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1、一一 复习引入，提出问题复习引入，提出问题 回回忆忆当当xx、xx、xx时时的的函函数数极极限限是是如如何何定定义义的的我我们们可可否否用用类类似似的的思思想想和和方方法法研究研究xxxx0 0时的函数极限时的函数极限定义定义1:1:一般地一般地, ,当自变量当自变量x x取正值并无限增大时取正值并无限增大时, ,函数函数f f( (x x) )的值无限趋近于一个常数的值无限趋近于一个常数a a, ,就说就说当当x x趋向趋向于正无穷大时于正无穷大时, ,函数函数f f( (x x) )的极限是的极限是a a. .记作：记作：记作：记作：定义定义(2):(2):一般地一般地, ,当自变量当自变
2、量x x取负值并且绝对值无限增大时取负值并且绝对值无限增大时, ,函数函数f f( (x x) )的值无限趋近于一个常数的值无限趋近于一个常数a a, ,就说就说当当x x趋趋向于负无穷大时向于负无穷大时, ,函数函数f f( (x x) )的极限是的极限是a a, ,那么就说那么就说 当当x x趋向于无穷大时趋向于无穷大时, ,函数函数f f( (x x) )的的极限是极限是a a, ,记作记作: :如果如果且且定义定义(3)(3)对于常数函数对于常数函数f f( (x x)=)=c c( (x xR), R), 也有也有1 1考察函数考察函数y=xy=x2 2，当，当x x无限无限趋近于趋
3、近于2 2时，函数的变时，函数的变化趋势化趋势 (1)(1)图象图象 二二 考察函数，比较特征考察函数，比较特征 (2)(2)列表列表 x2.52.12.012.0012.00012.00001y=x26.254.414.044.0044.00044.000042.250.410.040.0040.00040.00004x1.51.91.991.9991.99991.99999y=x22.253.613.963.9963.99963.999961.750.390.040.0040.00040.00004从表格上看：从表格上看： 表表1 1说明，自变量说明，自变量x x2 2趋近于趋近于2(x2
4、2(x2- -) )时，时，y4y4 表表2 2说明，自变量说明，自变量x x2 2趋近于趋近于2(x22(x2+ +) )时，时，y4y4从图象上看：自变量从图象上看：自变量x x从左侧趋近于从左侧趋近于2(2(即即x2x2- -) )和和从右侧趋近于从右侧趋近于2(2(即即x2x2+ +) )时，时，y y都趋近于都趋近于4 4 从差式从差式|y|y4|4|看：差式的值变得任意小看：差式的值变得任意小( (无限接近于无限接近于0)0) 从任何一方面看，当从任何一方面看，当x x无限趋近于无限趋近于2 2时，函数时，函数y yx x2 2的的 极极限是限是4 4记作：记作：强调：强调：x2x
5、2，包括分别从左、右两侧趋近于，包括分别从左、右两侧趋近于2 2 即即: “: “x x2”2”是指以任何方式无限趋近于是指以任何方式无限趋近于2 2，( (分别分别从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于从左、右两侧或左、右两侧交替地无限趋近于2)2) 2. 2. 考察函数考察函数 （x1x1），当），当x x无限趋近于无限趋近于1 1（但（但不等于不等于1 1）时，函数的变化趋势）时，函数的变化趋势 （1 1）图象）图象 y=x+1 (xR,x1) y=x+1 (xR,x1)(2)(2)结结论论：自自变变量量x x从从x x轴轴上上点点x=1x=1的的左左右右两两边边无无限限趋趋近近于于1
6、 1，函数，函数 的值无限趋近于的值无限趋近于2.2.21-101xy强调：虽然在强调：虽然在x x1 1处没有定义，但仍有极限处没有定义，但仍有极限 3 3考察函数考察函数 ，当，当x x无限趋近于无限趋近于0 0时，函数的变化趋势？时，函数的变化趋势？(2) (2) 结论：结论： x x从从0 0的左边无限趋近于的左边无限趋近于0 0时，时，y y值无限趋近于值无限趋近于-1-1 x x从从0 0的右边无限趋近于的右边无限趋近于0 0时，时，y y值无限趋近于值无限趋近于1 1 (1)(1)图象图象 此例与上两例不同，此例与上两例不同，x x从原点某一侧无限趋近于从原点某一侧无限趋近于0
