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1、7.6几何压轴综合题中考数学中考数学 (北京公用北京公用)1.(2021北京北京,27,7分分)如如图,在正方形在正方形ABCD中中,E是是边AB上的一上的一动点点(不与点不与点A,B重合重合),衔接接DE,点点A关于直关于直线DE的的对称点称点为F,衔接接EF并延伸交并延伸交BC于点于点G,衔接接DG,过点点E作作EHDE交交DG的延伸的延伸线于点于点H,衔接接BH.(1)求求证:GF=GC;(2)用等式表示用等式表示线段段BH与与AE的数量关系的数量关系,并并证明明.好题精练解析解析(1)证明明:如如图,衔接接DF.四四边形形ABCD为正方形正方形,DA=DC=AB,A=C=ADC=90.
2、又又点点A关于直关于直线DE的的对称点称点为F,ADEFDE,DA=DF=DC,DFE=A=90,DFG=90.在在RtDFG和和RtDCG中中,RtDFG RtDCG(HL),GF=GC.(2)线段BH与AE的数量关系:BH=AE.证明:在线段AD上截取AM,使AM=AE,衔接ME.AD=AB,DM=BE.由(1)得1=2,3=4,ADC=90,1+2+3+4=90,22+23=90,2+3=45,EDH=45.EHDE,DE=EH,DEH=90,A=90,1+AED=90,5+AED=90,1=5.在DME和EBH中,DMEEBH(SAS),ME=BH.A=90,AM=AE,ME=AE,B
3、H=AE.思思绪分析分析此此题第第(1)问需求需求经过正方形的性正方形的性质和和轴对称的性称的性质处理理;此此题第第(2)问需求需求经过构构造全等三角形造全等三角形,利用等腰直角三角形的性利用等腰直角三角形的性质处理理.解解题关关键处理此理此题第第(2)问的关的关键是要是要经过截截获得到等腰直角三角形得到等腰直角三角形,并借助并借助SAS证明三角明三角形全等形全等,从而将从而将BH和和AE转化到化到AME中中证明数量关系明数量关系.2.(2021北京北京,28,7分分)在正方形在正方形ABCD中中,BD是一条是一条对角角线.点点P在射在射线CD上上(与点与点C,D不重合不重合),连接接AP,平
4、移平移ADP,使点使点D挪挪动到点到点C,得到得到BCQ,过点点Q作作QHBD于点于点H,衔接接AH,PH.(1)假假设点点P在在线段段CD上上,如如图1.依依题意意补全全图1;判判别AH与与PH的数量关系与位置关系并加以的数量关系与位置关系并加以证明明;(2)假假设点点P在在线段段CD的延伸的延伸线上上,且且AHQ=152,正方形正方形ABCD的的边长为1,请写出求写出求DP长的思的思路路.(可以不写出可以不写出计算算结果果)图1备用用图解析解析(1)补全全图形形,如如图1所示所示.图1AH与与PH的数量关系的数量关系:AH=PH,位置关系位置关系:AHPH.证明明:如如图1.由平移可知由平
5、移可知,PQ=DC.四四边形形ABCD是正方形是正方形,AD=DC,ADB=BDQ=45.AD=PQ.QHBD,HQD=HDQ=45.HD=HQ,ADB=DQH.ADHPQH.AH=PH,AHD=PHQ.AHD+DHP=PHQ+DHP.即AHP=DHQ=90.AHPH.(2)求解思绪如下:a.由AHQ=152画出图形,如图2所示;b.与同理,可证AHDPHQ,可得AH=PH;c.由AHP=AHD-PHD=PHQ-PHD=90,可得AHP是等腰直角三角形;d.由AHQ=152,BHQ=90,可求BHA,DAH,PAD的度数;e.在RtADP中,由PAD的度数和AD的长,可求DP的长.图2解解题关
6、关键准确画出准确画出图形形,用平移的性用平移的性质得得PQ=CD,才干得到后才干得到后续结论,同同时对于于调查思思绪的的标题,还需求按照需求按照“由由,可得可得(可求可求)这样的句式一步一步的句式一步一步进展操作展操作.3.(2021北京北京,24,7分分)在正方形在正方形ABCD外外侧作直作直线AP,点点B关于直关于直线AP的的对称点称点为E,衔接接BE,DE,其中其中DE交直交直线AP于点于点F.(1)依依题意意补全全图1;(2)假假设PAB=20,求求ADF的度数的度数;(3)如如图2,假假设45PAB90,用等式表示用等式表示线段段AB,FE,FD之之间的数量关系的数量关系,并并证明明
7、.解析解析(1)补全全图形形,如下如下图.(2)衔接接AE,如如图.点E与点B关于直线AP对称,AE=AB,EAP=BAP=20.AB=AD,AE=AD,AED=ADF.又BAD=90,2ADF+40+90=180.ADF=25.(3)AB,FE,FD满足的数量关系为FE2+FD2=2AB2.证明:衔接AE,BF,BD,设BF交AD于点G,如图.点E与点B关于直线AP对称,AE=AB,FE=FB.可证得FEA=FBA.AB=AD,AE=AD.ADE=AED.ADE=ABF.又DGF=AGB,DFB=BAD=90.FB2+FD2=BD2.BD2=2AB2,FE2+FD2=2AB2.4.(2021
8、北京北京,24,7分分)在在ABC中中,BA=BC,BAC=,M是是AC的中点的中点,P是是线段段BM上的上的动点点,将将线段段PA绕点点P顺时针旋旋转2得到得到线段段PQ.(1)假假设=60且点且点P与点与点M重合重合(如如图1),线段段CQ的延伸的延伸线交射交射线BM于点于点D,请补全全图形形,并写出并写出CDB的度数的度数;(2)在在图2中中,点点P不与点不与点B,M重合重合,线段段CQ的延伸的延伸线与射与射线BM交于点交于点D,猜猜测CDB的大小的大小(用含用含的代数式表示的代数式表示),并加以并加以证明明;(3)对于适当大小的于适当大小的,当点当点P在在线段段BM上运上运动到某一位置
9、到某一位置(不与点不与点B,M重合重合)时,能使得能使得线段段CQ的延伸的延伸线与射与射线BM交于点交于点D,且且PQ=QD,请直接写出直接写出的范的范围.解析解析(1)补全全图形形,如如图1.CDB=30.图1(2)猜猜测:CDB=90-.证明明:如如图2,衔接接AD,PC.BA=BC,M是是AC的中点的中点,BMAC.图2点D,P在直线BM上,PA=PC,DA=DC.又DP为公共边,ADPCDP.DAP=DCP,ADP=CDP.又PA=PQ,PQ=PC.DCP=PQC.DAP=PQC.PQC+DQP=180,DAP+DQP=180.在四边形APQD中,ADQ+APQ=180.APQ=2,A
10、DQ=180-2.CDB=ADQ=90-.(3)的范围是4560.5.(2021北京北京东城一模城一模,27)知在知在ABC中中,AD是是BAC的平分的平分线,且且AD=AB,过点点C作作AD的垂的垂线,交交AD的延伸的延伸线于点于点H.(1)如如图1,假假设BAC=60,直接写出直接写出B和和ACB的度数的度数;假假设AB=2,求求AC和和AH的的长;(2)如如图2,用等式表示用等式表示线段段AH与与AB+AC之之间的数量关系的数量关系,并并证明明.解析解析(1)B=75,ACB=45.作作DEAC交交AC于点于点E.RtADE中中,由由DAC=30,AD=AB=2可得可得DE=1,AE=.
11、RtCDE中中,由由ACD=45,DE=1,可得可得EC=1.AC=+1.RtACH中中,由由DAC=30,可得可得AH=.(2)线段段AH与与AB+AC之之间的数量关系的数量关系为2AH=AB+AC.证明明:延伸延伸AB和和CH,交于点交于点F,取取BF的中点的中点G,衔接接GH.易易证ACHAFH.AC=AF,HC=HF.GHBC.AB=AD,ABD=ADB,AGH=AHG,AG=AH.AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.解解题关关键处理此理此题的关的关键是要是要经过构造三角形构造三角形,借助中位借助中位线定理定理寻觅边与与边之之间的数量关的数量关系系.
