完全形式 率形式率形式 TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的La
13、grangianLagrangian格式格式本构方程的例子本构方程的例子 1) 线弹性材料线弹性材料 完全形式完全形式 率形式率形式 2) 线性粘弹性材料线性粘弹性材料 etc. 表示影响应力的其他变量表示影响应力的其他变量，如温度，夹杂等，如温度，夹杂等。 是变形历史的函数是变形历史的函数。 完全形式完全形式 率形式率形式 TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式边界条件边界条件 位移边界位移边界 力边界力边界 n0 单位法线（单位法线（,） 一端固定一端自由杆一端固定一端自由杆 边界条件满足边界条件满足 初始条件初始条件 动
14、量方程是关于动量方程是关于X X 二阶的（偏微分方程）。因此在每二阶的（偏微分方程）。因此在每一端，必须描述一端，必须描述u u 或者或者作为边界条件。作为边界条件。TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式内部连续条件内部连续条件 跳跃条件跳跃条件 函数的连续性函数的连续性 如果函数的第如果函数的第n 阶导数是数是连续函数，函数，该函数函数为连续函数是函数是连续可可导的（它的一的（它的一阶导数存在并且数存在并且处处连续） 在函数中，在函数中，导数只是分段可数只是分段可导，一，一维函数不函数不连续发生在点上，生在点上，二二维函数不
15、函数不连续发生在生在线段上，三段上，三维函数不函数不连续发生在面上。生在面上。 函数本身不函数本身不连续，xi是不是不连续点点。动量平衡要求动量平衡要求 TSINGHUA UNIVERSITY关于泛函和变分的概念关于泛函和变分的概念变变 量量函函 数数函函 数数泛泛 函函 泛泛 函函函数函数的的函数函数（functional, function of function)当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理当虚位移是真实位移的增量时，虚位移原理 WWe e V V 中中中中的的的的 V V 就就就就是是是是泛泛函函V
16、V 的的的的变变变变分分分分。微分是函数的增量，变分是泛函的增量。微分是函数的增量，变分是泛函的增量。微分是函数的增量，变分是泛函的增量。微分是函数的增量，变分是泛函的增量。w(x) 是是 x 函数函数V(w(x) ) 是是 w(x) 的的泛函泛函TSINGHUA UNIVERSITY 自自然然变变分分原原理理是是对对物物理理问问题题的的微微分分方方程程和和边边界界条条件件建建立立对对应应的的泛泛函函，使使泛泛函函取取驻驻值值得得到到问问题题的的解解答，但是其未知场函数需要满足一定的附加条件。答，但是其未知场函数需要满足一定的附加条件。 广广义义变变分分原原理理（或或称称约约束束变变分分方方程
17、程）不不需需要要事事先先满满足足附附加加条条件件，采采用用LagrangeLagrange乘乘子子法法和和罚罚函函数数法法将将附附加加条条件件引引入入泛泛函函，重重新新构构造造一一个个修修正正泛泛函函，将将问问题题转转化化为为求求修修正正泛泛函函的的驻驻值值。称称为为无无附附加加条条件件的的变分原理。变分原理。 对对于于罚罚函函数数方方法法，将将罚罚参参数数取取正正值值，对对修修正正泛泛函函得得到到的的近近似似解解只只是是近近似似地地满满足足附附加加条条件件，罚罚参参数数值值越越大大，附附加加条条件件的的满满足足程程度度就就越越好好。而而在在实实际际计计算算中中，罚罚函函数数只只能能取取有有限
18、限值值，所所以以利利用用罚罚函函数数求求解解只能得到近似解。只能得到近似解。2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY 有限元方法不能直接离散动量方程。为了离散这有限元方法不能直接离散动量方程。为了离散这个方程，需要一种个方程，需要一种弱形式弱形式，称为变分形式，即虚功原，称为变分形式，即虚功原理或者虚功率，通过对变分项与动量方程的乘积进行理或者虚功率，通过对变分项与动量方程的乘积进行积分来建立的。积分来建立的。 虚功原理或者弱形式是等价于动量方程和力边界虚功原理或者弱形式是等价于动量方程和力边界条件的。后者称为经典条件的。后者称