7、0，f(x)f(x)也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近也会无限趋近于一个确定的常数但从不同一侧趋近于于0 0，f(x)f(x)趋近的值不同，这时趋近的值不同，这时f(x)f(x)在在x x0 0处无极限处无极限(1)(1)请思考下面问题：当请思考下面问题：当xxxx0 0时，时，y yf(x)f(x)在在x xx x0 0处处有定义有定义，是不是一定有极限？，是不是一定有极限？y yf(x)f(x)在在x xx x0 0处无定义，是不是一定没有极限？处无定义，是不是一定没有极限？ xx xx0 0包括两层意思：包括两层意思：x x从从x x0 0的左侧趋近于的左侧趋近于x x0 0，
8、即，即xxxx0 0- -；x x从从x x0 0的右侧趋近于的右侧趋近于x x0 0，即，即xxxx0 0+ +是不是是不是xxxx0 0- -和和xxxx0 0+ +时，时，f(x)f(x)会趋近于同会趋近于同一个常数？一个常数？ (2) (2) 归纳结果，得到：归纳结果，得到： 三三 整理提炼，明确概念整理提炼，明确概念 函数在一点处的极限与左、右极限的定义函数在一点处的极限与左、右极限的定义 函数在一点处的极限与左、右极限函数在一点处的极限与左、右极限1 1当当自自变变量量x x无无限限趋趋近近于于常常数数x x0 0（但但x x不不等等于于x x0 0）时时，如如果果函函数数f(x)
9、f(x)无无限限趋趋近近于于一一个个常常数数a a，就就说说当当x x趋趋近近于于x x0 0时时，函函数数f(x)f(x)的极限是的极限是a a，记作，记作 或当或当xxxx0 0时时f(x)af(x)a。2 2当当x x从点从点x x0 0左侧（即左侧（即xxxx0 0）无限趋近于）无限趋近于x x0 0时时，函数，函数f(x)f(x)无限趋近于一个常数无限趋近于一个常数a a，就说，就说a a是函数是函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的左极处的左极限限，记作，记作 。3 3如果如果当当x x从点从点x x0 0右侧（即右侧（即xxxx0 0）无限趋近于）无限趋近于x x0 0时时
10、，函，函数数f(x)f(x)无限趋近于常数无限趋近于常数a a，就说，就说a a是函数是函数f(x)f(x)在点在点x x0 0处的处的右极限右极限，记作，记作 。4 4常数函数常数函数f(x)=cf(x)=c在点在点x=xx=x0 0处的极限有处的极限有 . x x无限趋近于常数无限趋近于常数x x0 0，是指，是指x x从从x x0 0的左、右两侧无限地趋近于的左、右两侧无限地趋近于x x0 0。注意：注意：（1 1） 中中x x无限趋近于无限趋近于x x0 0，但不包含，但不包含x=xx=x0 0即即xxxx0 0，所以函数，所以函数f(x)f(x)的极限是的极限是a a仅与函数仅与函数
11、f(x)f(x)在点在点x x0 0附附近的函数值的变化有关近的函数值的变化有关，而，而与函数与函数f(x)f(x)在点在点x x0 0的值无关的值无关（x x0 0可以不属于可以不属于f(x)f(x)的定义域）的定义域） （2） 是是x x从从x x0 0的的两两侧侧无无限限趋趋近近于于x x0 0, ,是是双双侧侧极极限限， 而而 、 都都是是x x从从x x0 0的的单单侧侧无无限限趋趋近近于于x x0 0, ,是是单单侧侧极限，极限，显然显然 例例1 1 当当x x 时，写出下列函数的极限时，写出下列函数的极限y=xy=x2 2 y=sinx y=x y=5y=sinx y=x y=5
12、 四四 例析概念例析概念,深化理解深化理解v设设C为常数，则为常数，则例例2 2 写写出出下下列列函函数数当当x0x0时时的的左左右右极极限限，哪哪些些有有极极限限？ (1) (1)函数函数f(x)f(x)在在x=xx=x0 0处的极限，左、右极限，极限与左处的极限，左、右极限，极限与左右极限的关系，学会求一些简单函数的左右极限及极限。右极限的关系，学会求一些简单函数的左右极限及极限。 五五 比较概念，归纳小结比较概念，归纳小结 (2) (2)我们已学过哪我们已学过哪7 7种不同类型的极限？它们的共同之处种不同类型的极限？它们的共同之处是什么？用数学符号来表达各有什么不同？是什么？用数学符号来表达各有什么不同？六六 课后探究课后探究 1.1.已知已知 ,求求2.2.已知函数已知函数 , ,试求试求(1)f(x)(1)f(x)的定义域的定义域; ;(2)(2)求求 , , , ,并指出并指出 是否存是否存在在. .