12、6.(2021北京西城一模北京西城一模,27)正方形正方形ABCD的的边长为2.将射将射线AB绕点点A顺时针旋旋转,所得射所得射线与与线段段BD交于点交于点M,作作CEAM于点于点E,点点N与点与点M关于直关于直线CE对称称,衔接接CN.(1)如如图1,当当045时,依依题意意补全全图形形;用等式表示用等式表示NCE与与BAM之之间的数量关系的数量关系:;(2)当当4590时,探求探求NCE与与BAM之之间的数量关系的数量关系,并加以并加以证明明;(3)当当090时,假假设边AD的中点的中点为F,直接写出直接写出线段段EF的最大的最大值.解析解析(1)补全的全的图形如形如图1所示所示.图1NC
13、E=2BAM.(2)当当4590时,NCE=180-2BAM.证明明:如如图2,衔接接CM,设射射线AM与与CD的交点的交点为H.图2四边形ABCD为正方形,BAD=ADC=BCD=90,直线BD为正方形ABCD的对称轴,且点A与点C关于直线BD对称.射线AM与线段BD交于点M,BAM=BCM=,1=2=90-.CEAM,CEH=90,3+5=90.又1+4=90,4=5,1=3,3=2=90-.点N与点M关于直线CE对称,NCE=MCE=2+3=180-2BAM.(3)+1.提示:CEA=90,点E在以AC为直径的圆上,线段EF的最大值为1+.7.(2021北京海淀一模北京海淀一模,27)如
14、如图,知知AOB=60,点点P为射射线OA上的一个上的一个动点点,过点点P作作PEOB,交交OB于点于点E,点点D在在AOB内内,且且满足足DPA=OPE,DP+PE=6.(1)当当DP=PE时,求求DE的的长;(2)在点在点P的运的运动过程中程中,请判判别能否存在一个定点能否存在一个定点M,使得使得的的值不不变,并并证明他的判明他的判别.解析解析(1)作作PFDE交交DE于于F.PEBO,AOB=60,OPE=30,DPA=OPE=30,EPD=120.DP=PE,DP+PE=6,PDE=30,DP=PE=3.DF=PDcos30=,DE=2DF=3.(2)存在.当点M在射线OA上且满足MO
15、=2时,的值不变,一直为1.理由如下:当点P与点M不重合时,延伸EP到K,使得PK=PD,衔接MK.DPA=OPE,OPE=KPA,KPA=DPA.KPM=DPM.PK=PD,PM是公共边,KPMDPM.MK=MD.作MLOE于L,MNEK于N.MO=2,MOL=60,ML=MOsin60=3,PEBO,MLOE,MNEK,四边形MNEL为矩形,EN=ML=3.EK=PE+PK=PE+PD=6,EN=NK.MNEK,MK=ME.ME=MK=MD,即=1.当点P与点M重合时,OP=OM=2,易求得PD=PE=3,=1.综上,存在定点M,点M在射线OA上且满足MO=2时,的值不变,一直为1.解解题
16、关关键处理此理此题第二第二问的关的关键是要可以借助是要可以借助对称性和解直角三角形的相关知称性和解直角三角形的相关知识发现线段之段之间的数量关系的数量关系.8.(2021北京朝阳一模北京朝阳一模,27)如如图,在菱形在菱形ABCD中中,DAB=60,点点E为AB边上的上的动点点(与点与点A,B不重不重合合),衔接接CE,将将ACE的两的两边所在射所在射线CE,CA以点以点C为中心中心顺时针旋旋转120,分分别交射交射线AD于于点点F,G.(1)依依题意意补全全图形形;(2)假假设ACE=,求求AFC的大小的大小(用含用含的式子表示的式子表示);(3)用等式表示用等式表示线段段AE、AF与与CG
17、之之间的数量关系的数量关系,并并证明明.解析解析(1)补全的全的图形如下形如下图.(2)由由题意可知意可知,ECF=ACG=120.FCG=ACE=.四四边形形ABCD是菱形是菱形,DAB=60,DAC=BAC=30.AGC=30.AFC=+30.(3)线段段AE、AF与与CG之之间的数量关系的数量关系为AE+AF=CG.证明:作CHAG于点H.由(2)可知BAC=DAC=AGC=30,CA=CG.HG=AG.ACE=GCF,CAE=CGF,ACEGCF,AE=FG.在RtHCG中,HG=CGcosCGH=CG,AG=CG.即AF+AE=CG.解解题关关键处理此理此题的关的关键是要根据是要根据
18、120角构造含角构造含30角的直角三角形角的直角三角形,进而而经过全等三角全等三角形、解直角三角形相关知形、解直角三角形相关知识来来处理理.9.(2021北京丰台一模北京丰台一模,28)如如图,RtABC中中,ACB=90,CA=CB,过点点C在在ABC外作射外作射线CE,且且BCE=,点点B关于关于CE的的对称点称点为点点D,衔接接AD,BD,CD,其中其中AD,BD分分别交射交射线CE于点于点M,N.(1)依依题意意补全全图形形;(2)当当=30时,直接写出直接写出CMA的度数的度数;(3)当当045时,用等式表示用等式表示线段段AM,CN之之间的数量关系的数量关系,并并证明明.解析解析(
19、1)如如图.(2)45.(3)结论:AM=CN.证明明:作作AGNC交交NC的延伸的延伸线于点于点G.点点B与点与点D关于关于CE对称称,CE是是BD的垂直平分的垂直平分线,CB=CD.1=2=.CA=CB,CA=CD,3=CAD.4=90,3=(180-ACD)=(180-90-)=45-.5=2+3=+45-=45.4=90,CE是BD的垂直平分线,1+7=90,1+6=90,6=7.AGEC,G=90=8.在BCN和CAG中,BCNCAG.CN=AG.RtAMG中,G=90,5=45,AM=AG.AM=CN.思思绪分析分析此此题最后一最后一问需求构造全等三角形来需求构造全等三角形来处理理
20、.解解题关关键求求线段之段之间的关系的关系时经常会利用全等、旋常会利用全等、旋转、轴对称等称等变换将不在同一个三角将不在同一个三角形的形的线段段转化到同一个三角形中化到同一个三角形中,然后找出关系然后找出关系.10.(2021北京通州一模北京通州一模,27)如如图,直直线l是是线段段MN的垂直平分的垂直平分线,交交线段段MN于点于点O,在在MN下方的下方的直直线l上取一点上取一点P,衔接接PN,以以线段段PN为边,在在PN的上方作正方形的上方作正方形NPAB.射射线MA交直交直线l于点于点C,连接接BC.(1)设ONP=,求求AMN的度数的度数;(2)写出写出线段段AM与与BC之之间的等量关系
21、的等量关系,并并证明明.解析解析(1)衔接接PM,如如图1所示所示.图1l是是线段段MN的垂直平分的垂直平分线,PM=PN,ONP=OMP=.四四边形形APNB是正方形是正方形,PA=PN,APN=90.PM=PA,AMP=MAP.APC+CPN=90,CPN+ONP=90,APC=ONP=.MPA=90-=90-2.AMP=PAM=(180-MPA)=45+.AMN=AMP-PMN=45.(2)AM=BC.证明如下:作AEMN,交直线MN于点E,作AGl,交直线l于点G,衔接EP,如图2所示.图2在AGP与PON中,AGPPON(AAS),PO=AG.又易知AG=EO,EP=OE=AG=AC
22、.又APG=BAG,45-APG=45-BAG,即EPA=CAB.在ACB与EPA中,ACBPEA(AAS),BC=AE.又AM=AE,AM=BC.11.(2021北京大北京大兴一模一模,27)如如图,在等腰直角在等腰直角ABC中中,CAB=90,F是是AB边上一点上一点,作射作射线CF,过点点B作作BGCF于点于点G,衔接接AG.(1)求求证:ABG=ACF;(2)用等式表示用等式表示线段段CG,AG,BG之之间的数量关系的数量关系,并并证明明.解析解析(1)证明明:CAB=90,BGCF于点于点G,BGF=CAB=90.GFB=CFA.ABG=ACF.(2)CG=AG+BG.证明明:在在C
23、G上截取上截取CH=BG,衔接接AH,ABC是等腰直角三角形是等腰直角三角形,CAB=90,AB=AC.又又ABG=ACH,ABGACH.AG=AH,GAB=HAC,GAH=90,AG2+AH2=GH2,GH=AG,CG=GH+CH=AG+BG.12.(2021北京北京顺义一模一模,27)如如图,在正方形在正方形ABCD中中,E是是BC边上一点上一点,衔接接AE,延伸延伸CB至点至点F,使使BF=BE,过点点F作作FHAE于点于点H,射射线FH分分别交交AB、CD于点于点M、N,交交对角角线AC于点于点P,衔接接AF.(1)依依题意意补全全图形形;(2)求求证:FAC=APF;(3)用等式表示
24、用等式表示线段段FM与与PN之之间的数量关系的数量关系,并加以并加以证明明.解析解析(1)补全全图如下如下图.(2)证明明:四四边形形ABCD为正方形正方形,BAC=BCA=45,ABC=90,PAH=45-BAE.FHAE,APF=45+BAE.BF=BE,AF=AE,BAF=BAE.FAC=45+BAF=45+BAE.FAC=APF.(3)FM=PN.证明:过B作BQMN交CD于点Q,MN=BQ,BQAE.四边形ABCD是正方形,AB=BC,ABC=BCD=90,BAE=CBQ,ABEBCQ,AE=BQ,AE=MN.FAC=APF,AF=FP.AF=AE,AE=FP,FP=MN,FM=PN
25、.13.(2021北京房山一模北京房山一模,27)如如图,知知RtABC中中,C=90,BAC=30,点点D为边BC上的点上的点,衔接接AD,BAD=,点点D关于关于AB的的对称点称点为E,点点E关于关于AC的的对称点称点为G,线段段EG交交AB于点于点F,衔接接AE,DE,DG,AG.(1)依依题意意补全全图形形;(2)求求AGE的度数的度数(用含用含的式子表示的式子表示);(3)用等式表示用等式表示线段段EG与与EF,AF之之间的数量关系的数量关系,并并阐明理由明理由.解析解析(1)如如图.(2)由由对称性可知称性可知,AB为线段段ED的垂直平分的垂直平分线,AC为线段段EG的垂直平分的垂
26、直平分线.AE=AG=AD.AEG=AGE,BAE=BAD=,EAC=BAC+BAE=30+,EAG=2EAC=60+2,AGE=(180-EAG)=60-.(3)EG=2EF+AF.设AC交EG于点H.BAC=30,AHF=90,FH=AF,EH=EF+FH=EF+AF,又点E,G关于AC对称,EG=2EH,EG=2=2EF+AF.14.(2021北京北京怀柔一模柔一模,27)如如图,在在ABC中中,A=90,AB=AC,点点D是是BC上恣意一点上恣意一点,将将线段段AD绕点点A逆逆时针旋旋转90得到得到线段段AE,衔接接EC.(1)依依题意意补全全图形形;(2)求求ECD的度数的度数;(3
27、)假假设CAE=7.5,AD=1,将射将射线DA绕点点D顺时针旋旋转60,交交EC的延伸的延伸线于点于点F,请写出求写出求AF长的思的思绪.解析解析(1)如如图.(2)线段段AD绕点点A逆逆时针旋旋转90得到得到线段段AE.DAE=90,AD=AE.DAC+CAE=90.BAC=90,BAD+DAC=90.BAD=CAE.又又AB=AC,ABDACE,B=ACE.ABC中,A=90,AB=AC,B=ACB=ACE=45.ECD=ACB+ACE=90.(3)衔接DE,由于ADE为等腰直角三角形,所以可求出DE的长.由ADF=60,CAE=7.5,可求EDC的度数和CDF的度数,从而可知DF的长.