19、为经典强形式强形式。2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式2.3 TL2.3 TL的弱形式的弱形式强形式到弱形式强形式到弱形式弱形式到强形式弱形式到强形式TSINGHUA UNIVERSITY 对于动量方程和力边界条件对于动量方程和力边界条件, , 现在建立弱形式，要求：现在建立弱形式，要求：满足所有位移边界条件并足够平滑，因此确切定义了动量方满足所有位移边界条件并足够平滑，因此确切定义了动量方程中的所有导数。程中的所有导数。也假设足够光滑，这样确切定义了所有的后续步骤，并在指定也假设足够光滑，这样确切定义了所有的后续步骤，并在指定的位移边界条件上为零。的位移边界
20、条件上为零。 这是标准和经典的建立弱形式的方法。尽管它所导致的连这是标准和经典的建立弱形式的方法。尽管它所导致的连续性要求比在有限元近似中更加严格，在我们看到以较少的强续性要求比在有限元近似中更加严格，在我们看到以较少的强制连续性要求所得到的结论之前，我们仍继续采用这种方法。制连续性要求所得到的结论之前，我们仍继续采用这种方法。2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式试函数试函数变分项变分项强形式到弱形式强形式到弱形式TSINGHUA UNIVERSITY取动量方程与变分项的乘积并在全域内积分得到弱形式，给出取动量方程与变分项的乘积并在全域内积分得到弱形式，给出 2
21、 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式强形式到弱形式强形式到弱形式名义应力名义应力P P 是一个试位移函数。展开第一项乘积的导数，整理得到是一个试位移函数。展开第一项乘积的导数，整理得到分布积分分布积分在指定位移在指定位移边界界处变分分项消失，第二行服从消失，第二行服从边界互界互补条件条件和力和力边界条件。界条件。给出完全的给出完全的LagrangianLagrangian格式的动量方程和力边界条件的格式的动量方程和力边界条件的弱形式弱形式 TSINGHUA UNIVERSITY弱形式到强形式弱形式到强形式2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian
22、格式格式弱形式给出弱形式给出 由虚位移的任意性，试证明得到由虚位移的任意性，试证明得到强形式强形式 (参考4.3.2节)：动量方程动量方程力边界条件力边界条件内部连续条件内部连续条件TSINGHUA UNIVERSITY 可可以以看看出出，如如果果允允许许较较低低平平滑滑的的变变分分项项和和试试函函数数，在在强强形形式式中中将将附附加加一一个个方方程程内内部部连连续续条条件件。如如果果选选取取的的变变分分项项和和试试函函数数满满足足经经典典的的平平滑滑条条件件，在在强强形形式式中中则则没没有有内内部部连连续续条条件件。对对于于平滑的变分项和试函数，弱形式仅采用动量方程和力边界条件。平滑的变分项
23、和试函数，弱形式仅采用动量方程和力边界条件。 较低平滑性要求的变分项和试函数仅是较低平滑性要求的变分项和试函数仅是 连续，需要处连续，需要处理理在在横横截截面面上上和和材材料料参参数数中中的的不不连连续续点点。在在材材料料界界面面，经经典典强强形形式式是是不不适适用用的的，因因为为它它假假设设任任何何点点的的二二阶阶导导数数是是唯唯一一定定义义的的。然然而而，在在材材料料界界面面处处，应应变变，即即位位移移场场的的导导数数是是不不连连续续的的。采采用用粗粗糙糙的的变变分分项项和和试试函函数数，在在这这些些界界面面上上自自然然出出现现附附加加条条件件内内部部连连续条件。续条件。 在在TLTL弱弱
24、形形式式中中，所所有有的的积积分分都都是是在在材材料料域域上上进进行行，比比如如参参考考构构形形。由由于于求求导导是是对对材材料料坐坐标标X进进行行，所所以以在在材材料料域域上上应应用用分分部部积分是最方便的。积分是最方便的。2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY2 2 完全的完全的LagrangianLagrangian格式格式虚功项的物理名称虚功项的物理名称 外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功惯性虚功惯性虚功虚功原理虚功原理 方程是动量方程、力边界条件和应力跳跃条件的弱形式。方程是动量方程、力边界条件和应力跳跃条件的弱形式。
25、TSINGHUA UNIVERSITY 弱弱形形式式中中包包含含强强形形式式，并并且且强强形形式式中中包包含含弱弱形形式式，所所以以弱弱和和强强形形式是等价的。对于动量方程，强和弱形式的这种等价称为虚功原理。式是等价的。对于动量方程，强和弱形式的这种等价称为虚功原理。2 完全的完全的Lagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY 以弱形式作为虚功表达式的观点提供了统一性，对于在不同以弱形式作为虚功表达式的观点提供了统一性，对于在不同坐标系上和不同类型问题中建立弱形式是很有用途的：为了获得坐标系上和不同类型问题中建立弱形式是很有用途的：为了获得弱形式，只需要写出弱形式，只需要
