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1、32立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法32.1用向量方法解决平行与垂直问题用向量方法解决平行与垂直问题学习目标学习目标1.理解直线的方向向量与平面的法向量理解直线的方向向量与平面的法向量2能能用用向向量量语语言言表表述述线线线线、线线面面、面面面面垂垂直直、平平行关系行关系 课堂互动讲练课堂互动讲练知能优化训练知能优化训练3.2.1用向用向量方量方法解法解决平决平行与行与垂直垂直问题问题课前自主学案课前自主学案课前自主学案课前自主学案温故夯基温故夯基1设设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)ab_ab_.2所所谓谓直直线线的的方方向向向向量量，就就是是指指和和这这条条直直线线所
2、所对对应应的的向向量量_的的向向量量，一一条条直直线线的的方方向向向量有向量有_个个平行平行(或共线或共线)无数无数aba1b1，a2b2，a3b3(R)ab0a1b1a2b2a3b30知新益能知新益能1平面的法向量平面的法向量直直线线l平平面面，取取直直线线l的的_a，则则a叫叫做做平面平面的法向量的法向量2空间中平行关系的向量表示空间中平行关系的向量表示方向向量方向向量线线平行线线平行设直线设直线l，m的方向向量分别为的方向向量分别为a(a1，b1，c1)，b(a2，b2，c2)，则，则lm_.ab线面平行线面平行设直线设直线l的方向向量为的方向向量为a(a1，b1，c1)，平面平面的法向
3、量为的法向量为u(a2，b2，c2)，则，则l_.面面平行面面平行设平面设平面，的法向量分别为的法向量分别为u(a1，b1，c1)，v(a2，b2，c2)，则，则_.auuv空间中的垂直关系空间中的垂直关系线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直面面垂直面面垂直设直线设直线l的方向的方向向量为向量为a(a1，a2，a3)，直线，直线m的的方向向量方向向量为为b(b1，b2，b3)，则则lm_.设直线设直线l的方向的方向向量向量为为a(a1，b1，c1)，平面，平面的的法向量法向量为为u(a2，b2，c2)，则，则l_.设平面设平面的法向的法向量为量为u(a1，b1，c1)，平面，平面的的法向量法向量为
4、为v(a2，b2，c2)，则，则_.3.空间中垂直关系的向量表示空间中垂直关系的向量表示abauuv一个平面的法向量惟一吗？一个平面的法向量惟一吗？提示：提示：不惟一不惟一问题探究问题探究课堂互动讲练课堂互动讲练平面的法向量的求解与判定平面的法向量的求解与判定考点一考点一考点突破考点突破若若要要求求出出一一个个平平面面的的法法向向量量，一一般般要要建建立立空空间间直直角角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为：坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤为：(1)设出平面法向量设出平面法向量n(x，y，z)；(2)找找出出(求求出出)平平面面内内的的两两个个不不共共线线向向量量a(a1，b1，c1
5、)，b(a2，b2，c2)；已已知知ABC的的三三个个顶顶点点的的坐坐标标分分别别为为A(1,2,3)，B(2,0，1)，C(3，2,0)，试试求求出出平平面面ABC的的一个法向量一个法向量例例例例1 1【思路点拨】【思路点拨】利用空间向量证明平行问题利用空间向量证明平行问题考点二考点二考点二考点二用向量方法证明空间中的平行关系用向量方法证明空间中的平行关系线线平行线线平行设设直直线线l1、l2的的方方向向向向量量分分别别是是a、b，则则要要证证明明l1l2，只只需需证证明明ab，即即akb(kR)线面线面平行平行设直线设直线l的方向向量是的方向向量是a，平面，平面的法向的法向量是量是u，则要