28、过点A作AHDF于点H,在RtADH中,由ADF=60,AD=1可求AH、DH的长.由DF、DH的长可求HF的长.在RtAHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的长.15.(2021北京延北京延庆一模一模,27)如如图,正方形正方形ABCD中中,点点E是是BC延伸延伸线上一点上一点,衔接接DE,过点点B作作BFDE于点于点F,衔接接FC.(1)求求证:FBC=CDF.(2)作点作点C关于直关于直线DE的的对称点称点G,衔接接CG,FG.根据根据题意意补全全图形形;用等式表示用等式表示线段段DF,BF,CG之之间的数量关系的数量关系,并加以并加以证明明.解析解析(1)证明明:四四边形形ABC
29、D是正方形是正方形,DCB=90.CDF+E=90.BFDE,FBC+E=90.FBC=CDF.(2)如如图1.图1线段DF,BF,CG之间的数量关系为BF=DF+CG.证明:在BF上取点M,使得BM=DF,衔接CM,如图2所示.四边形ABCD是正方形,BC=DC.FBC=CDF,BM=DF,BMCDFC,CM=CF,BCM=DCF,MCF是等腰直角三角形.BFC=45.点C与点G关于直线DE对称,CF=GF,CFE=GFE.BFDE,BFC=45,CFE=45,CFG=90,CFG=MCF,CMGF.CM=CF,CF=GF,CM=GF,四边形CGFM是平行四边形,CG=MF,BF=BM+FM
30、=DF+CG.图216.(2021北京北京东城二模城二模,27)如下如下图,点点P位于等位于等边ABC的内部的内部,且且ACP=CBP.(1)BPC的度数的度数为;(2)延伸延伸BP至点至点D,使得使得PD=PC,衔接接AD,CD,依依题意意补全全图形形;证明明:AD+CD=BD;(3)在在(2)的条件下的条件下,假假设BD的的长为2,求四求四边形形ABCD的面的面积.解析解析(1)120.(2)如如图1所示所示.图1在等在等边ABC中中,ACB=60,ACP+BCP=60.ACP=CBP,CBP+BCP=60,BPC=180-(CBP+BCP)=120,CPD=180-BPC=60,PD=P
31、C,CPD为等边三角形.ACD+ACP=ACP+BCP=60,ACD=BCP.在ACD和BCP中,ACDBCP(SAS).AD=BP,AD+CD=BP+PD=BD.(3)如图2,作BMAD于点M,BNDC延伸线于点N.图2ADB=ADC-PDC=60,ADB=CDB=60,BM=BN=BD=.又由(2)得,AD+CD=BD=2,S四边形ABCD=SABD+SBCD=ADBM+CDBN=(AD+CD)=2=.17.(2021北京海淀二模北京海淀二模,27)如如图,在等在等边ABC中中,D,E分分别是是边AC,BC上的点上的点,且且CD=CE,DBC30,点点C与点与点F关于直关于直线BD对称称,
32、衔接接DE,DF,AF,FE,FE交交BD于于G.(1)DE,DF之之间的数量关系是的数量关系是;(2)假假设DBC=,求求FEC的大小的大小;(用用的式子表示的式子表示)(3)用等式表示用等式表示线段段BG,GF和和FA之之间的数量关系的数量关系,并并证明明.解析解析(1)DE=DF.(2)ABC是等是等边三角形三角形,C=60.DBC=,BDC=120-.点点C与点与点F关于直关于直线BD对称称,BDF=BDC=120-,DF=DC.FDC=120+2.由由(1)知知DE=DF,F,E,C在以在以D为圆心心,DC为半径的半径的圆上上.FEC=FDC=60+.(3)BG=GF+FA.证明明:
33、衔接接BF,延伸延伸AF,BD,交于点交于点H,ABC是等是等边三角形三角形,ABC=BAC=60,AB=BC=CA.点C与点F关于直线BD对称,BF=BC,FBD=CBD.BF=BA,BAF=BFA.设CBD=,那么ABF=60-2,BAF=60+,FAD=,FAD=DBC.由(2)知FEC=60+.BGE=FEC-DBC=60.FGB=120,FGD=60.四边形AFGB中,AFE=360-FAB-ABG-FGB=120,HFG=60,FGH是等边三角形,FH=FG,H=60.CD=CE,DA=EB.在AHD与BGE中,AHDBGE.BG=AH.AH=HF+FA=GF+FA,BG=GF+F
34、A.18.(2021北京西城二模北京西城二模,27)如如图,在等在等边三角形三角形ABC中中,CD为中中线,点点Q在在线段段CD上运上运动,将将线段段QA绕点点Q顺时针旋旋转,使得点使得点A对应的点的点E落在射落在射线BC上上,衔接接BQ,设DAQ=(060且且30).(1)当当030时,在在图中依中依题意画出意画出图形形,并求并求BQE(用含用含的式子表示的式子表示);探求探求线段段CE,AC,CQ之之间的数量关系的数量关系,并加以并加以证明明;(2)当当3060时,直接写出直接写出线段段CE,AC,CQ之之间的数量关系的数量关系.解析解析(1)画出的画出的图形如形如图1所示所示.图1ABC
35、为等等边三角形三角形,ABC=60.CD为等等边三角形的中三角形的中线,Q为线段段CD上的点上的点,由等由等边三角形的三角形的对称性得称性得QA=QB.DAQ=,ABQ=DAQ=,QBE=60-.线段段QE为线段段QA绕点点Q顺时针旋旋转所得所得,QE=QA,QB=QE,可得BQE=180-2QBE=180-2(60-)=60+2.CE+AC=CQ.证明:如图2,延伸CA到点F,使得AF=CE,衔接QF,作QHAC于点H.图2BQE=60+2,点E在BC上,QEC=BQE+QBE=(60+2)+(60-)=120+.点F在CA的延伸线上,DAQ=,QAF=BAF+DAQ=120+.QAF=QE
36、C.又AF=EC,QA=QE,QAFQEC,QF=QC.QHAC于点H,FH=CH,CF=2CH.在等边三角形ABC中,CD为中线,点Q在CD上,ACQ=ACB=30,即QCF为底角为30的等腰三角形.CH=CQcosHCQ=CQcos30=CQ.CE+AC=AF+AC=CF=2CH=CQ,即CE+AC=CQ.(2)当3060时,AC-CE=CQ.19.(2021北京朝阳二模北京朝阳二模,28)在在ABC中中,ACB=90,以以AB为斜斜边作等腰直角三角形作等腰直角三角形ABD,且点且点D与点与点C在直在直线AB的两的两侧,衔接接CD.(1)如如图1,假假设ABC=30,那么那么CAD的度数的
37、度数为.(2)知知AC=1,BC=3.依依题意将意将图2补全全;求求CD的的长;小小聪经过察看、察看、实验、提出猜、提出猜测,与同窗与同窗们进展交流展交流,经过讨论,构成了求构成了求CD长的几种想法的几种想法:想法想法1:延伸延伸CB,在在CB延伸延伸线上截取上截取BE=AC,衔接接DE.要求要求CD的的长,需需证明明ACDBED,CDE为等腰直角三角形等腰直角三角形.想法想法2:过点点D作作DHBC于点于点H,DGCA,交交CA的延伸的延伸线于点于点G,要求要求CD的的长,需需证明明BDH ADG,CHD为等腰直角三角形等腰直角三角形.请参考上面的想法参考上面的想法,协助小助小聪求出求出CD
38、的的长(一种方法即可一种方法即可).(3)用等式表示用等式表示线段段AC,BC,CD之之间的数量关系的数量关系(直接写出即可直接写出即可).图1图2解析解析(1)105.(2)补全全图形形,如如图1所示所示.图1证法一法一:如如图2.ACB=ADB=90,CAD+CBD=180.DBE+CBD=180,CAD=DBE.DA=DB,AC=BE,ACDBED.DC=DE,ADC=BDE.CDE=90.CDE为等腰直角三角形.AC=1,BC=3,CE=4.CD=2.图2证法二:如图3.ACB=ADB=90,CAD+CBD=180.DAG+CAD=180,CBD=DAG.DA=DB,DGA=DHB=9
39、0,BDHADG.DH=DG,BH=AG.易证四边形DGCH为正方形,CHD为等腰直角三角形.AC=1,BC=3,CH=2.CD=2.图3(3)AC+BC=CD.(提示:由全等三角形的性质和等腰直角三角形三边关系即可证明AC、BC、CD的数量关系)20.(2021北京海淀二模北京海淀二模,28)在在锐角角ABC中中,AB=AC,AD为BC边上的高上的高,E为AC的中点的中点.(1)如如图1,过点点C作作CFAB于于F点点,衔接接EF,假假设BAD=20,求求AFE的度数的度数;(2)假假设M为线段段BD上的上的动点点(点点M与点与点D不重合不重合),过点点C作作CNAM于于N点点,射射线EN,
40、AB交于交于P点点.依依题意将意将图2补全全;小宇小宇经过察看、察看、实验,提出猜提出猜测:在点在点M运运动的的过程中程中,一直有一直有APE=2MAD.小宇把小宇把这个猜个猜测与同窗与同窗们进展展讨论,构成了构成了证明明该猜猜测的几种想法的几种想法:想法想法1:衔接接DE,要要证APE=2MAD,只需只需证PED=2MAD.想法想法2:设MAD=,DAC=,只需用只需用,表示出表示出PEC,经过角度角度计算得算得APE=2.想法想法3:在在NE上取点上取点Q,使使NAQ=2MAD,要要证APE=2MAD,只需只需证NAQAPQ.请他参考上面的想法他参考上面的想法,协助小宇助小宇证明明APE=
41、2MAD.(一种方法即可一种方法即可)解析解析(1)证明明:AB=AC,AD为BC边上的高上的高,BAD=20,BAC=2BAD=40.CFAB,AFC=90.E为AC的中点的中点,EF=EA=AC.AFE=BAC=40.(2)补全全图形如形如图(画出一种即可画出一种即可).画出一种即可.证明:想法1:衔接DE.AB=AC,AD为BC边上的高,D为BC的中点.E为AC的中点,EDAB,1=APE.ADC=90,E为AC的中点,AE=DE=CE=AC.同理,AE=NE=CE=AC.AE=NE=CE=DE.A,N,D,C在以点E为圆心,AC为直径的圆上.1=2MAD.APE=2MAD.想法2:设M
42、AD=,DAC=,CNAM,ANC=90.E为AC的中点,AE=NE=AC.ANE=NAC=MAD+DAC=+.PEC=ANE+NAC=2+2.AB=AC,ADBC,BAC=2DAC=2.APE=PEC-BAC=2.APE=2MAD.想法3:在NE上取点Q,衔接AQ,使NAQ=2MAD.1=2.AB=AC,ADBC,BAD=CAD.BAD-1=CAD-2,即3=4.3+NAQ=4+NAQ,即PAQ=EAN.CNAM,ANC=90.E为AC的中点,AE=NE=AC.ANE=EAN.PAQ=ANE.AQP=AQP,PAQANQ.APE=NAQ=2MAD.21.(2021北京北京东城二模城二模,28
