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1、牛顿运动定律与力学中的守恒定律复习牛顿运动定律与力学中的守恒定律复习牛顿第二定律牛顿第二定律冲量冲量：动量动量：质点的动量定理质点的动量定理prDFIr=21dtttr质点系的动量定理质点系的动量定理恒力的功恒力的功位移无限小时位移无限小时：变力的功变力的功功功 率率 牛顿三大定律；动量定理，动能定理，功能原理，动量守恒，机械能守恒牛顿三大定律；动量定理，动能定理，功能原理，动量守恒，机械能守恒第五讲第五讲刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律交第交第1,2，3次课作业次课作业刚体刚体受力时不改变形状和体积的物体。受力时不改变形状和体积的物体。特点特点: (1)刚
2、体上任意两点间的距离都保持不变。刚体上任意两点间的距离都保持不变。一一. 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式1. 平动平动在运动中在运动中,刚体内任何两点的连线在空刚体内任何两点的连线在空间的指向始终保持不变间的指向始终保持不变,这样的运动就称为这样的运动就称为平动。平动。特点特点：刚体上各质元的运动状态完全相同：刚体上各质元的运动状态完全相同描述刚体的平动时，可用质心的运动代表。描述刚体的平动时，可用质心的运动代表。(2)刚体由许多质元组成。刚体由许多质元组成。刚体的运动刚体的运动平动实例2. 转动转动定轴转动定轴转动 刚体上的各个质元均作圆周运动，而刚体上的各个质元均作圆周运动，而且各圆
3、的圆心都在一条固定不动的直线上且各圆的圆心都在一条固定不动的直线上的转动。的转动。定点转动定点转动 转轴上有一个点固定不动，而转轴转轴上有一个点固定不动，而转轴的方向在变动的转动。的方向在变动的转动。 刚刚体体的的一一般般运运动动比比较较复复杂杂。但但可可以以证证明明,刚刚体体一一般运动可看作是平动和转动的结合。般运动可看作是平动和转动的结合。 二二. 定轴转动的描述定轴转动的描述定轴转动的特点定轴转动的特点：刚体上各质元均随刚体绕定轴：刚体上各质元均随刚体绕定轴 作圆周运动。作圆周运动。注意注意：转轴并不一定穿过刚体。：转轴并不一定穿过刚体。定轴转动实例平动转动实例1平动转动实例2zO1.描
4、述刚体转动的角量描述刚体转动的角量xP(1) 角坐标角坐标 (2) 角位移角位移(3) 角速度角速度(4) 角加速度角加速度（方向与转向成右手法则）（方向与转向成右手法则）注意注意：刚体转动时，各点：刚体转动时，各点 相同，相同， 亦相同。亦相同。特例特例： 当刚体作匀变速转动时，当刚体作匀变速转动时，2. 描述刚体转动的线量描述刚体转动的线量(1)线位移线位移 ds(2)线速度线速度 v(3)线加速度线加速度 a(at,an)3. 线量与角量的关系线量与角量的关系刚体定轴转动的描述刚体定轴转动的描述描述整体运描述整体运动的角量动的角量 角坐标角坐标 角位移角位移角速度角速度描述刚体上各质描述
5、刚体上各质点运动的线量点运动的线量速度速度 v切向加速度切向加速度 at法向加速度法向加速度 an角量线量角量线量的联系的联系 大小大小 M= F d = F r sin 力矩力矩单位单位 牛顿米牛顿米(Nm) 方向方向 右手定则右手定则yxzO d一、力矩一、力矩 右手定则右手定则 四指由矢径四指由矢径 通过小于通过小于180180 的角度的角度转向力转向力 的方向，姆指指向就是力矩的方向。的方向，姆指指向就是力矩的方向。刚体转动定律二、角动量二、角动量 大小大小 lrmvsin 方向方向 右手螺旋定则判定右手螺旋定则判定单位单位 kgm2/s 设质点的质量、位矢、速度设质点的质量、位矢、速
6、度和动量分别为和动量分别为 。质点相对参考点质点相对参考点O的角动量定义为的角动量定义为 mopxyzO）1. 动量的概念对刚体已失去意义动量的概念对刚体已失去意义P=0一一. 刚体的角动量刚体的角动量2. 刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量刚体的角动量=刚体上各个质元的角动量之和。刚体上各个质元的角动量之和。 zO设刚体以角速度设刚体以角速度 绕固定轴绕固定轴z转动转动,质量为质量为mi的质点对的质点对o点点的角动量为的角动量为 刚体刚体的角动量就是的角动量就是!刚体的角动量刚体的角动量说明说明：由于刚体上每个质元都绕：由于刚体上每个质元都绕z轴作圆周运动，轴作圆周运动，故刚体上所有质元的
7、角动量的矢量和，即整个刚体故刚体上所有质元的角动量的矢量和，即整个刚体的角动量的方向是沿的角动量的方向是沿z轴方向的。故将上式表示的轴方向的。故将上式表示的角动量称为角动量称为刚体对固定轴刚体对固定轴z的角动量的角动量（简称（简称刚体的刚体的角动量角动量）。）。由于刚体角动量的方向只沿轴向，故常常关心由于刚体角动量的方向只沿轴向，故常常关心角动量的大小角动量的大小：角动量物理含义角动量物理含义：在定轴转动中，刚体对转轴的角：在定轴转动中，刚体对转轴的角动量的大小等于刚体对该轴的转动惯量动量的大小等于刚体对该轴的转动惯量J与刚体角与刚体角速度的乘积。速度的乘积。刚体对定轴的角刚体对定轴的角动量大