6、证明，则要证明l，只需证明，只需证明au，即即au0.根据线面平行判定定理，在平面内找根据线面平行判定定理，在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可向量即可证明一条直线证明一条直线l与一个平面与一个平面平行，只需平行，只需证明证明l的方向向量能用平面的方向向量能用平面内两个不共线内两个不共线向量线性表示向量线性表示面面面面平行平行转化为相应的线线平行或线面平行转化为相应的线线平行或线面平行求出平面求出平面，的法向量的法向量u，v，证明，证明uv即可说明即可说明.已已知知正正方方体体ABCDA1B1C1D1的的棱棱长长为为2，E、F分别是分别是BB1
7、、DD1的中点，求证：的中点，求证：(1)FC1平面平面ADE；(2)平面平面ADE平面平面B1C1F.例例例例2 2【思思路路点点拨拨】先先建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，求求出出直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量，再再利利用用直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量间间的的关关系系证证明明线线面面平平行行和和面面平行面面平行互互动动探探究究1在在本本例例条条件件下下，若若O1为为B1D1的的中中点点,求证：求证：BO1平面平面ACD1.用用空空间间向向量量法法解解决决立立体体几几何何中中的的垂垂直直问问题题，主主要要是是运运用用直直线线的的方方向
8、向向向量量与与平平面面的的法法向向量量，同同时时也也可借助空间中已有的一些关于垂直的定理可借助空间中已有的一些关于垂直的定理利用空间向量解决垂直问题利用空间向量解决垂直问题考点三考点三例例例例3 3在在正正棱棱锥锥PABC中中，三三条条侧侧棱棱两两两两垂垂直直，G是是PAB的的重重心心，E、F分分别别为为BC、PB上上的的点点，且且BEECPFFB12.(1)求证：平面求证：平面EFG平面平面PBC；(2)求证：求证：EGBC，PGEG.【思思路路点点拨拨】面面面面垂垂直直可可转转化化为为线线面面垂垂直直或或两两平面的法向量相互垂直来证明平面的法向量相互垂直来证明【证证明明】(1)法法一一：如
9、如图图，以以三三棱棱锥锥的的顶顶点点P为为原原点点，以以PA、PB、PC所所在在直直线线分分别别作作为为x轴轴、y轴轴、z轴轴建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系令令PAPBPC3，则则A(3,0,0)、B(0,3,0)、C(0,0,3)、E(0,2,1)、F(0,1,0)、G(1,1,0)、P(0,0,0)【名名师师点点评评】证证明明面面面面垂垂直直通通常常有有两两种种方方法法，一一是是利利用用面面面面垂垂直直的的判判定定定定理理,转转化化为为线线面面垂垂直直、线线线线垂垂直直去去证证明明；二二是是证证明明两两个个平平面面的的法法向向量量互互相垂直相垂直变变式式训训练练2在在正正方方体体AB
10、CDA1B1C1D1中中，E，F分分别别是是棱棱AB，BC的的中中点点，试试在在棱棱BB1上上找找一一点点M,使得使得D1M平面平面EFB1.方法感悟方法感悟1直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量是是用用空空间间向向量量解解决决立立体体几几何何问问题题的的两两个个重重要要工工具具，是是实实现现空空间间问问题的向量解法的媒介题的向量解法的媒介2用用空空间间向向量量方方法法证证明明立立体体几几何何中中的的平平行行与与垂垂直直问问题题，主主要要运运用用了了直直线线的的方方向向向向量量和和平平面面的的法法向向量量,同同时时也也要要借借助助空空间间中中已已有有的的一一些些关关于于平平行行、垂垂直直的的定理定理3用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：用向量方法证明平行、垂直问题的步骤：(1)建建立立空空间间图图形形与与空空间间向向量量的的关关系系(可可以以建建立立空空间间直直角角坐坐标标系系，也也可可以以不不建建系系)，用用空空间间向向量量表表示示问题中涉及的点、直线、平面；问题中涉及的点、直线、平面；(2)通过向量运算研究平行、垂直问题；通过向量运算研究平行、垂直问题；(3)根据运算结果解释相关问题根据运算结果解释相关问题