43、)取一取一张正方形的正方形的纸片片进展折叠展折叠,详细操作操作过程如下程如下:第一步第一步:如如图1,先把正方形先把正方形ABCD对折折,折痕折痕为MN;第二步第二步:点点G在在线段段MD上上,将将GCD沿沿GC翻折翻折,点点D恰好落在恰好落在MN上上,记为点点P,衔接接BP.图1(1)判判别PBC的外形的外形,并并阐明理由明理由;(2)作点作点C关于直关于直线AP的的对称点称点C,衔接接PC,DC.在在图2中中补全全图形形,并求出并求出APC的度数的度数;猜猜测PCD的度数的度数,并加以并加以证明明.(温馨提示温馨提示:当他遇到困当他遇到困难时,无妨无妨衔接接AC,CC,研研讨图形中特殊的三
44、角形形中特殊的三角形)图2解析解析(1)PBC是等是等边三角形三角形.理由如下理由如下:在正方形在正方形ABCD中中,BC=CD,又又CD=CP,BC=CP,P在在MN上上,PB=PC.PB=BC=PC.PBC是等是等边三角形三角形.(2)补全全图形形,如下如下图.由BA=BP,CBP=60,可求得APB=75,由BPC=60,可得APC=.根据对称性,得APC=APC=.PCD=15.证法一:衔接AC,CC.由可得CPC=90.由对称性可知PC=PC,从而可求得AC=AC=CC=AB.从而ACC为等边三角形.由AC=CC,DA=DC,CD=CD,可证ACDCCD,可得ACD=CCD=30.根
45、据对称性得ACC=ACC,PCC=PCC,所以ACP=ACP,由ABC为等腰直角三角形,可得ACB=45,由PBC为等边三角形,可得BCP=60,从而ACP=ACP=15.所以PCD=ACD-ACP=15.证法二:衔接AC,CC.由BA=BP,CBP=60,可求得BAP=APB=75,又BAC=45,CAP=30.根据对称性,得CAP=CAP=30,从而CAC=60.由对称性可知AC=AC,从而ACC为等边三角形.以下同证法一.22.(2021北京西城一模北京西城一模,28)在在ABC中中,AB=BC,BDAC于点于点D.(1)如如图1,当当ABC=90时,假假设CE平分平分ACB,交交AB于
46、点于点E,交交BD于点于点F,求求证:BEF是等腰三角形是等腰三角形;求求证:BD=(BC+BF);(2)点点E在在AB边上上,衔接接CE.假假设BD=(BC+BF),在在图2中中补全全图形形,判判别ACE与与ABC之之间的数的数量关系量关系,写出他的写出他的结论,并写出求解并写出求解ACE与与ABC关系的思关系的思绪.图1图2解析在解析在ABC中中,AB=BC,BDAC于点于点D.ABD=CBD,AD=CD.(1)证明明:ABC=90,ACB=45.CE平分平分ACB,ECB=ACE=22.5.BEF=CFD=BFE=67.5.BE=BF.BEF是等腰三角形是等腰三角形.证明明:延伸延伸AB
47、至至M,使得使得BM=AB,衔接接CM.BDCM,BD=CM,BCM=DBC=ABD=BMC=45,BFE=MCE.BC=BM.由可得,BEF=BFE,BE=BF.BFE=MCE=BEF.EM=MC,BD=EM=(BC+BF).(2)ACE=ABC.a.与(1)同理可证BDPC,BD=PC,BP=BC;b.由BD=(BC+BF)可知PEC和BEF分别是等腰三角形;c.由BEF+BFE+EBF=180,FCD+DFC=90,可知ACE=ABC.解解题关关键处理此理此题的关的关键是借助是借助辅助助线(建建议运用运用“延伸延伸)构造等腰三角形构造等腰三角形,寻觅边角关角关系系.23.(2021北京朝
48、阳一模北京朝阳一模,28)在在ABC中中,ACB=90,ACBC,点点D在在AC的延伸的延伸线上上,点点E在在BC边上上,且且BE=AD,(1)如如图1,衔接接AE,DE,当当AEB=110时,求求DAE的度数的度数;(2)在在图2中中,点点D是是AC延伸延伸线上的一个上的一个动点点,点点E在在BC边上上(不与点不与点C重合重合),且且BE=AD,衔接接AE,将将线段段AE绕点点E顺时针旋旋转90得到得到线段段EF,衔接接BF,DE.依依题意意补全全图形形;求求证:BF=DE.解析解析(1)AEB=110,ACB=90,DAE=20.(2)补全全图形形,如下如下图.证明明:由由题意可知意可知A
49、EF=90,EF=AE.ACB=90,AEC+BEF=AEC+DAE=90.BEF=DAE.BE=AD,EBFADE.DE=BF.24.(2021北京丰台一模北京丰台一模,28)在在边长为5的正方形的正方形ABCD中中,点点E,F分分别是是BC,DC边上的两个上的两个动点点(不与点不与点B,C,D重合重合),且且AEEF.(1)如如图1,当当BE=2时,求求FC的的长;(2)延伸延伸EF交正方形交正方形ABCD外角平分外角平分线CP于点于点P.依依题意将意将图2补全全;小京小京经过察看、察看、实验提出猜提出猜测:在点在点E运运动的的过程中程中,一直有一直有AE=PE.小京把小京把这个猜个猜测与
50、同窗与同窗们进展交流展交流,经过讨论,构成了构成了证明明该猜猜测的三种想法的三种想法:想法想法1:在在AB上截取上截取AG=EC,衔接接EG,要要证AE=PE,需需证AGEECP.想法想法2:作点作点A关于关于BC所在直所在直线的的对称点称点H,衔接接BH,CH,EH,要要证AE=PE,需需证EHP为等腰三角等腰三角形形.想法想法3:将将线段段BE绕点点B顺时针旋旋转90,得到得到线段段BM,衔接接CM,EM,要要证AE=PE,需需证四四边形形MCPE为平行四平行四边形形.请他参考上面的想法他参考上面的想法,协助小京助小京证明明AE=PE.(一种方法即可一种方法即可)解析解析(1)正方形正方形
51、ABCD的的边长为5,BE=2,EC=3.四边形ABCD是正方形,B=C=90,1+3=90,AEEF,2+3=90,1=2.ABEECF,=,即=,FC=.(2)依题意补全图形.证法一:在AB上截取AG=EC,衔接EG.AB=BC,GB=EB.B=90,BGE=45,AGE=.DCB=90,CP是正方形ABCD的外角平分线,ECP=.AGE=ECP.又1=2,AGEECP.AE=PE.证法二:作点A关于BC所在直线的对称点H,衔接BH,CH,EH.AB=BH=BC,ABE=HBE=90.1=4,BHC=BCH=45,AE=EH,4+5=45.1=2,2+5=45.ECP=,HCP=180,点
52、H,C,P在同一条直线上.6=2+P=45,5=P.EH=PE,AE=PE.证法三:将线段BE绕点B顺时针旋转90,得到线段BM,衔接CM,EM.MB=EB,MEB=45,MEC=.由证法一知ECP=,MEC=ECP.MEPC.又AB=BC,ABC=MBC=90,ABECBM.1=BCM,MC=AE.由(1)知1=2,2=BCM,MCEP.四边形MCPE为平行四边形.MC=PE.AE=PE.解解题关关键此此题提供了三种方法提供了三种方法,都是正确的都是正确的,但有但有简有繁有繁.构造全等在有角等的情况下构造全等在有角等的情况下,选择截取截取边.处理此理此题的关的关键是要根据知添加是要根据知添加
53、辅助助线,同同时要掌握全等三角形的断定方法要掌握全等三角形的断定方法.25.(2021北京北京顺义一模一模,28)在正方形在正方形ABCD和正方形和正方形DEFG中中,顶点点B、D、F在同不断在同不断线上上,H是是BF的中点的中点.(1)如如图1,假假设AB=1,DG=2,求求BH的的长;(2)如如图2,衔接接AH,GH.小宇察看小宇察看图2,提出猜提出猜测:AH=GH,AHGH.小宇把小宇把这个猜个猜测与同窗与同窗们进展交流展交流,经过讨论,构成构成了了证明明该猜猜测的几种想法的几种想法:想法想法1:延伸延伸AH交交EF于点于点M,衔接接AG,GM,要要证明明结论成立只需成立只需证GAM是等
54、腰直角三角形是等腰直角三角形;想法2:衔接AC,GE分别交BF于点M,N,要证明结论成立只需证AMHHNG.请他参考上面的想法,协助小宇证明AH=GH,AHGH.(一种方法即可)解析解析(1)在正方形在正方形ABCD和正方形和正方形DEFG中中,ABD,GDF为等腰直角三角形等腰直角三角形.AB=1,DG=2,由勾股定理求得由勾股定理求得BD=,DF=2.B、D、F三点共三点共线,BF=3.H是是BF的中点的中点,BH=BF=.(2)证法一法一:延伸延伸AH交交EF于点于点M,衔接接AG,GM,在正方形ABCD和正方形DEFG中,ABD=DFE=45,又B、D、F共线,ABH=MFH.又BH=
55、FH,AHB=MHF,ABHMFH.AH=MH,AB=MF.AB=AD,AD=MF.DG=FG,ADG=MFG=90,ADGMFG.AGD=MGF,AG=MG.又DGM+MGF=90,AGD+DGM=90.AGM为等腰直角三角形.AH=MH,AH=GH,AHGH.证法二:衔接AC,GE分别交BF于点M,N,在正方形ABCD和正方形DEFG中,ACBD,GEDF,DM=BD,DN=DF.AMD=GNH=90,B、D、F三点共线,MN=BF.H是BF的中点,BH=BF.BH=MN.BH-MH=MN-MH.BM=HN.AM=BM=DM,AM=HN=DM.MD+DH=NH+DH.MH=DN.DN=GN
56、,MH=GN.AMHHNG.AH=GH,AHM=HGN.HGN+GHN=90,AHM+GHN=90.AHG=90.AHGH.26.(2021北京海淀一模北京海淀一模,28)在在 ABCD中中,点点B关于直关于直线AD的的对称点称点为B,衔接接AB,CB,CB交交AD于于F点点.(1)如如图1,ABC=90,求求证:F为CB的中点的中点.(2)小宇小宇经过察看、察看、实验、提出猜、提出猜测:如如图2,在点在点B绕点点A旋旋转的的过程中程中,点点F一直一直为CB的中点的中点.小宇把小宇把这个猜个猜测与同窗与同窗们进展交流展交流,经过讨论,构成了构成了证明明该猜猜测的几种想法的几种想法:想法想法1:
57、过点点B作作BGCD交交AD于于G点点,只需只需证三角形全等三角形全等;想法想法2:衔接接BB交交AD于于H点点,只需只需证H为BB的中点的中点;想法想法3:衔接接BB,BF,只需只需证BBC=90.请他参考上面的想法他参考上面的想法,证明明F为CB的中点的中点.(一种方法即可一种方法即可)(3)如如图3,当当ABC=时,AB,CD的延伸的延伸线相交于点相交于点E,求求的的值.图3解析解析(1)证明明:四四边形形ABCD为平行四平行四边形形,ABC=90,ABCD为矩形矩形,AB=CD.D=BAD=90.B,B关于直关于直线AD对称称,BAD=BAD=90,AB=AB.BAD=D,AB=CD.
