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1、第 5 讲 直线、平面垂直的判定与性质1. 直线与平面垂直(1)定义：如果一条直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_一条直线都_，那么这条直线和这个平面垂直(2)判定方法：利用定义；判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条_直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；任意垂直相交第一页，编辑于星期六：七点 二十九分。其他方法：a如果两条_直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面；b如果一条直线垂直于两个_平面中的一个，那么也垂直于另一个平面；c如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们d如果两个_平面都和第三个平面垂直，那么相交平面_的直线垂直于另一个平面；的_也垂直于第
2、三个平面(3)性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线_2平面与平面垂直(1)定义：相交成直二面角的两个平面，叫做互相垂直的平面平行平行交线相交交线平行第二页，编辑于星期六：七点 二十九分。利用定义；判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的_，那么这两个平面互相垂直(3)性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们_的直线垂直于另一个平面)D1垂直于同一条直线的两条直线一定(A平行B相交C异面D以上都有可能2A、B 为空间两点，l 为一条直线，则过 A、B 且垂直于l 的平面()BA不存在C有且只有 1 个B至多 1 个D有无数个垂线交线(2)判定方法：第三页，编辑于星期六：七点
3、二十九分。3若 P 是平面外一点，则下列命题正确的是()DA过 P 只能作一条直线与平面相交B过 P 可作无数条直线与平面垂直C过 P 只能作一条直线与平面平行D过 P 可作无数条直线与平面平行4已知 a、b 是两条不重合的直线，、是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：若 a，a，则； 若，则；，a，b，则 ab； 若，a，b，则 ab.其中正确命题的序号是_.第四页，编辑于星期六：七点 二十九分。5如图 1351，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 PA a，PBPD ，则它的 5 个面中，互相垂直的面有 _对图 13515第五页，编辑于星期六：七点 二十
4、九分。例 1：如图 1353，P 为ABC 所在平面外一点，PA 平面 ABC，ABC90，AEPB 于 E，AFPC 于 F，求证： 图 1353考点 1线面垂直的判定与性质应用(1)BC平面 PAB；(2)AE平面 PBC；(3)PC平面 AEF.第六页，编辑于星期六：七点 二十九分。解题思路：利用线面垂直的判定定理可得到一系列的线面垂直证明：(1)PA 平面 ABC，PA BC.ABC90，ABBC.又 PA ABA，BC平面 PAB.(2)BC平面 PAB，且 AE平面 PAB，BCAE.又PBAE，且 BCPBB，AE平面 PBC.(3)AE平面 PBC，AEPC.又AFPC，且 A
5、EAFA，PC平面 AEF.第七页，编辑于星期六：七点 二十九分。【互动探究】1如图 1354，已知 PA O 所在的平面，AB 是O的直径，C 是O 上任意一点，过 A 点作 AEPC 于点 E，求证：AE平面 PBC.图 1354证明：PA 平面 ABC，PA BC.又AB 是O 的直径，BCAC.PCACC，BC平面 PAC.又AE 在平面 PAC 内，BCAE.PCAE，且 PCBCC，AE平面 PBC.第八页，编辑于星期六：七点 二十九分。考点 2 面面垂直的判定与性质应用例 2：(2010 年广州模拟)如图 1355，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，底面 ABCD 为等腰
6、梯形，ABCD，AB4，BCCD2，AA12，E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点.图 1355(1)设 F 是棱 AB 的中点，证明：直线 EE1平面 FCC1；(2)证明：平面 D1AC平面 BB1C1C.第九页，编辑于星期六：七点 二十九分。解题思路：要证 EE1平面 FCC1，只需证明 EE1 F1C；要证平面 D1AC平面 BB1C1C，则需证明直线 AC平面 BB1C1C.证明：(1)如图 1356，在直四棱柱 ABCDA1B1C1D1 中，取 A1B1 的中点 F1.连接 A1D、C1F1、CF1.AB4，CD2，且 ABCD，CDA1F1，A1F1CD 为平行四边形，CF1