26、写出虚能量方程虚能量方程。因此，可以避免前面所做的由。因此，可以避免前面所做的由变分项与方程相乘并进行各种处理的过程。变分项与方程相乘并进行各种处理的过程。 从数学观点来看，没有必要考虑变分函数作为虚位移：它们从数学观点来看，没有必要考虑变分函数作为虚位移：它们是简单的变分函数，满足连续条件和在位移边界上为零。对于有是简单的变分函数，满足连续条件和在位移边界上为零。对于有限元方程的离散，方程与变分函数的乘积没有物理意义。限元方程的离散，方程与变分函数的乘积没有物理意义。 建立弱形式中的关键步骤是分部积分，从而消除了关于应力建立弱形式中的关键步骤是分部积分，从而消除了关于应力P P 的导数。如果
27、没有这一步，力边界条件就不得不强加在试函数的导数。如果没有这一步，力边界条件就不得不强加在试函数上。作为弱形式，由分部积分和降低对应力和试位移平滑性的要上。作为弱形式，由分部积分和降低对应力和试位移平滑性的要求是更方便的。求是更方便的。2 完全的完全的Lagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY3.1 TL3.1 TL的有限元离散的有限元离散有限元近似有限元近似 通过对变分项和试函数应用有限元插值，通过对变分项和试函数应用有限元插值，由虚功原理得到有限元模型的离散方程。由虚功
28、原理得到有限元模型的离散方程。 有限元试函数有限元试函数 是是连续插值函数，称为形函数。连续插值函数，称为形函数。形函数满足条件：形函数满足条件：是是Kronecker delta或或单位矩位矩阵：当I=J时；当I J时；运运动动学学条条件件，试试函函数数u要要满满足足连连续续性性和和基基本本边边界界条条件件。方方程程表表示示变变量量分分离：解的空间相关性由形函数表示，而时间相关性归属于节点变量离：解的空间相关性由形函数表示，而时间相关性归属于节点变量。3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY节点力节点力 3 3 有限元离散，有限元离散
29、，单元和总体矩阵单元和总体矩阵为了建立有限元方程，要为每一个虚功项定义节点力为了建立有限元方程，要为每一个虚功项定义节点力 外力虚功外力虚功内力虚功内力虚功惯性虚功惯性虚功 这这些些名名称称给给节节点点力力赋赋予予了了物物理理意意义义：内内部部节节点点力力对对应应于于在在材材料料内内部部的的应应力力，外外部部节节点点力力对对应应于于外外部部施施加加的的荷荷载载，而而动动态态或或惯惯性性节节点点力力对对应应于于惯惯性性。节节点点力力与与节节点点位位移移是是功功共共轭轭的的，一一个个节节点点位位移移的的增增量量与与节节点点力力的的标标量量积积给给出出功功的的增增量量，一一旦旦违违背背，质质量量和和
30、刚度矩阵的对称性将被破坏。刚度矩阵的对称性将被破坏。TSINGHUA UNIVERSITY节点力节点力 内部节点力内部节点力是由固体对变形的阻力而引起的节点力；是由固体对变形的阻力而引起的节点力； 外部节点力外部节点力 惯性节点力惯性节点力 3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵每一个虚功项节点力表达式每一个虚功项节点力表达式代入虚功原理代入虚功原理给出给出由于由于 的任意性，在所有节点除了位移边界外，即节点的任意性，在所有节点除了位移边界外，即节点1 1，它服从，它服从 TSINGHUA UNIVERSITY运动方程半离散方程运动方程半离散方程 3 3 有限元离散，有限
31、元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵 在在模模型型中中，节节点点1 1的的加加速速度度并并不不是是未未知知的的，它它是是一一个个给给定定位位移移的的节节点点。可可以以通通过过给给定定节节点点位位移移对对时时间间求求二二次次导导数数，得得到到给给定定位位移移节节点点的的加加速速度度。这这个个给给定定的的位位移移必必须须足足够够光光滑滑，可可求求导二次；这要求它是时间的导二次；这要求它是时间的C1函数函数( (细长梁模型）。细长梁模型）。 当当质质量量矩矩阵阵不不是是对对角角阵阵时时，给给定定位位移移对对没没有有在在边边界界的的节节点点也作出贡献。对于对角质量阵的情况，不出现下式右端项。也作出贡献