58、AFB=CFD,AFBDFC(AAS).FB=FC.F是是CB的中点的中点.(2)证法一法一:过点点B作作BGCD交交AD于于G点点.B,B关于直线AD对称,1=2,AB=AB.BGCD,ABCD,BGAB.2=3.1=3.BA=BG.AB=CD,AB=AB,BG=CD.BGCD,4=D.BFG=CFD,BFGCFD(AAS).FB=FC.F是CB的中点.证法二:衔接BB交AD于H点.B,B关于直线AD对称,直线AD是线段BB的垂直平分线.BH=HB.ADBC,=1.FB=FC.F是CB的中点.证法三:衔接BB,BF.B,B关于直线AD对称,直线AD是线段BB的垂直平分线.BF=FB.1=2.
59、ADBC,BBBC.BBC=90.1+3=90,2+4=90.3=4.FB=FC.BF=FB=FC.F是CB的中点.(3)取BE的中点G,衔接GF.由(2)得,F为CB的中点,FGCE,FG=CE.ABC=,ADBC,BAD=180-ABC=45.由对称性,知EAD=BAD=45.FGCE,ABCD,FGAB.GFA=FAB=45.FGA=90,GA=GF.FG=sinEADAF=AF.由可得=.解解题思思绪(1)利用三角形全等利用三角形全等证线段相等段相等.(2)根据根据标题中的想法中的想法证明明.(3)衔接接GF,证明明AFG是等腰直角三角形是等腰直角三角形,以以FG为中中间量求解量求解.
60、解解题关关键处理此理此题第第(3)问的关的关键是要是要经过构造中点构造中点寻觅45角角,并借助并借助FG寻觅等量关系等量关系.27.(2021北京北京东城一模城一模,28)在等腰在等腰ABC中中,(1)如如图1,假假设ABC为等等边三角形三角形,D为线段段BC中点中点,线段段AD关于直关于直线AB的的对称称线段段为线段段AE,衔接接DE,那么那么BDE的度数的度数为;(2)假假设ABC为等等边三角形三角形,点点D为线段段BC上一上一动点点(不与不与B,C重合重合),衔接接AD并将并将线段段AD绕点点D逆逆时针旋旋转60得到得到线段段DE,衔接接BE.根据根据题意在意在图2中中补全全图形形;小玉
61、小玉经过察看、察看、验证,提出猜提出猜测:在点在点D运运动的的过程中程中,恒有恒有CD=BE.经过与同窗与同窗们的充分的充分讨论,构成了几种构成了几种证明的思明的思绪:思思绪1:要要证明明CD=BE,只需求只需求衔接接AE,并并证明明ADCAEB;思思绪2:要要证明明CD=BE,只需求只需求过点点D作作DFAB,交交AC于于F,证明明ADFDEB;思思绪3:要要证明明CD=BE,只需求延伸只需求延伸CB至点至点G,使得使得BG=CD,证明明ADCDEG.请参考以上思参考以上思绪,协助小玉助小玉证明明CD=BE.(只需求用一种方法只需求用一种方法证明即可明即可)(3)小玉的小玉的发现启启发了小明
62、了小明:如如图3,假假设AB=AC=kBC,AD=kDE,且且ADE=C,此此时小明小明发现BE,BD,AC三者之间满足一定的数量关系,这个数量关系是.(直接给出结论无需证明)解析解析(1)30.(2)补全全图形如下形如下图.思思绪1:如如图,衔接接AE.AD=DE,ADE=60,ADE为等等边三角形三角形,AE=AD.又又ABC为等等边三角形三角形,EAD=BAC=60,AB=AC.EAD-BAD=BAC-BAD,EAB=DAC.EABDAC.CD=BE.思绪2:过点D作DFAB,交AC于F.ABC为等边三角形,BAC=C=60,DFAB,DFC=60.CDF为等边三角形.AF=BD.ADE
63、=ACB=ABC=60,DAF=EDB.又AD=DE,ADFDEB.DF=BE=CD.思绪3:延伸CB至G,使BG=CD.BG+BD=CD+BD,DG=BC.ABC为等边三角形,BC=AC,C=60.DG=AC.由证法二知EDB=DAC,又AD=DE,ADCDEG,DC=EG,C=G=60,GBE是等边三角形,EG=BE,CD=BE.(3)k(BE+BD)=AC.28.(2021北京丰台二模北京丰台二模,28)知正方形知正方形ABCD,点点E,F分分别在射在射线AB,射射线BC上上,AE=BF,DE与与AF交于点交于点O.(1)如如图1,当点当点E,F分分别在在线段段AB,BC上上时,那么那么
64、线段段DE与与AF的数量关系是的数量关系是,位置关系是位置关系是;(2)如如图2,当点当点E在在线段段AB的延伸的延伸线上上时,将将线段段AE沿沿AF平移至平移至FG,衔接接DG.依依题意将意将图2补全全;小亮小亮经过察看、察看、实验提出猜提出猜测:在点在点E运运动的的过程中程中,一直有一直有DG2=2AD2+2AE2.小亮把小亮把这个猜个猜测与同窗与同窗们进展交流展交流,经过讨论,构成了构成了证明明该猜猜测的几种想法的几种想法:想法想法1:衔接接EG,要要证明明DG2=2AD2+2AE2,只需只需证四四边形形FAEG是平行四是平行四边形及形及DGE是等腰直是等腰直角三角形角三角形.想法想法2
65、:延伸延伸AD,GF交于点交于点H,要要证明明DG2=2AD2+2AE2,只需只需证DGH是直角三角形是直角三角形.请他参考上面的想法,协助小亮证明DG2=2AD2+2AE2.(一种方法即可)解析解析(1)相等相等;垂直垂直.(2)依依题意意补全全图形形.证法一法一:衔接接GE.由平移可得AE=FG,AEFG,四边形AEGF是平行四边形.AF=EG,AFEG,1=2.四边形ABCD是正方形,AD=AB,DAE=ABC=90.在AED和BFA中,AEDBFA.3=4,AF=DE.EG=DE.2+4=90,1+3=90,DEG=90.DG2=DE2+EG2=2DE2.又DE2=AD2+AE2,DG
66、2=2AD2+2AE2.证法二:延伸AD,GF交于点H,由平移可得AE=FG,AEFG,H+DAB=180.四边形ABCD是正方形,DAB=90,AD=DC.H=90.DG2=GH2+DH2.HDC=DCF=90,四边形HDCF是矩形.HF=DC.HF=AD.HG=FG+HF,HG=AE+HF=AE+AD.易证BF=AH且BF=AE,HD=AE-AD.DG2=(AE+AD)2+(AE-AD)2=2AD2+2AE2.29.(2021北京西城一模北京西城一模,28)在正方形在正方形ABCD中中,点点P是射是射线CB上一个上一个动点点.衔接接PA,PD,点点M,N分分别为BC,AP的中点的中点,衔接
67、接MN交交PD于点于点Q.(1)如如图1,当点当点P与点与点B重合重合时,QPM的外形是的外形是;(2)当点当点P在在线段段CB的延伸的延伸线上上时,如如图2.依依题意意补全全图2;判判别QPM的外形并加以的外形并加以证明明;(3)点点P与点与点P关于直关于直线AB对称称,且点且点P在在线段段BC上上.衔接接AP,假假设点点Q恰好在直恰好在直线AP上上,正方形正方形ABCD的的边长为2,请写出求此写出求此时BP长的思的思绪.(可以不写出可以不写出计算算结果果)解析解析(1)等腰直角三角形等腰直角三角形.(2)补全全图形形,如下如下图.QPM是等腰三角形是等腰三角形.证明明:延伸延伸BC至至E,
68、使使CE=BP,衔接接AE,如如图.PB=CE,PB+BC=CE+BC,即CP=BE.四边形ABCD是正方形,AB=DC,ABC=DCB=90.在DCP和ABE中,DCPABE.1=E.M为BC的中点,MB=MC.MB+BP=MC+CE,即MP=ME.M为PE的中点.N为AP的中点,NMAE.2=E.1=2.QP=QM.QPM是等腰三角形.(3)求解思绪如下:a.由题意画出图形,并延伸BC至E,使CE=BP,衔接AE,如图.b.由(2)可得QMAE,可得=;c.由PPAD,可得PPQADQ,从而=;d.可得=;e.由点P与点P关于直线AB对称,得BP=BP=CE,设BP=BP=CE=x,由AD
69、=BC=2,M为BC的中点,可分别表示出PM,ME,PP,可求BP的长.思思绪分析分析(1)易知易知BMN为等腰直角三角形等腰直角三角形,结合正方形的合正方形的对称性称性,可知可知QPM为等腰直角等腰直角三角形三角形.(2)依依题意画意画图,由由M、N为中点中点,构造以构造以MN为中位中位线的三角形的三角形,从而从而证明明QPM为等腰三角形等腰三角形.(3)借助借助(2)的思想的思想进展解展解题.解解题技巧技巧这类由特殊到普通的由特殊到普通的动点点问题要要寻求共同点求共同点,同同时留意上一留意上一问对下一下一问的影响的影响.30.(2021北京海淀一模北京海淀一模,28)在在ABC中中,AB=
