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1、作作业讲评机动目录上页下页返回结束8(2)求dz.解解:12机动目录上页下页返回结束精确值是V, 近似值是|dV|.用某种材料做一个开口长方体容器,其外形长5m,宽4m, 高3m,厚0.2m,求所需材料的近似值与精确值.解解: 设体积为V (m3), 长宽高各为x, y, z (m),注意注意: 正确使用各种正确使用各种记号号.机动目录上页下页返回结束取值, 1.求给定点和自变量增量的全微分时,先声明这些否则应用记号2.表示z对 的导数.就可以用dz等表示全微分. 第八章 第五节复合函数和隐函数微分法机动目录上页下页返回结束一. 复合函数微分法二. 隐函数微分法本本节的教学要求的教学要求熟练掌
2、握多元复合函数微分法多元复合函数微分法了解全微分形式不变性掌握多元多元隐函数微分法函数微分法重点重点机动目录上页下页返回结束难点点(一一)复合函数的微分法复合函数的微分法设是x,y的复合函数. 则这是函数和中间变量均是二元函数的一般情况,它的结构图或变量关系图是: 可看成是由机动目录上页下页返回结束如如函数复合而成.和注意注意: 画出函数结构图对于多元复合函数求导很有帮助.因变量自变量机动目录上页下页返回结束如果函数 且在对应于(x,y)的则复合函数 在点(x,y)对x及y的偏导数存在, 函数定理定理8.3 的偏偏导数数都存在存在,点(u,v)处,可微可微,且多元复合函数求导法则也称为链式法式
3、法则.特别地, 如果 这时, z对x 的导数称为全全导数数, 即 如果 的全导数为 则z就是x的一元函数 机动目录上页下页返回结束则函数例例1 求机动目录上页下页返回结束解解:而例例2 设的偏导数。 机动目录上页下页返回结束解解:求则可得例例3 求 机动目录上页下页返回结束解解:而课堂堂练习机动目录上页下页返回结束1. 解解:求2.机动目录上页下页返回结束求解解:例例4机动目录上页下页返回结束设其中具有二阶连续偏导数，求解解:注意注意: 认为抽象函数的偏导数的结构同原函数的结构.例例5 求机动目录上页下页返回结束解解:而其中 都具有连续的偏导数,这里,表示复合后对x的偏导数;表示复合前(v为“
4、常数”) 对x的偏导数.机动目录上页下页返回结束注意：注意：各阶偏导数时, 在求多元函数的偏导数， 特别是抽象函数的经常利用下面简便的记法：复合函数求导的链式法则“分段相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导”“理清结构, 找齐链路”例例6 设机动目录上页下页返回结束 为可微的函数,证:因所以求证：设例例7机动目录上页下页返回结束其中f 具有二阶连续偏解解: 注意到 仍是u, x, y的函数，所以 设导数, 求且例例8 求机动目录上页下页返回结束解解:设其中f 具有二阶连续偏导数,令机动目录上页下页返回结束.练习其中f 具有二阶连续偏导数,解解:机动目录上页下页返回结束作作业 P364 13(
5、3)(4); 14(2); 15(2)求作作业讲评机动目录上页下页返回结束5(3)求解解:（二）全微分形式的不（二）全微分形式的不变性性当u, v是x, y的可微函数 机动目录上页下页返回结束的全微分为 当u, v为自变量时, 其全微分 复合函数 由全微分定义和复合函数微分法可求得, 所以设可微,时,而这表明, 对于函数 机动目录上页下页返回结束还是自变量, 致性, 称为全微分形式不全微分形式不变性性. 无论u, v是中间变量这一形式上的一其全微分形式一样.利用全微分形式不变性可以通过求微分过程的细化先求出函数的全微分, 后求出函数的偏导数.例例9 设 利用全微分形式不变性, 解解:机动目录上