32、。对于对角质量阵的情况，不出现下式右端项。 MIJJ处位移对处位移对I处惯性力贡献的质量。处惯性力贡献的质量。 在在矩矩阵阵形形式式中中，不不能能简简单单地地表表示示给给定定位位移移边边界界条条件件，所所以以必须考虑指标形式必须考虑指标形式( (上式上式) )以补充。以补充。 TSINGHUA UNIVERSITY运动方程半离散方程运动方程半离散方程(矩阵形式矩阵形式) 运运动动方方程程在在空空间间是是离离散散的的，在在时时间间上上是是连连续续的的，有有时时简简称称离离散散方方程程。在在有有限限元元离离散散中中，质质量量矩矩阵阵常常常常为为非非对对角角阵阵( (一一致致质质量量矩矩阵阵) )，
33、运运动动方方程程区区别别于于牛牛顿顿第第二二定定律律，当当MIJ0时时，节节点点I处处的的力力可可以以在在节节点点J处处产产生生加加速速度度。而而集集中中质量矩阵质量矩阵的运动方程等价于牛顿第二定律。的运动方程等价于牛顿第二定律。3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵为为在在质质点点I I上上的的净净力力。由由牛牛顿顿第第三三定定律律，作作用用在在节节点点上上的的力力大小相等，而方向相反，因此内部节点力需要一个负号。大小相等，而方向相反，因此内部节点力需要一个负号。 TSINGHUA UNIVERSITY单元和总体矩阵单元和总体矩阵 在有限元程序中，通常以一个单元水平计算
34、节在有限元程序中，通常以一个单元水平计算节点力和质量矩阵，将单元节点力结合入总体矩阵，点力和质量矩阵，将单元节点力结合入总体矩阵，称为称为离散离散或或矢量矢量组合。组合。 组合单元的质量矩阵和其它方阵到总体矩阵，组合单元的质量矩阵和其它方阵到总体矩阵，称为矩阵称为矩阵装配装配。 通过计算可以从总体矩阵中提取单元节点位移，通过计算可以从总体矩阵中提取单元节点位移，称为称为集合集合。 3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY 2 2节节点点单单元元一一维维网网格格的的集集合合和和离离散散运运算算的的描描述述，两两组组单单元元节节点点位位移移
35、的的集集合合：位位移移根根据据单单元元节节点点编编号号集集合合；计计算算节节点点力力的的离散：节点力根据节点编号返回总体力矩阵。离散：节点力根据节点编号返回总体力矩阵。3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY 2 2节点单元一维网格的单元形函数节点单元一维网格的单元形函数Ne(X)和总体形函数和总体形函数N(X)3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵单元节点位移与总体节点位移的关系为单元节点位移与总体节点位移的关系为 Le为连接矩阵。类似的获得单元节点力。为连接矩阵。类似的获得单元节点力。 应应用用连连接接矩矩阵阵
36、还还可可以以建建立立单单元元形形函函数数和和总总体体形形函函数数之之间间的的关系，总体位移场可以由所有单元的位移求和得到：关系，总体位移场可以由所有单元的位移求和得到：对单元形函数求和得到总体形函数对单元形函数求和得到总体形函数 TSINGHUA UNIVERSITY3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY例题例题 3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY3 3 有限元离散，有限元离
37、散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY3 3 有限元离散，有限元离散，单元和总体矩阵单元和总体矩阵TSINGHUA UNIVERSITY4 更新的更新的Lagrangian格式格式TSINGHUA UNIVERSITY4.1 UL的控制方程的控制方程初始构形初始构形参考构形参考构形当前构形当前构形变形构形变形构形4 4 更新的更新的LagrangianLagrangian格式格式的控制方程的控制方程, , 弱形式，单元方程弱形式，单元方程TSINGHUA UNIVERSITY4 4 更新的更新的LagrangianLagrangian格式格式的控制方程的控制方程
38、, , 弱形式，单元方程弱形式，单元方程 ULUL格格式式是是TLTL格格式式的的一一个个简简单单转转换换。在在数数值值上上，离离散散方方程程是是相相同同的的，而而实实际际在在同同一一程程序序中中，对对某某些些节节点点力力我我们可以应用们可以应用TLTL格式，而对其它的节点力应用格式，而对其它的节点力应用ULUL格式。格式。 为什么采用两种方法，而它们基本上是一致的。为什么采用两种方法，而它们基本上是一致的。4.1 UL的控制方程的控制方程 主主要要原原因因是是它它们们都都在在被被广广泛泛地地应应用用，因因此此，为为了了理理解程序和文献，有必要熟悉两种格式。解程序和文献，有必要熟悉两种格式。