70、AC,BAC=90,点点D在射在射线BC上上(与与B、C两点不重两点不重合合),以以AD为边作正方形作正方形ADEF,使点使点E与点与点B在直在直线AD的异的异侧,射射线BA与射与射线CF相交于点相交于点G.(1)假假设点点D在在线段段BC上上,如如图1,依依题意意补全全图1;判判别BC与与CG的数量关系与位置关系的数量关系与位置关系,并加以并加以证明明;(2)假假设点点D在在线段段BC的延伸的延伸线上上,且且G为CF的中点的中点,衔接接GE,AB=,那么那么GE的的长为,并并简述求述求GE长的思的思绪.解析解析(1)补全全图形形,如下如下图.BC与与CG的数量关系的数量关系为BC=CG,位置
71、关系位置关系为BCCG.证明明:AB=AC,BAC=90,B=ACB=45,1+2=90.射射线BA、CF相交于点相交于点G,CAG=BAC=90.四四边形形ADEF为正方形正方形,DAF=2+3=90,AD=AF.1=3.在在ABD和和ACF中中,ABDACF.B=ACF=45.B=G=45,BCG=90.BC=CG,BCCG.(2)GE=.思绪如下:a.画出图形,如下图.b.与同理,可得BD=CF,BC=CG,BCCG;c.由AB=,G为CF中点,可得BC=CG=FG=CD=2;d.过点A作AMBD于M,过点E作ENFG于N,可证AMDFNE,可得AM=FN=1,NE所在直线为FG的垂直平
72、分线,FE=EG;e.在RtAMD中,AM=1,MD=3,可得AD=,故GE=FE=AD=.思思绪分析分析(1)补全全图形形.易易证ABDACF(SAS),那么那么BCG为等腰直角三角形等腰直角三角形;(2)由于点由于点D在在BC的延伸的延伸线上上,所以要思索借助所以要思索借助(1)的的证明明过程程,同同时寻觅它它们之之间的差的差别,另外另外,标题中有中有很多相等的很多相等的线段段,所以要思索借助全等三角形来所以要思索借助全等三角形来处理理.解解题关关键处理此理此题的关的关键是要是要发现全等三角形全等三角形,可以根据相等的可以根据相等的线段构造全等的三角形段构造全等的三角形.31.(2021北
73、京朝阳二模北京朝阳二模,28)在在ABC中中,点点D、E分分别在在AB、AC上上,BE、CD相交于点相交于点O,且且DCB=EBC=A.(1)如如图1,假假设AB=AC,那么那么BD与与CE的数量关系是的数量关系是;(2)如如图2,假假设ABAC,请他他补全全图2,思索思索BD与与CE能否依然具有能否依然具有(1)中的数量关系中的数量关系,并并阐明理由明理由;(3)如如图3,BDC=105,BD=3,且且BE平分平分ABC,请写出求写出求BE长的思的思绪.(不用写出不用写出计算算结果果)解析解析(1)BD=CE.(2)补全全图形如形如图.证明明:在在BE上截取上截取BF=CD,衔接接CF.DC
74、B=EBC=A,在在DCB和和FBC中中,DCBFBC.BD=CF,FCB=DBC.CFE=FBC+FCB=FBC+DBC=2FBC+ABE.CEF=A+ABE.CFE=CEF.CF=CE.BD=CE.(3)求解思绪如下:a.如图,过点E作EMBC于M;b.由BE平分ABC,可得ABC=A;c.由BDC=105,可得EBC=25,A=50,ACB=80;d.由(2)知CE=BD=3,在RtCEM中,可求EM的长度;e.在RtBEM中,由EBM的度数和EM的长度,可求BE的长度.思思绪分析分析第第(1)问利用利用ASA证DCBEBC;要要处理第理第(2)问,首先要把第首先要把第(1)问的的结论进
75、展展证明并思索两明并思索两问之之间的的联络;要要处理第理第(3)问,需求将需求将BE放置在有知角的直角三角形中放置在有知角的直角三角形中,这样才干借助三角函数来求才干借助三角函数来求边长.答答题技巧技巧写写“思思绪的的标题,可以可以“节省的是省的是标题的的计算算过程程,可以运用的句式是可以运用的句式是“由由,可得可得(可求可求)等等.32.(2021北京朝阳一模北京朝阳一模,28)在等腰三角形在等腰三角形ABC中中,AC=BC,点点P为BC边上一点上一点(不与不与B、C重合重合),连接接PA,以以P为旋旋转中心中心,将将线段段PA顺时针旋旋转,旋旋转角与角与C相等相等,得到得到线段段PD,衔接
76、接DB.(1)当当C=90时,请他在他在图1中中补全全图形形,并直接写出并直接写出DBA的度数的度数;(2)如如图2,假假设C=,求求DBA的度数的度数(用含用含的代数式表示的代数式表示);(3)衔接接AD,假假设C=30,AC=2,APC=,请写出求写出求AD长的思的思绪.(可以不写出可以不写出计算算结果果)解析解析(1)补全全图形如形如图.DBA=90.(2)过点点P作作PEAC交交AB于点于点E.PEB=CAB.AC=BC,CBA=CAB.PEB=PBE.PB=PE.又BPD+DPE=EPA+DPE=,BPD=EPA.PA=PD,PDBPAE.PBA=PEB=(180-)=90-,PBD
77、=PEA=180-PEB=90+.DBA=PBD-PBA=.(3)求解思绪如下:a.作AHBC于H;b.由C=30,AC=2,可得AH=1,CH=,BH=2-,利用勾股定理可求出AB的长;c.由APC=,可得APH=45,可得AP=;d.由APD=C=30,AC=BC,AP=DP,可得PADCAB,由类似比可求AD的长.思思绪分析分析(1)准确画出准确画出图形形,用好旋用好旋转的性的性质.(2)添加添加辅助助线,构造全等三角形构造全等三角形.(3)知中有两知中有两个特殊角个特殊角,所以所以应思索构造直角三角形思索构造直角三角形.解解题关关键处理此理此题的关的关键是要用好旋是要用好旋转的相关性的
78、相关性质,同同时此此题中有大量相等的中有大量相等的线段段,要思索要思索借助全等三角形来解借助全等三角形来解题.33.(2021北京石景山一模北京石景山一模,28)在正方形在正方形ABCD中中,E为边CD上一点上一点,衔接接BE.(1)请他在他在图1中画出中画出BEM,使得使得BEM与与BEC关于直关于直线BE对称称;(2)假假设边AD上存在一点上存在一点F,使得使得AF+CE=EF,请他在他在图2中探求中探求ABF与与CBE的数量关系并的数量关系并证明明;(3)在在(2)的条件下的条件下,假假设点点E为边CD的三等分点的三等分点,且且CEDE,请写出求写出求cosFED的思的思绪.(可以不写可
79、以不写出出计算算结果果)解析解析(1)如下如下图.(2)ABF与与CBE的数量关系是的数量关系是ABF+CBE=45.证明明:衔接接BF,EF,延伸延伸DC到到G,使得使得CG=AF,衔接接BG.四四边形形ABCD为正方形正方形,AB=BC,A=BCD=ABC=90.BAFBCG.BF=BG,ABF=CBG.AF+CE=EF,EF=GE.BEFBEG.FBE=GBE,GBE=GBC+CBE=ABF+CBE,FBE=ABF+CBE.ABF+CBE=45.(3)求解思绪如下:a.设正方形的边长为3a,AF=x,那么EF=x+a,DF=3a-x,DE=2a;b.在RtEFD中,由EF2=DF2+DE
80、2,可得(x+a)2=(3a-x)2+(2a)2,从而得到x与a的关系2x=3a;c.根据cosFED=,可求得结果.34.(2021北京海淀二模北京海淀二模,28)知知:AB=BC,ABC=90.将将线段段AB绕点点A逆逆时针旋旋转角角(090)得到得到线段段AD.点点C关于直关于直线BD的的对称点称点为E,衔接接AE,CE.(1)如如图,补全全图形形;求求AEC的度数的度数;(2)假假设AE=,CE=-1,请写出求角写出求角度数的思度数的思绪.(可以不写出可以不写出计算算结果果)解析解析(1)补全全图形形,如下如下图.衔接接BE.AB=BC,E,C关于直关于直线BD对称称,AB=BC=BE
81、.C=BEC,BAE=BEA.AEC=C+BAE.ABC=90,BAE+AEC+C=270,即2AEC=270,AEC=.(2)求解思绪如下:a.衔接AC,过点A作AFCE,交CE的延伸线于点F,如下图;b.由知AEC=,由AE=可求得AF=EF=1;c.由CE=-1,可求得FC=,AC=2,AB=BC=,可证ABE为等边三角形;d.由C,E两点关于直线BD对称,AB=AD,可求EBD=15,ABD=75,=30.思思绪分析分析(1)补全全图形形.由四由四边形内角和形内角和为360及等腰三角形的性及等腰三角形的性质求解求解.(2)在在(1)的的根底上构造等腰直角三角形根底上构造等腰直角三角形,
82、利用解直角三角形利用解直角三角形进展求解展求解.35.(2021北京石景山二模北京石景山二模,28)如如图,正方形正方形ABCD,G为BC延伸延伸线上一点上一点,E为射射线BC上一点上一点,衔接接AE.(1)假假设E为BC的中点的中点,将将线段段EA绕着点着点E顺时针旋旋转90,得到得到线段段EF,衔接接CF.请补全全图形形;求求证:DCF=FCG;(2)假假设点点E在在BC的延伸的延伸线上上,过点点E作作AE的垂的垂线交交DCG的平分的平分线于点于点M,判判别AE与与EM的数量的数量关系并关系并证明他的明他的结论.解析解析(1)补全全图形形,如下如下图.证法一法一:过F作作FHBG于于H,由
