格林公式及应用课件

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1、单连通与多连通区域单连通与多连通区域 区域的边界曲线的方向区域的边界曲线的方向 当观察者沿区域当观察者沿区域D D的边界曲线的边界曲线L L行走时行走时 如果左手在区域如果左手在区域D D内内 则行走方向是则行走方向是L L的正向的正向，记作，记作 单连通区域单连通区域多连通区域多连通区域 设设D D为为平平面面区区域域 如如果果D D内内任任一一闭闭曲曲线线所所围围的的部部分分都都属属于于D D 则称则称D D为平面为平面单连通区域单连通区域 否则称为否则称为多连通区域多连通区域 8-3 8-3 格林公式格林公式 . . 平面第二型曲线积分与路径无关的条件平面第二型曲线积分与路径无关的条件格

2、林公式及应用PPT课件定理定理1 1 格林公式及应用PPT课件证明证明(2)(2)D两式相加得两式相加得同理可证同理可证格林公式及应用PPT课件格林公式及应用PPT课件GDFCEAB证明证明(3)(3)由由(2)知知格林公式及应用PPT课件注意： 对对复复连连通通区区域域D 格格林林公公式式右右端端应应包包括括沿沿区区域域D的的全全部部边界的曲线积分边界的曲线积分 且边界的方向对区域且边界的方向对区域D来说都是正向来说都是正向 格林公式及应用PPT课件格林公式及应用PPT课件xyoL1. 1. 简化曲线积分简化曲线积分AB 格林公式及应用PPT课件格林公式及应用PPT课件格林公式及应用PPT课

3、件 格林公式及应用PPT课件2. 2. 计算二重积分计算二重积分xyo格林公式及应用PPT课件3. 3. 计算平面面积计算平面面积 格林公式及应用PPT课件解解 格林公式及应用PPT课件2、平面上曲线积分与路径无关的等价条件、平面上曲线积分与路径无关的等价条件例例. 计算其中L为(1) 抛物线 (2) 抛物线 (3) 有向折线 称积分与路径无关称积分与路径无关格林公式及应用PPT课件 这是因为这是因为 设设L1和和L2是是D内任意两条从点内任意两条从点A到点到点B的曲线的曲线 则则L1 (L2- -)是是D内一条任意内一条任意的闭曲线的闭曲线 而且而且有有曲线积分与路径的关系曲线积分与路径的关

4、系在D意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关内与路径无关 沿沿D内任内任QdyPdx=0=0格林公式及应用PPT课件曲线积分与路径的关系曲线积分与路径的关系 定理2 (曲线积分与路径无关的判断方法) .)(闭曲线的曲线积分为零则曲线积分LQdyPdx在D内与路径无关 或沿 D 内任意( )数设函数P x y 及Q(x y)在单连通域D内具有一阶连续偏导在D内处处成立在D意一条简单逐段光滑意一条简单逐段光滑闭曲线闭曲线的曲线积分的曲线积分曲线积分曲线积分内与路径无关内与路径无关 沿沿D内任内任QdyPdx=0=0格林公式及应用PPT课件应

5、用定理2应注意的问题 (1)区域区域D是单连通区域是单连通区域 2) 2)函数函数P(x y)及及Q(x y)在在D内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数 如如果果这这两两个个条条件件之之一一不不能能满满足足 那那么么定定理理的的结结论论不不能能保保证成立证成立 (例例5)格林公式及应用PPT课件 表达式表达式P(x y)dx Q(x y)dy与函数的全微分有相同与函数的全微分有相同的结构的结构 但它未必就是某个函数的全微分但它未必就是某个函数的全微分 那么在那么在什么条件下表达式什么条件下表达式P(x y)dx Q(x y)dy是某个是某个二元函数二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二