39、TSINGHUA UNIVERSITY应变的度量由变形率给出应变的度量由变形率给出 应力的度量应力的度量 Cauchy 应力应力 4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.1 UL的控制方程的控制方程以以Eulerian坐标表述相关变量，空间坐标坐标表述相关变量，空间坐标速度应变速度应变 UL格式的两个相关变量速度和格式的两个相关变量速度和Cauchy应力应力 TSINGHUA UNIVERSITY质量守恒质量守恒 对于杆对于杆 动量守恒动量守恒 4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程能量守恒能量守恒 热流量流量热源源本构方程
40、本构方程 变形度量变形度量 4.1 UL的控制方程的控制方程TSINGHUA UNIVERSITY边界条件边界条件 速度边界等价位移边界速度边界等价位移边界 力边界力边界 n 单位法线（单位法线（,） 一端固定一端自由杆一端固定一端自由杆 边界条件满足边界条件满足 初始条件初始条件 4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.1 UL的控制方程的控制方程TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.2 UL的弱形式的弱形式由动量方程乘以变分函数由动量方程乘以变分函数 弱形式虚功率原理弱形式虚功率
41、原理 强形式虚功率原理的逆过程：动量方程，强形式虚功率原理的逆过程：动量方程， 力边界条件力边界条件 内部连续条件内部连续条件 积分在当前域上完成积分在当前域上完成 TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.2 UL的弱形式的弱形式内部虚功率内部虚功率 外力虚功率外力虚功率 惯性力虚功率惯性力虚功率 弱形式弱形式 TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.3 UL的单元方程的单元方程 在在一一个个单单元元的的水水平平上上建建立立方方程程，通通过过装装配
42、配获获得得总总体体方方程程。相相关关变量为速度和应力。变量为速度和应力。 建建立立本本构构方方程程、质质量量守守恒恒方方程程，动动量量方方程程。由由于于质质量量守守恒恒是是一一个代数方程，可以容易地计算任意一点的密度。建立半离散方程。个代数方程，可以容易地计算任意一点的密度。建立半离散方程。单元的速度场为单元的速度场为 单元的加速度场为单元的加速度场为 将形函数表示成为材料坐标的函数是将形函数表示成为材料坐标的函数是非常关键非常关键的，它与时间无的，它与时间无关。如果将形函数由关。如果将形函数由EulerianEulerian坐标表示为坐标表示为形形函函数数的的材材料料时时间间导导数数不不为为
43、零零（注注意意与与TLTL区区别别），并并且且不不能能将将加加速度表示为同样形函数与节点加速度乘积的形式。速度表示为同样形函数与节点加速度乘积的形式。 TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.3 UL的单元方程的单元方程Eulerian坐标与单元坐标坐标与单元坐标 之间的映射为之间的映射为 TSINGHUA UNIVERSITY位移可以由相同的形函数进行插值位移可以由相同的形函数进行插值 4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.3 UL的单元方程的单元方程 形形函函数数与与时时间间无无
44、关关，通通过过位位移移的的导导数数得得到到速速度度和和加加速速度度，变分函数由同一形函数给出变分函数由同一形函数给出变形率可以表示为形函数的形式为变形率可以表示为形函数的形式为TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.3 UL的单元方程的单元方程通过一个通过一个B B矩阵，将变形率表示为节点速度的形式矩阵，将变形率表示为节点速度的形式变形率可以表示为形函数的形式为变形率可以表示为形函数的形式为形函数的空间导数由链规则得到形函数的空间导数由链规则得到 TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，