7、A1D.又E、E1 分别是棱 AD、AA1 的中点，EE1A1D，CF1EE1.又EE1平面 FCC1，CF1平面 FCC1，直线 EE1平面 FCC1.图 1356第十页，编辑于星期六：七点 二十九分。图 1357(2)如图 1357，连接 AC. 在直棱柱中，CC1平面 ABCD，AC平面 ABCD， CC1AC.底面 ABCD 为等腰梯形，AB4, BC2，F 是棱 AB 的中点， CFCBBF，BCF 为正三角形，BCF60，ACF为等腰三角形，且ACF30.第十一页，编辑于星期六：七点 二十九分。ACBC.又BC 与 CC1 都在平面 BB1C1C 内且交于点 C，AC平面 BB1C
8、1C，而 AC平面 D1AC，平面 D1AC平面 BB1C1C.证明两个平面垂直有两个基本方法：利用定义证明两个平面所成的二面角是直角；利用面面垂直判定定理证明一个平面经过另一个平面的垂线第十二页，编辑于星期六：七点 二十九分。【互动探究】2如图 1358，已知ABC 是等边三角形，EC平面ABC，BD平面 ABC，且 EC、DB 在平面 ABC 的同侧，M 为EA 的中点，CE2BD.求证：(1)DEDA;(2)平面 BDM平面 ECA；(3)平面 DEA平面 ECA.图 1358第十三页，编辑于星期六：七点 二十九分。证明：如图 1359，取 AC 中点 N，连接 MN、BN.EC平面 A
9、BC，BD平面 ABC，ECBD.在ECA 中，M、N 分别是 EA、CA 中点，又EC2BD，MNBD 且 MNBD，四边形 MNBD 是平行四边形MDBN.EC平面 ABC，且 BN平面 ABC，ECBN.在正三角形 ABC 中，N 是 AC 中点，BNAC.又 ACECC，BN平面 ECA，MD平面 ECA.图 1359第十四页，编辑于星期六：七点 二十九分。平面 BDM平面 ECA.(3)MD平面 ECA，MD平面 DEA，平面 DEA平面 ECA.(1)MD平面 ECA，EA平面 ECA，MDEA.EMMA，RtDMERtDMA，DEDA.(2)MD平面 ECA，MD平面 BDM，第
10、十五页，编辑于星期六：七点 二十九分。图 13510误解分析：面面垂直转化为线而垂直时没有在其中一面内作交线的垂线错源：面面垂直转化为线面垂直时常忽略交线错源：面面垂直转化为线面垂直时常忽略交线例 3：如图 13510，在三棱锥 SABC 中，SA平面ABC，平面 SAB平面 SBC.(1)求证：ABBC；(2)若设二面角 SBCA 为 45，SABC，求二面角 ASCB 的大小第十六页，编辑于星期六：七点 二十九分。(2)SA平面 ABC，平面 SAB平面 ABC.又平面 SAB平面 SBC，SBA 为二面角 SBCA 的平面角SBA45.设 SAABBCa.作 AESC 于 E，连接 EH
11、，则 EHSC.AEH 为二面角 ASCB 的平面角又SA平面 ABC，SABC.SAAHA，BC平面 SAB.AB平面 SAB，ABBC.平面 SAB平面 SBC 且平面 SAB平面 SBCSB，AH平面 SBC.AHBC.正解：(1)作 AHSB 于 H.第十七页，编辑于星期六：七点 二十九分。【互动探究】3如图 13511，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD是菱形，BAD60，ABPA 2，PA 平面 ABCD，E 是 PC的中点，F 是 AB 中点图 13511求证：(1)BE平面 PDF；(2)平面 PDF平面 PAB.第十八页，编辑于星期六：七点 二十九分。证明：(1)取 P
12、D 中点为 M，连 ME、MF.E 是 PC 的中点，ME 是PCD 的中位线ME12CD.F 是 AB 的中点且 ABCD 是菱形，ABCD，MEFB，四边形 MEBF 是平行四边形BEMF.BE平面 PDF，MF平面 PDF，BE平面 PDF.(2)PA 平面 ABCD，DF平面 ABCD，DFPA .底面 ABCD 是菱形，BAD60，DAB 为正三角形F 是 AB 中点，DFAB.PA 、AB 是平面 PAB 内的两条相交直线，DF平面 PAB.DF平面 PDF，平面 PDF平面 PAB.第十九页，编辑于星期六：七点 二十九分。例 4：如图 13512，在正方体 ABCDA1B1C1D
13、 1中，P是侧面 BB1C1C 内一动点，若 P 到直线 BC 与直线 C1D1 的距离)相等，则动点 P 的轨迹所在的曲线是(A直线C双曲线B圆D抛物线图 13512第二十页，编辑于星期六：七点 二十九分。解析：连接 PC1.在正方体中，由 D1C1平面 BCC1B1，得 D1C1PC1，即 PC1 是 P 到直线 C1D1 的距离由题意，点 P 到直线 BC 与到点 C1 的距离相等，故 P 点的轨迹所在的曲线为以 C1 为焦点，BC 为准线的抛物线故选 D.此题巧妙地将立体几何的几何关系与圆锥曲线的定义融合在一起第二十一页，编辑于星期六：七点 二十九分。【互动探究】4如图 13513：正方体 ABCDA1B1C1D1 中，E、F、G、H、K、L 分别为 AB、BB1、B1C1、C1D1、D1D、DA 的中点，则六边形 EFGHKL 在正方体面上的射影可能是( )图 13513B第二十二页，编辑于星期六：七点 二十九分。证明线面垂直的常见方法：证明直线与平面内的两条相交直线都垂直；证明与该线平行的直线与已知平面垂直；借用面面垂直的性质定理在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若没有这样的直线，则可通过作辅助线来解决，而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加第二十三页，编辑于星期六：七点 二十九分。