6、元函数存在时的全微分呢？当这样的二元函数存在时 怎怎样求出这个二元函数呢？样求出这个二元函数呢？ 二元函数二元函数u(x y)的全微分为的全微分为du(x y)= =ux(x y)dx uy(x y)dy 二元函数的全微分求积格林公式及应用PPT课件原函数 如如果果函函数数u(x y)满满足足du(x y)= = P(x y)dx Q(x y)dy 则则函数函数u(x y)称为称为P(x y)dx Q(x y)dy的的原函数原函数 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有一阶连续内具有一阶连续偏导数偏导数 则则P(x y)dxQ(x y)dy在在D内恰是某一函数内恰

7、是某一函数u(x y)的的全微分全微分的充分必要条件是等式的充分必要条件是等式 在在D内恒成立内恒成立 定理3 推论推论 设函数设函数P(x y)及及Q(x y)在单连通域在单连通域D内具有一阶连内具有一阶连续偏导数续偏导数 对任意两点对任意两点 曲线积分曲线积分与路径与路径无关的充要条件是：无关的充要条件是：P(x y)dxQ(x y)dy恰是某一函数恰是某一函数u(x y)的全微分，此外，当的全微分，此外，当PdxQdy是是u(x y)的全微分的全微分时，有时，有格林公式及应用PPT课件总结: 设D 是单连通域 ,在D 内具有一阶连续偏导数,(1) 沿D 中任意光滑闭曲线 L , 有(2)

8、 对D 中任一分段光滑曲线 L, 曲线积分(3)(4) 在 D 内每一点都有与路径无关, 只与起点及终点有关. 函数则以下四个条件等价:在 D 内是某一函数的全微分,即 格林公式及应用PPT课件说明说明: 积分与路径无关时, 曲线积分可记为 证明证明 (1) (2)设为D 内任意两条由A 到B 的有向分段光滑曲线,则(根据条件(1)格林公式及应用PPT课件证明证明 (2) (3)在D内取定点因曲线积分则同理可证因此有和任一点B( x, y ),与路径无关,有函数 格林公式及应用PPT课件证明证明 (3) (4)设存在函数 u ( x , y ) 使得则P, Q 在 D 内具有连续的偏导数,从而

9、在D内每一点都有格林公式及应用PPT课件证明证明 (4) (1)设L为D中任一分段光滑闭曲线,(如图) ,利用格林公式格林公式 , 得所围区域为格林公式及应用PPT课件说明说明:根据等价命题 , 若在某区域内则2) 求曲线积分时, 可利用格林公式简化计算,3) 可用积分法求d u = P dx + Q dy在域 D 内的原函数:及动点或则原函数为若积分路径不是闭曲线, 可添加辅助线;取定点1) 计算曲线积分时, 可选择方便的积分路径;格林公式及应用PPT课件解解格林公式及应用PPT课件方法一 求原函数的方法求原函数的方法求求 的原函数的方法如下的原函数的方法如下:若若在单连通域在单连通域中有连

10、续的偏导数中有连续的偏导数,且满足且满足格林公式及应用PPT课件方法二方法二(1) 先固定先固定 , 将将 看作是看作是 的函数的函数为了求为了求 的原函数的原函数 ,显然显然令令对对 积分可求出积分可求出对对 积分积分方法三方法三:凑全微分法凑全微分法格林公式及应用PPT课件 格林公式及应用PPT课件 解二：先固定解二：先固定 , 将将 看作是看作是 的函的函数数格林公式及应用PPT课件因此因此 是某个函数是某个函数 的全微分的全微分. 由由 例例9 9 的原函数的原函数格林公式及应用PPT课件可见可见 其中其中为任意常数任意常数.格林公式及应用PPT课件例例10. 设质点在力场作用下沿曲线 L :由移动到求力场所作的功W解解:令则有可见, 在不含原点的单连通区域内积分与路径无关.格林公式及应用PPT课件思考思考: 积分路径是否可以取取圆弧为什么？注意, 本题只在不含原点的单连通区域内积分与路径无关 !格林公式及应用PPT课件例例11. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2) 运动到点B(3, 4),到原点的距离,解解: 由图知 故所求功为锐角,其方向垂直于OM, 且与y 轴正向夹角为求变力 F 对质点M 所作的功. ( 90考研 ) F 的大小等于点 M 在此过程中受力 F 作用,格林公式及应用PPT课件