45、单元方程的控制方程，弱形式，单元方程4.3 UL的单元方程的单元方程 与与TLTL格格式式相相同同，在在ULUL格格式式中中，质质量量矩矩阵阵不不随随时时间间变化，在程序中仅计算一次即可。变化，在程序中仅计算一次即可。TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元以单元坐标的形式写出位移和速度场以单元坐标的形式写出位移和速度场 TSINGHUA UNIVERSITY以单元坐标的形式写出位移和速度场以单元坐标的形式写出位移和速度场 4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，
46、弱形式，单元方程例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元其中其中: : B B矩阵给出为矩阵给出为 变形率给出为变形率给出为 TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元如如果果 是是常常数数，单单元元中中的的变变形形率率是是线线性性地地变变化化，这这是是节节点点2 2位位于于其其它它两两节节点点中中间间时时的的一一种种情情况况。然然而而，当当由由于于单单元元的的畸畸变变，节节点点2 2偏偏离离中中间间位位置置时时， 变变成成为为 的的线线性性函函数数，而而变变形形率率变变成成
47、为为一一个个有有理理函函数数。而而当当节节点点2 2从从中中间间移移开开时时， 有有可可能能成成为为负负数数，或或为为零零，在在这这种种情情况况下，当前空间坐标和单元坐标的映射将不再一一对应。下，当前空间坐标和单元坐标的映射将不再一一对应。变形率变形率 TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元内部节点力内部节点力 其中其中 这个表达式与这个表达式与TLTL格式的内力表达式是相同的。格式的内力表达式是相同的。TSINGHUA UNIVERSITY4 UL格式格式的控制方程，弱形式，
48、单元方程的控制方程，弱形式，单元方程例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元 - 检查网格畸变检查网格畸变当单元的节点当单元的节点2 2是位于离节点是位于离节点1 1的的1/41/4单元长度时单元长度时 在在 有有 JacobianJacobian 在在该该点点处处的的当当前前密密度度为为无无穷穷大大。若若节节点点2 2移移动动并并接接近近节节点点1 1，在在部部分分单单元元上上JacobianJacobian成成为为负负数数，这这意意味味着着是是负负密密度度值值, ,违违背背了了质质量量守守恒恒。这这些些情情况况经经常常隐隐藏藏在在数数值值积积分分中中，因因为为在在高高斯斯积积分分点点
49、，当当JacobianJacobian成为负数时成为负数时, ,畸变是非常严重的。畸变是非常严重的。由由TSINGHUA UNIVERSITY 不能满足一一对应条件也可能导致变形率不能满足一一对应条件也可能导致变形率 出现奇异。出现奇异。当分母当分母 为零或成为负数，我们难以得到势能。为零或成为负数，我们难以得到势能。 例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元 - 检查网格畸变检查网格畸变4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程 在在节节点点1 1处处变变形形率率为为无无穷穷大大。在在断断裂裂力力学学中中，利利用用这这种种二二次次位位移移单单元元的的性性质
50、质建建立立包包含含裂裂纹纹尖尖端端奇奇异异应应力力的的单单元元，称称为为四四分分之之一点单元。但是在大位移分析中，这种行为会出现问题。一点单元。但是在大位移分析中，这种行为会出现问题。 在在一一维维单单元元中中，网网格格畸畸变变的的影影响响不不像像在在多多维维问问题题中中那那么么严严重重。事事实实上上，应应用用变变形形梯梯度度F F 作作为为这这种种单单元元的的变变形形度度量量多多少少可可以以减减轻轻网网格格畸畸变变的的影影响响。在在3 3节节点点单单元元中中，如如果果X X2 2 的的初初始始位位置置位位于于中中点点，那么变形梯度那么变形梯度F F 绝不会成为奇异。绝不会成为奇异。TSING
51、HUA UNIVERSITY例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元 - 检查网格畸变检查网格畸变4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程TSINGHUA UNIVERSITY例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元 - 检查网格畸变检查网格畸变4 UL格式格式的控制方程，弱形式，单元方程的控制方程，弱形式，单元方程3节点节点1/4点二次位移单元点二次位移单元 TSINGHUA UNIVERSITY例例2.5 3节点二次位移单元节点二次位移单元 - 检查网格畸变检查网格畸变TSINGHUA UNIVERSITY5 求解方法求解方法TSINGHUA U
