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1、13.5.3角平分线倍速课时学练 不利用工具，请你将一张用纸片做不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角。你有什么办法的角分成两个相等的角。你有什么办法？AOBC 再再再再打打打打开开开开纸纸纸纸片片片片 ，看看看看看看看看折折折折痕痕痕痕与与与与这这这这个个个个角角角角有有有有何何何何关关关关系系系系？ 这这这这条条条条折折折折痕痕痕痕叫叫叫叫什么？什么？什么？什么？（对折对折）倍速课时学练什么是角平分线什么是角平分线从角的顶点出发引一条射线，把角分成从角的顶点出发引一条射线，把角分成相等的两部分，这条射线就叫角的平分相等的两部分，这条射线就叫角的平分线。线。符号表示为：如图，符号
2、表示为：如图，ACBO AOC= BOC OC是是AOB的平分线的平分线反过来：若已知反过来：若已知OC是是AOB的平分线的平分线角平分线的判定角平分线的判定角平分线的性质角平分线的性质回顾 思考则有：则有： AOC= BOC 或或AOC= AOB BOC= AOB1212角平分线的性质是什么角平分线的性质是什么画一个角并对折找到角平分线，然后在角平分画一个角并对折找到角平分线，然后在角平分线上任找一点向角两边作垂线，你发现了什么线上任找一点向角两边作垂线，你发现了什么？角平分线上的点到这个角的两边的距离角平分线上的点到这个角的两边的距离相等相等还有其他结论吗？还有其他结论吗？OBA12PDE
3、 (1)实验：将实验：将AOB对折，再折出一个直角三角形对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠（使第一条折痕为斜边），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么结论？形成的三条折痕，你能得出什么结论？平分角平分角开启智慧w定理定理 角平分线上的点到这个角的两边角平分线上的点到这个角的两边 距离相等距离相等. .w如图如图, ,已知已知:OC:OC是是AOBAOB的的平分线平分线,P,P是是OCOC上任意一点上任意一点,PDOA,PEOB,PDOA,PEOB,垂足分别垂足分别是是D,E.D,E.w求证求证:PD=PE:PD=PECOB1A2PDE证明证明
4、: :因为因为PDPDOAOA，PEPEOBOB（已知），（已知），所以所以PDOPDOPEOPEO9090（垂直的定义）（垂直的定义）OCB1A2PDE在在PDO和和PEO中，因为中，因为DOPEOP（已知），（已知），PDOPEO（已证），（已证），POPO（公共边），（公共边），PDO PEO (A.A.S) PD=PE于是就有定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等倍速课时学练倍速课时学练角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等符号表示符号表示 1= 2,PDOA于于D, PEOB 于于E _(_)OCB1A2PDEPD=PE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分
5、线上的点到角的两边的距离相等： ： ： ：1 1 1 1、 、 、 、如如如如图图，在，在，在，在RtRtABC ABC 中，中，中，中， C C =900做完本做完本做完本做完本题题后，你后，你后，你后，你对对角平分角平分角平分角平分线线, , , ,又增加了什又增加了什又增加了什又增加了什么么么么认识认识? ? ? ?思考思考思考思考角平分角平分角平分角平分线线的性的性的性的性质质， ， ， ，为为我我我我们证们证明明明明两两两两线线段相等段相等段相等段相等 又提供了新的方法与又提供了新的方法与又提供了新的方法与又提供了新的方法与途径途径途径途径。 。 。 。ABCBDBD是是是是B B
6、的平分的平分的平分的平分线线 ， ， ， ，DEDE ABAB，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E， ， ， ，E EDEDE与与与与DCDC 相等相等相等相等吗吗？DD答：答：答：答：DE=DCDE=DC。 。 。 。 BDBD是是ABCABC的平分线的平分线 （D D在在ABCABC的平分线上）的平分线上） 又又又又 DEDE BABA，垂足，垂足，垂足，垂足为为E E， ， ， ， DE=DCDE=DC。 。 。 。为为什么？什么？什么？什么？DCDC BCBC，垂足为，垂足为，垂足为，垂足为C C，（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）（角平分线上的点到这个角的两边的距离相等）反过来