6、页下页返回结束由此可得求例例10 设 解解:机动目录上页下页返回结束求（三）（三）隐函数的微分法函数的微分法1) 在什么条件下才能确定隐函数 y = f (x) .2) 在能确定隐函数时, 函数y = f (x)的连续性、可微性及求导方法如何 .机动目录上页下页返回结束用多元复合函数微分法研究方程 例如, 方程当 C 0 时, 不能确定隐函数;一个方程所确定的一个方程所确定的隐函数及其函数及其导数数隐函数存在定理函数存在定理1则方程单值连续函数 y = f (x) ,并有连(隐函数求导公式)(证明略) 具有连续的偏导数;在点x0的某某邻域内域内可唯一确定一个在点的某一邻域内满足条件机动目录上页
7、下页返回结束续导数满足两边对 x 求导数在的某邻域内则机动目录上页下页返回结束求导公式推导如下：例例10 求方程 确定的函数解解:则机动目录上页下页返回结束的导数.利用隐函数求导公式也可利用隐函数求导法直接用复合函数求导法方程两边对x求导得 设两种方法不同, 前者F对x求偏导数时y是“常数”, 后者对x求导时y是x的复合函数.注意注意:隐函数存在定理函数存在定理2 若函数 的某邻域内具有连续偏偏导数数 ,则方程在点并有连续偏导数定一个单值连续函数 z = f (x , y) , (证明略)满足 在点满足:某一邻域内可唯一确机动目录上页下页返回结束两边对 x 求偏导数同样可得则机动目录上页下页返
8、回结束求导公式推导如下:在的某邻域内设是方程所确定的隐函数,例例11 求方程解解:机动目录上页下页返回结束的偏导数. 所确定的函数设则由可得注意注意: 虽然此例中方程确定两个不同的函数 但在其可导区域内, 导数相同.利用隐函数求导公式例例12 设解法解法1 利用隐函数求导法直接用复合函数求导法机动目录上页下页返回结束再对 x 求导解法解法2 利用隐函数求导公式设则两边对 x 求偏导数机动目录上页下页返回结束例例13 设F(x, y)具有连续偏导数,解解:确定的隐函数,则已知方程机动目录上页下页返回结束故解法解法1 利用隐函数求导公式.对方程两边求微分:解法解法2 利用微分形式不变性.机动目录上
9、页下页返回结束课堂堂练习机动目录上页下页返回结束求1.解解:设(一) 利用隐函数求导公式(二) 利用复合函数求导法(三) 利用微分形式不变性机动目录上页下页返回结束2.求解解:设(一) 利用隐函数求导公式(二) 利用复合函数求导法机动目录上页下页返回结束2.求解解: (三) 利用微分形式不变性机动目录上页下页返回结束3.有连续偏导数, 且解解:设函数由方程所确定, 求du.用微分形式不变性内容小内容小结机动目录上页下页返回结束1. 复合函数求导的链式法则“分段相乘, 分叉相加, 单路全导, 叉路偏导”例如例如,2. 全微分形式不变性不论 u , v 是自变量还是因变量,“理清结构, 找齐链路”
10、机动目录上页下页返回结束作作业 P365 16(1)(2)(5)(6); 17(1); 18(1) 3. 隐函数微分法隐函数求导方法方法1. 利用复合函数求导法直接直接计算 ;方法2. 利用微分微分形式不变性 ;方法3. 代隐函数求导公式公式隐函数存在定理方程方程组所确定的所确定的隐函数函数组及其及其导数数隐函数存在定理还可以推广到方程组的情形.由 F、G 的偏导数组成的行列式称为F、G 的雅可比雅可比( Jacobi )行列式.以两个方程确定两个隐函数的情况为例 , 即雅可比目录上页下页返回结束隐函数存在定理函数存在定理3.的某一邻域内具有连续偏设函数则方程组的单值连续函数函数且有偏导数公式: 在点的某一邻域内可唯一唯一确定一组满足条件满足:导数；机动目录上页下页返回结束(证明略)机动目录上页下页返回结束例例14 设解解:求类似可求机动目录上页下页返回结束由题设故