52、NIVERSITY5 求解方法求解方法 为为了了求求解解非非线线性性问问题题，最最简简单单的的方方法法，即即时时间间显显式式积积分分。最最广广泛泛应用的显式方法是中心差分方法，采用对角或集中质量矩阵。应用的显式方法是中心差分方法，采用对角或集中质量矩阵。 速度速度 加速度加速度 在时间间隔中点的导数值由在间隔端点处函数值的差得到，顾名在时间间隔中点的导数值由在间隔端点处函数值的差得到，顾名思义为思义为中心差分公式。中心差分公式。 从从t t0 0出发，取时间步长出发，取时间步长tt TSINGHUA UNIVERSITY5 求解方法求解方法TSINGHUA UNIVERSITY5 求解方法求解
53、方法 对对于于位位移移的的更更新新不不需需要要代代数数方方程程的的任任何何解解答答，因因此此，在在某某种种意意义义上上，显显式式积积分分比比静静态态线线性性应应力力分分析析更更加加简简单单, ,不不需需要要矩矩阵阵求求逆逆解解刚刚度度方程。方程。 如如在在流流程程图图中中看看到到，对对于于控控制制方方程程和和时时间间积积分分公公式式，大大多多数数的的显显式式程程序序是是直直接接向向前前赋赋值值。程程序序从从施施加加初初始始条条件件开开始始, , 第第一一个个时时间间步步多多少少与与其其它它时时间间步步的的不不同同在在于于它它仅仅取取半半步步，这这使使程程序序能能正正确确地地解解释释关关于于应力
54、和速度的初始条件。应力和速度的初始条件。 大部分程序运算时间是在计算单元节点力，尤其是内部节点力。大部分程序运算时间是在计算单元节点力，尤其是内部节点力。节点力是逐个单元进行计算的。在开始计算前，从总体的列矩阵中集节点力是逐个单元进行计算的。在开始计算前，从总体的列矩阵中集合出单元节点速度和位移。如流程图所示，内部节点力的计算包括应合出单元节点速度和位移。如流程图所示，内部节点力的计算包括应变方程和本构方程的应用。通过应力为内部节点力赋值。当完成了单变方程和本构方程的应用。通过应力为内部节点力赋值。当完成了单元节点力的计算，根据它们的节点编号将其离散到总体列矩阵。元节点力的计算，根据它们的节点
55、编号将其离散到总体列矩阵。TSINGHUA UNIVERSITY5 求解方法求解方法稳稳定定性性准准则则 显显式式积积分分的的缺缺陷陷在在于于时时间间步步长长必必须须低低于于一一个个临临界界值值，否否则则由由于于数数值值不不稳稳定定将将使使解解答答隆隆起起。对对于于采采用用对对角角质质量量的的2 2节节点点单元的临界时间步长为单元的临界时间步长为是单元的是单元的初始初始长度长度 是波速是波速 稳定性准则稳定性准则 能量守恒能量守恒( (断裂力学中为能量平衡断裂力学中为能量平衡) )增加时间步长：放大质量，调整单元尺寸。增加时间步长：放大质量，调整单元尺寸。TSINGHUA UNIVERSITY
56、6 Eulerian格式格式的控制方程的控制方程TSINGHUA UNIVERSITY6 Eulerian格式格式的控制方程，弱形式，有限元方程的控制方程，弱形式，有限元方程 在在EulerianEulerian格式中，节点在空间固定，相关变量为格式中，节点在空间固定，相关变量为EulerianEulerian空间坐标空间坐标 x x 和时间和时间 t t 的函数，应力度量为的函数，应力度量为CauchyCauchy（物理的）应物理的）应力，变形度量为变形率，运动由速度描述。在力，变形度量为变形率，运动由速度描述。在EulerianEulerian格式中，格式中，因为不能建立未变形、初始的构形
57、，所以不能将运动因为不能建立未变形、初始的构形，所以不能将运动表示表示为参考为参考坐标的函数。坐标的函数。 TSINGHUA UNIVERSITY TLTL格格式式比比ULUL格格式式需需要要更更多多的的存存储储空空间间，以以存存储储形形函函数数及及其其导导数数值值；而而ULUL则则需需要要在在每每一一个个时时间间步步重重复复搜搜索索和和计计算算形形函函数数，也也会会影影响响计计算算效效率率。因因此此，在在实实际际问问题题中中应应有有所所选选择择，例例如如对对于于大大变变形形的的瞬瞬态态问问题题，或或者者路路径径无无关关材材料料，可可采采用用TLTL，而而与与变变形形历历史史有有关关的的路路径径相相关关材材料料，如如弹弹塑塑性性和和粘粘弹弹塑塑性性材材料料，则可采用则可采用ULUL。