7、反过来，到一个角的两边的距离相等的点是，到一个角的两边的距离相等的点是 否一定在这个角的平分线上呢？否一定在这个角的平分线上呢？ 已知：如图已知：如图, ,PDPDOAOA，PEPEOBOB， 点点D D、E E为垂足，为垂足，PDPDPEPE求证：点求证：点P P在在AOB AOB 的平分线上的平分线上OCB1A2PDE证明：证明： PD OA，PE OB，点，点D、E为为垂足，垂足，在在Rt PDO 与与Rt PEO中中PDO= PEO=Rt PD=PE（已知）（已知）OP=OP（公共边）（公共边） RtPDO PDO1= 2 即点即点P在在AOB的平分线上的平分线上于是就有判定定理：于是
8、就有判定定理： 角的内部角的内部到角的两边到角的两边距离相等的点，在角的平分线上距离相等的点，在角的平分线上 想一想：为什么要强调：想一想：为什么要强调：“角的内部角的内部”如果这点在如果这点在角的外部角的外部会是什么情会是什么情况呢？况呢？ 角的外部角的外部到角两边距离相等的点在角到角两边距离相等的点在角平分线的平分线的反向延长线反向延长线上上 ACBO倍速课时学练倍速课时学练判定定理：判定定理： 角的内部角的内部到角的两边距离相到角的两边距离相等的点，在角的平分线上等的点，在角的平分线上 符号表示符号表示 PDOA于于D, PEOB 于于E且且PD=PE , _(_)OCB1A2PDE1=
9、 2角内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上角内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上命题命题: :三角形三个角的平分线相交于一点三角形三个角的平分线相交于一点. .BMBM是是ABCABC的角平分线的角平分线, ,点点P P在在BMBM上上, ,且且PEPE BCBC于于E E，PDPD BABA于于D DABCABC的三条角平分线相交于一点的三条角平分线相交于一点P.P.w基本想法是这样的基本想法是这样的: :我们知道我们知道, ,两条直线相交只有一个交点两条直线相交只有一个交点. .要想证明三条直线相交于一点要想证明三条直线相交于一点, ,只要能证明两条直线的交点在只要能证明两条直线的
10、交点在第三条直线上即可第三条直线上即可. .这时可以考虑前面刚刚学习的内容这时可以考虑前面刚刚学习的内容. .ABCPMDEFPD=PEPD=PE( (角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PD=PF.,PD=PF.PE=PF.PE=PF.点点P P在在BACBAC的平分线上的平分线上( (角的内部到角的两边距角的内部到角的两边距离相等的点离相等的点, ,在这个角的平分线上在这个角的平分线上).).思路如下思路如下:AQ是是 BAC的平分线的平分线BM是是 ABC的平分线的平分线PD=PFPD=PEPF=PE P在在 ACB的的平分线平分线
11、上上,过点过点P分别作分别作BC,AC,AB的垂线的垂线,垂足分别是垂足分别是E,F,D.、如图如图,设设ABC的角平分线的角平分线BM,AQ相交于点相交于点P,求证：求证： P在在 ACB的平分线的平分线 上上Q又又 PE BC于于E，PF CA于于F1、 1= 2,DCAC, DEAB _(_)ACDEB12DC=DE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等2、判断题、判断题（ ） 如图，如图，AD平分平分BAC（已知）（已知） BD = DC ， ( ) 角的平分线上的点到角的角的平分线上的点到角的两边的距离相等。两边的距离相等。随随练习练习练习1 如图，在直
12、线l上找出一点P，使得点P到AOB的两边OA、OB的距离相等提示：作提示：作AOB的平分线，的平分线，交直线交直线l于于P就是所求的点就是所求的点倍速课时学练倍速课时学练ACBEDPMHK如图，在ABC的 顶点 B的外角的平分线BD与顶点 C的外角的平分线CE相交于点P求证：点到三边AB、BC、AC的距离相等证明：过点证明：过点P作作PM、PK、 PH分别垂直于分别垂直于AB、BC、AC，垂足为垂足为M、K、H。BD平分平分CBM PKPM同理同理PKPH PKPMPH即点即点P到三边到三边AB、BC、AC的的距离相等距离相等若求证点若求证点P在在BAC的平分线上，的平分线上，又该如何证明呢？