83、由题意得意得AEEF,AE=EF.B=AEF=EHF=90,AEB+FEC=90,AEB+BAE=90,BAE=HEF,ABEEHF.BE=FH,AB=EH,E为BC的中点,BE=CE=CH=FH.DCF=FCG=45.证法二:取线段AB的中点H,衔接EH.由题意得AEEF,AE=EF.AEB+FEC=90.在正方形ABCD中,B=90,AEB+BAE=90.FEC=BAE.AB=BC,E,H分别为BC,AB的中点,AH=EC,ECFAHE.ECF=AHE=,DCF=ECF-ECD=45.FCG=45.DCF=FCG.(2)AE=EM.证明:在BA的延伸线上取一点N,使BN=BE,衔接EN.在
84、正方形ABCD中,AB=BC,NA=CE.B=90,N=45.CM平分DCG,DCG=BCD=90,MCE=N=45.ADBG,DAE=AEC.AEM=NAD=90,NAE=CEM.NAECEM.AE=EM.教师公用题组教师公用题组1.(2021河北河北,25,10分分)如如图,点点A在数在数轴上上对应的数的数为26,以原点以原点O为圆心心,OA为半径作半径作优弧弧,使点使点B在在O右下方右下方,且且tanAOB=.在在优弧弧上任取一点上任取一点P,且能且能过P作直作直线lOB交数交数轴于于点点Q,设Q在数在数轴上上对应的数的数为x,衔接接OP.(1)假假设优弧弧上一段上一段的的长为13,求求
85、AOP的度数及的度数及x的的值;(2)求求x的最小的最小值,并指出此并指出此时直直线l与与所在所在圆的位置关系的位置关系;(3)假假设线段段PQ的的长为12.5,直接写出直接写出这时x的的值.备用用图解析解析(1)设AOP=n,那么那么=13,得得n=90,即即AOP=90.lOB,tanPQO=tanAOB=,x=19.5.(2)要使要使x变小小,那么那么l向左平移向左平移.如如图,当当l平移到与平移到与所在所在圆相切位置相切位置l1时,O与与l的的间隔到达最大隔到达最大值OP1=26,此此时Q1所所对应的的(负)数最小数最小.在在RtP1Q1O中中,tanP1Q1O=tanAOB=,设P1
86、Q1=3k,那么那么OP1=4k=26,于是于是OQ1=5k,x最小最小=-5=-32.5.此此时直直线l与与所在所在圆相切相切.(3)31.5,-16.5.【注:下面是(3)的一种解法:过点P作PH直线OA于H.在RtPHQ中,由tanHQP=,设PH=4k,HQ=3k,那么PQ=5k=12.5,PH=10,HQ=7.5.在RtPOH中,OH=24.当点P在O右上方时,如图,x=OQ=OH+HQ=31.5.当点P在O左上方时,如图,-x=OQ=OH-HQ=16.5,x=-16.5.当点P在O左下方时,如图,-x=OQ=OH+HQ=31.5,x=-31.5.另外,tanPOH=tanAOB,P
87、OHAOB,优弧上不存在点P在O右下方的情况】思思绪分析分析(1)首先利用弧首先利用弧长公式求出公式求出圆心角心角AOP,进而利用而利用OQP=AOB,tanAOB=求求得得x的的值.(2)要使要使x变小小,那么直那么直线l向左平移向左平移.当直当直线l与与所在所在圆相切相切时,x的的值最小最小.利用利用P1Q1O=AOB,tanAOB=求得求得x的最小的最小值.(3)作作PH直直线OA于于H,先求出先求出OH和和HQ的的值,再分三种再分三种情形情形:点点P在在O的右上方、左上方、左下方求出的右上方、左上方、左下方求出x的的值.难点分析点分析此此题是以平移是以平移为背景的探求背景的探求题,此此
88、类问题在在图形形发生生变化化时,要擅要擅长从从动态位置中位置中寻觅不不变的关系的关系.点点P的位置确的位置确实定是定是处理理问题的关的关键.易易错警示警示此此题为动态的的综合合题,需将点需将点P的位置分的位置分类讨论,学生往往只画出点学生往往只画出点P在在O的右上方的右上方或左下方而致或左下方而致错.2.(2021辽宁沈阳宁沈阳,24,12分分)知知:ABC是等腰三角形是等腰三角形,CA=CB,0ACB90,点点M在在边AC上上,点点N在在边BC上上(点点M、点、点N不与所在不与所在线段端点重合段端点重合),BN=AM,衔接接AN,BM.射射线AGBC,延伸延伸BM交射交射线AG于点于点D,点
89、点E在直在直线AN上上,且且AE=DE.(1)如如图,当当ACB=90时:求求证:BCMACN;求求BDE的度数的度数;(2)当当ACB=,其他条件不其他条件不变时,BDE的度数是的度数是;(用含用含的代数式表示的代数式表示)(3)假假设ABC是等是等边三角形三角形,AB=3,点点N是是BC边上的三等分点上的三等分点,直直线ED与直与直线BC交于点交于点F,请直接写出直接写出线段段CF的的长.备用图1备用图2解析解析(1)证明明:CA=CB,BN=AM,CB-BN=CA-AM,即即CN=CM,BC=AC,MCB=ACN,CM=CN,BCMACN.BCMACN,MBC=NAC,EA=ED,EAD
90、=EDA,AGBC,GAC=ACB=90,ADB=DBC,ADB=NAC,ADB+EDA=NAC+EAD=180-90=90,BDE=90.(2)或180-.(3)4或.详解:(2)由E在直线AN上,可知,分两种情况讨论:如图1,E与N在点A异侧,可得BDE=180-;如图2,E与N在点A同侧,可得BDE=.图1图2(3)由点N是BC边上的三等分点可知,分两种情况讨论:如图3,当CN=MC=BC=2时,由ADBC可得ADMCBM,=,=,AD=.由EA=ED得AN=DF,又由BCMACN可得AN=BM.过点A作AHBC于H,由勾股定理可得,AN=.由(2)知BDE=120BDF=60,从而可得
91、BCMBDF,=,=,BF=,CF=BF-BC=.图3图4如图4,当CN=BC=时,与同法可求得CF=4.思思绪分析分析(1)由由“边角角边可可证三角形全等三角形全等.BDE=EDA+ADM,由等由等边对等角可等角可得得EAD=EDA.由由BCMACN,可得可得CBM=CAN,由两直由两直线平行平行,内内错角相等角相等,可得可得ADM=CBM,DAM=C=90.而而CAN+EAD+DAM=180,CAN+EAD=90,BDE=90.(2)分分E与与N在点在点A同同侧和异和异侧两种情况两种情况讨论求解求解.(3)N为BC的三等分点的三等分点,分分类讨论BN=BC和和BN=BC两种情况两种情况.易
92、易错警示警示此此题的易的易错点在于点在于审题,第第(2)问E在直在直线AN上上,第第(3)问点点N是是BC边上的三等分点上的三等分点,都需求分都需求分类讨论.3.(2021重重庆,24,10分分)如如图,在平行四在平行四边形形ABCD中中,点点O是是对角角线AC的中点的中点,点点E是是BC上一点上一点,且且AB=AE,衔接接EO并延伸交并延伸交AD于点于点F.过点点B作作AE的垂的垂线,垂足垂足为H,交交AC于点于点G.(1)假假设AH=3,HE=1,求求ABE的面的面积;(2)假假设ACB=45,求求证:DF=CG.解析解析(1)AH=3,HE=1,AB=AE,AB=AE=AH+HE=4.B
93、GAE,AHB=90.AB2=AH2+BH2.BH=.SABE=AEBH=4=2.(4分分)(2)证明明:四四边形形ABCD为平行四平行四边形形,ADBC,AD=BC,FAO=ECO.点点O为AC的中点的中点,AO=CO.在在AOF和和COE中中,FAO=ECO,AO=CO,AOF=COE,AOFCOE,AF=CE.DF=BE.(6分)如图,过点A作AMBC交BC于点M,交BG于点Q,过点G作GNBC交BC于点N.AMB=AME=GNC=GNB=90.AHB=AMB.AQH=BQM,QAH=GBN.AB=AE,AMBE,BAM=QAH,BM=ME.BAM=QAH=GBN.ACB=45,AMBE
94、,CAM=ACB=45.BAG=45+BAM,BGA=45+GBN,BAG=BGA.AB=GB.AB=AE,AE=BG.在AME和BNG中,AME=BNG,EAM=GBN,AE=BG,AMEBNG.ME=NG.BE=2ME=2NG.在RtGNC中,GCN=45,CG=NG.CG=2NG,即BE=2NG=CG.DF=BE=CG.(10分)思思绪分析分析(1)根据勾股定理求出根据勾股定理求出BH的的长,进而利用三角形的面而利用三角形的面积公式求得公式求得ABE的面的面积;(2)根据平行四根据平行四边形的性形的性质和全等三角形可得和全等三角形可得BE=DF.过点点A作作AMBC,过点点G作作GNBC
95、,根据等根据等腰三角形的性腰三角形的性质得得BAM=QAH,BM=ME=BE,经过求求证BAM=GBN,可得可得BAG=BGA,进而可得而可得AB=AE=BG,利用利用AMEBNG,得出得出NG=ME=BE,最后利用最后利用CG=NG得出得出DF=BE=CG.方法指点方法指点对于以特殊四于以特殊四边形形为背景的全等三角形的断定背景的全等三角形的断定,普通都是普通都是经过特殊四特殊四边形的性形的性质找出找出证全等所需求的全等所需求的边或角的相等关系或角的相等关系,从而从而进展展证明明.4.(2021广广东,25,9分分)如如图,BD是正方形是正方形ABCD的的对角角线,BC=2.边BC在其所在的
96、直在其所在的直线上平移上平移,将将经过平移得到的平移得到的线段段记为PQ,衔接接PA、QD,并并过点点Q作作QOBD,垂足垂足为O,衔接接OA、OP.(1)请直接写出直接写出线段段BC在平移在平移过程中程中,四四边形形APQD是什么四是什么四边形形;(2)请判判别OA、OP之之间的数量关系和位置关系的数量关系和位置关系,并加以并加以证明明;(3)在平移在平移变换过程中程中,设y=SOPB,BP=x(0x2),求求y与与x之之间的函数关系式的函数关系式,并求出并求出y的最大的最大值.解析解析(1)四四边形形APQD是平行四是平行四边形形.(2)OA=OP且且OAOP.证明如下明如下:当当BC向右
97、平移向右平移时,如如图,四四边形形ABCD是正方形是正方形,AB=BC,ABD=CBD=45.PQ=BC,AB=PQ.QOBD,BOQ=90,BQO=90-CBD=45,BQO=CBD=ABD=45,OB=OQ.在ABO和PQO中,ABOPQO(SAS).OA=OP,AOB=POQ.POQ+BOP=BOQ=90,AOB+BOP=90,即AOP=90.OAOP,OA=OP且OAOP.当BC向左平移时,如图,同理可证,ABOPQO(SAS).OA=OP,AOB=POQ,AOP+POB=POB+BOQ,AOP=BOQ=90,OAOP,OA=OP且OAOP.(3)过点O作OEBC于E.在RtBOQ中,
98、OB=OQ,OE=BQ.当BC向右平移时,如图,BQ=BP+PQ=x+2,OE=(x+2).y=SOPB=BPOE=x(x+2),y=x2+x(0x2).当x=2时,y有最大值2.当BC向左平移时,如图,BQ=PQ-PB=2-x,OE=(2-x).y=SOPB=BPOE=x(2-x),y=-x2+x(0x2).当x=1时,y有最大值.综上所述,线段BC在其所在直线上平移的过程中,OPB的面积可以获得最大值,最大值为2(参考以下图).5.(2021江江苏扬州州,28,12分分)知矩形知矩形ABCD的一条的一条边AD=8,将矩形将矩形ABCD折叠折叠,使得使得顶点点B落在落在CD边上的上的P点点处
99、.(1)如如图1,知折痕与知折痕与边BC交于点交于点O,衔接接AP、OP、OA.求求证:OCPPDA;假假设OCP与与PDA的面的面积比比为1 4,求求边AB的的长;(2)假假设图1中的点中的点P恰好是恰好是CD边的中点的中点,求求OAB的度数的度数;(3)如如图2,在在(1)的条件下的条件下,擦去折痕擦去折痕AO、线段段OP,衔接接BP.动点点M在在线段段AP上上(点点M与点与点P、A不不重合重合),动点点N在在线段段AB的延伸的延伸线上上,且且BN=PM,衔接接MN交交PB于点于点F,作作MEBP于点于点E.试问当点当点M、N在挪在挪动过程中程中,线段段EF的的长度能否度能否发生生变化化?
100、假假设变化化,阐明理由明理由;假假设不不变,求出求出线段段EF的的长度度.图1图2解析解析(1)证明明:四四边形形ABCD是矩形是矩形,C=D=90,APD+DAP=90,APO是由是由ABO沿沿AO折叠而得折叠而得,APO=B=90,APD+CPO=90,DAP=CPO,ADPPCO.ADPPCO,=,=,AD=8,CP=4,设AB=x,那么那么DP=x-4,由由D=90得得AP2=AD2+DP2,x2=82+(x-4)2,x=10,即即AB=10.(2)折叠后折叠后AOB与与AOP重合重合,AP=AB,OAB=OAP,AB=CD,AP=CD,P是CD的中点,DP=AP,D=90,PAD=3
101、0,又OAB=OAP,OAB=30.(3)不变.作MHBN交PB于点H,MHP=ABP,MHF=NBF,AP=AB,APB=ABP,MHP=APB,MP=MH,MP=BN,BN=MH,NFB=MFH,NBFMHF,FB=FH,MP=MH,MEPB,PE=EH,EF=EH+FH,EF=EP+FB=PB,由(1)得AB=10,AD=8,DP=6,PC=4,PB=4,EF=PB=2.6.(2021北京北京怀柔一模柔一模,28)在等在等边ABC外外侧作直作直线AP,点点B关于直关于直线AP的的对称点称点为D,衔接接BD,CD,其中其中CD交直交直线AP于点于点E.(1)依依题意意补全全图1;(2)假假
102、设PAB=30,求求ACE的度数的度数;(3)如如图2,假假设60PAB120,判判别由由线段段AB,CE,ED可以构成一个含有多少度角的三角形可以构成一个含有多少度角的三角形,并并证明明.图1图2解析解析(1)补全全图形形,如下如下图.(2)衔接接AD,如如图.点点D与点与点B关于直关于直线AP对称称,AD=AB,DAP=BAP=30.AB=AC,BAC=60,AD=AC,DAC=120.ACE=30.(3)线段AB,CE,ED可以构成一个含有60角的三角形.证明:衔接AD,EB,EB与AC交于点F,如图.点D与点B关于直线AP对称,AD=AB,DE=BE,可证得EDA=EBA.AB=AC,
103、AB=AD,AD=AC,ADE=ACE.ABE=ACE.又AFB=CFE,BAC=BEC=60.ED=BE,AB=BC,线段AB,CE,ED可以构成一个含有60角的三角形.7.(2021北京海淀一模北京海淀一模,28)在菱形在菱形ABCD中中,ADC=120,点点E是是对角角线AC上一点上一点,衔接接DE,DEC=50,将将线段段BC绕点点B逆逆时针旋旋转50并延伸得到射并延伸得到射线BF,交交ED的延伸的延伸线于点于点G.(1)依依题意意补全全图形形;(2)求求证:EG=BC;(3)用等式表示用等式表示线段段AE,EG,BG之之间的数量关系的数量关系.备用用图解析解析(1)补全全图形如下形如
104、下图.(2)证明明:证法一法一:衔接接BE,如如图.四四边形形ABCD是菱形是菱形,ADBC.ADC=120,DCB=60.AC是菱形ABCD的一条对角线,DCA=DCB=30.EDC=180-DEC-DCA=100.由菱形的对称性可知,BEC=DEC=50,EBC=EDC=100.GEB=DEC+BEC=100.GEB=CBE.FBC=50,EBG=EBC-FBC=50.EBG=BEC.在GEB与CBE中,GEBCBE.EG=BC.证法二:衔接BE,设BG与EC交于点H,如图.四边形ABCD是菱形,ADBC.ADC=120,DCB=60.AC是菱形ABCD的一条对角线,DCA=DCB=30.
105、EDC=180-DEC-DCA=100.由菱形的对称性可知,BEC=DEC=50,EBC=EDC=100.FBC=50,EBG=EBC-FBC=50=BEC.BH=EH.在GEH与CBH中,GEHCBH.EG=BC.(3)AE+BG=EG.8.(2021北京北京东城一模城一模,26)在四在四边形形ABCD中中,对角角线AC与与BD交于点交于点O,E是是OC上恣意一点上恣意一点,AGBE于点于点G,交交BD于点于点F.(1)如如图1,假假设四四边形形ABCD是正方形是正方形,判判别AF与与BE的数量关系的数量关系;明明明明发现,AF与与BE分分别在在AOF和和BOE中中,可以可以经过证明明AOF
106、和和BOE全等全等,得到得到AF与与BE的数量关系的数量关系;请回答回答:AF与与BE的数量关系是的数量关系是;(2)如如图2,假假设四四边形形ABCD是菱形是菱形,ABC=120,请参考明明思索参考明明思索问题的方法的方法,求求的的值.解析解析(1)AF=BE.证明明:四四边形形ABCD是正方形是正方形,AOB=BOC=90,AO=BO,AGBE,AFO=BFG,FAO=OBE,在在AFO与与BEO中中,AFOBEO,AF=BE.(2)四四边形形ABCD是菱形是菱形,ABC=120,ACBD,ABO=60,FAO+AFO=90,AGBE,EAG+BEA=90,AFO=BEA,又AOF=BOE=90,AOFBOE,=,ABO=60,ACBD,=tan60=,=.思思绪分析分析(1)证明明AFOBEO.(2)证明三角形明三角形类似似,从而求出从而求出线段的比段的比.解解题关关键处理此理此题的关的关键是要从第是要从第(1)问全等三角形的全等三角形的证明明过程中程中获得启得启发,从而从而发现第第(2)问中的中的类似三角形似三角形,并运用并运用类似三角形的性似三角形的性质及三角函数来及三角函数来处理理.