13、又该如何证明呢？倍速课时学练倍速课时学练已知：如图，ABC的角平分线BM、CN相交于点P. 求证：点P在BAC的平分线上.FABCPN倍速课时学练倍速课时学练ADEFCB已知：如图，已知：如图，BF AC于于F，CE AB于于E. BF BF，CECE交于点交于点D D，BC=DCBC=DC，求证：求证：D D在在BACBAC的平分线上的平分线上. . 证明：在证明：在CDFCDF和和BDEBDE中中CDFCDF =BDE=BDECFDCFD =BED=90=BED=900 0 ，DC=BC DC=BC D D在在BADBAD的平分线上的平分线上CDFCDFBDEBDEDF=DEDF=DE D
14、F AC于于F，DE AB于于E.倍速课时学练倍速课时学练DCBAEF已知：如图，点已知：如图，点D D，B B分别在分别在BADBAD的两边上，的两边上， C C是是BADBAD内一点，且，内一点，且， ADCADC =ABC=ABC BC=DC BC=DC，求证：求证：C C在在BADBAD的平分线上的平分线上. . 在在CDECDE和和CBFCBF中中CDECDE =CBF=CBFCEDCED =CFB=90=CFB=900 0 ，DC=BC DC=BC C CBADBAD的平分线上的平分线上CDECDECBFCBFCE=CFCE=CF证明证明：作作CE AD于于E，CF AB于于F.A
15、DCADC =ABC=ABCCDECDE = = CBFCBF倍速课时学练倍速课时学练变式练习变式练习已知：如图，点已知：如图，点D D，B B分别在分别在BADBAD的两边上，的两边上，C C是是BADBAD内一点，且内一点，且ADC+CBA=180ADC+CBA=1800 0 ，BC=DCBC=DC，. . 求证：求证：ACAC平分平分BAD.BAD.DCBAEF证明证明：作作CE AD于于E，CF AB于于F.CDECDE = = CBACBAADC+ CBA=1800ADC+ CDE=1800在在CDECDE和和CBFCBF中中CDECDE =CBA=CBACEDCED =CFB=90
16、=CFB=900 0 ，DC=BC DC=BC C CBADBAD的平分线上的平分线上CDECDECBFCBFCE=CFCE=CF倍速课时学练倍速课时学练AEBCD已知：如图，已知：如图，AD CD于于D，BC CD于于C. E E是是DCDC上一点，上一点， AEAE平分平分DABDAB。（1 1）若）若BEBE平分平分ABCABC，求证：点，求证：点E E是是DCDC的中点的中点. . （2 2）若点）若点E E是是DCDC的中点，求证：的中点，求证：BEBE平分平分ABCABC证明证明（1）作作EF AB于于F。F AD CD于于D ，AE平分平分DABED=EFED=EF又又 BC C
17、D于于C ，BE平分平分ABCEC=EFEC=EFED=ECED=EC即即E E是是DCDC的中点的中点证明证明（1）作作EF AB于于F。 AD CD于于D ，AE平分平分DABED=EFED=EFE E是是DCDC的中点的中点ED=ECED=ECEC=EFEC=EF又又 BC CD于于C ， BE平分平分ABC倍速课时学练倍速课时学练倍速课时学练倍速课时学练角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等符号表示符号表示 1= 2,PDOA于于D, PEOB 于于E _(_)OCB1A2PDEPD=PE角平分线上的点到角的两边的距离相等角平分线上的点到角的两边的距离相等倍速课时学练倍速课时学练判定定理：判定定理： 角的内部角的内部到角的两边距离相到角的两边距离相等的点，在角的平分线上等的点，在角的平分线上 符号表示符号表示 PDOA于于D, PEOB 于于E且且PD=PE , _(_ _)OCB1A2PDE1= 2角内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上角内部到角的两边的距离相等的点在角平分线上倍速课时学练倍速课时学练三角形三个角的平分线交于一点三角形三个角的平分线交于一点.且且这点到三角形的三边的距离相这点到三角形的三边的距离相等等.