8、小动量大小3. 转动惯量转动惯量J的计算的计算刚体对固定转轴（可穿过刚体，也可不穿过刚体）刚体对固定转轴（可穿过刚体，也可不穿过刚体）的转动惯量的定义：的转动惯量的定义：（质量分离）（质量分离）（质量连续分布）（质量连续分布） 由刚体的质量分布相对于转轴的分布决由刚体的质量分布相对于转轴的分布决定，对给定的刚体和转轴，它为一常量，称为定，对给定的刚体和转轴，它为一常量，称为转动惯转动惯量量。（质量分离）（质量分离）（质量连续分布）（质量连续分布）转动惯量与刚体各部分质量相对于转轴的分布转动惯量与刚体各部分质量相对于转轴的分布情况有关，其关系概括为以下三点：情况有关，其关系概括为以下三点：（1）
9、形状、大小相同的均匀刚体总质量越）形状、大小相同的均匀刚体总质量越大，转动惯量越大。大，转动惯量越大。（2）总质量相同的刚体，质量分布离轴越总质量相同的刚体，质量分布离轴越远，转动惯量越大。远，转动惯量越大。（3）同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布）同一刚体，转轴不同，质量对轴的分布就不同，因而转动惯量不同。就不同，因而转动惯量不同。 刚体对任一转轴的转动惯量刚体对任一转轴的转动惯量J等于刚体通过质心的平行等于刚体通过质心的平行轴的转动惯量轴的转动惯量Jc加上刚体的加上刚体的总质量总质量m乘以两平行轴间距乘以两平行轴间距离离d的平方，即的平方，即 J=Jc+md2平行轴定理平行轴定理cm质心轴
10、质心轴平行轴平行轴 例例1 质量离散分布刚体：质量离散分布刚体： J= mi ri2 (1)正三角形的各顶点处有一质点正三角形的各顶点处有一质点m，用质量不计的用质量不计的细杆连接细杆连接,如图所示。系统对通过质心如图所示。系统对通过质心C且垂直于三角且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为形平面的轴的转动惯量为lllcrommmlllcrommm 通过通过o点且垂直于三角形平面的轴点且垂直于三角形平面的轴的转动惯量为的转动惯量为 (2)用质量不计的细杆连接的五用质量不计的细杆连接的五个个质点质点, 如图所示。转轴垂直于质点如图所示。转轴垂直于质点所在平面且通过所在平面且通过o点点, 转动惯量为转动
11、惯量为 Om2m3m4m5mllllJO=m.02 +2m(2l2)+3m(2l)2 +4ml2+ 5m(2l2)=30ml2JO=ml2+ml2=2ml2 (1)质量为质量为m、长度为长度为l的细直棒，可绕通过质心的细直棒，可绕通过质心C且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。且垂直于棒的中心轴转动，求转动惯量。 解解 建立如图所示的坐标，将细棒分为若干微元建立如图所示的坐标，将细棒分为若干微元dm=(m/l)dx ,对棒积分得对棒积分得例例2 质量连续分布刚体质量连续分布刚体:记住！x dxxdmCo 若棒绕一端若棒绕一端o转动转动,由平行轴定理，由平行轴定理， 则转动惯量为则转动惯量为 关键
12、关键： 根据具体的情况，选取适当的积分元。根据具体的情况，选取适当的积分元。R (2)均质细圆环均质细圆环(m,R)绕中心轴转绕中心轴转动时，其转动惯量为动时，其转动惯量为 dm (3)均质圆盘均质圆盘(m,R)绕中心轴转动绕中心轴转动时，可将圆盘划分为若干个半径时，可将圆盘划分为若干个半径r、宽宽dr的圆环积分的圆环积分 ：Rrdr记记1. 物理意义物理意义： 力矩的瞬时作用效果是产生角加速度，力矩的瞬时作用效果是产生角加速度，力矩是刚体的转动状态发生变化的原因。力矩是刚体的转动状态发生变化的原因。而转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。而转动惯量是刚体转动惯性大小的量度。2. 平动与转动的平动
13、与转动的类比类比定轴转动定律定轴转动定律表明：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩成正表明：刚体的角加速度与外力对转轴的力矩成正比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。比，与刚体对该轴的转动惯量成反比。定轴转动定律定轴转动定律沿直线平动沿直线平动绕定轴转动绕定轴转动坐标坐标速度速度加速度加速度匀变速匀变速直线运直线运动公式动公式质量质量力力牛顿牛顿第二第二定律定律角坐标角坐标角速度角速度角加速度角加速度匀变速匀变速转动运转动运动公式动公式转动惯量转动惯量力矩力矩转动转动定理定理 解解 由由 M=J , = o+ t 有外力矩时有外力矩时, 例例3 以以20N.m的恒力矩作用在有固定轴的转轮上，在的恒力矩
14、作用在有固定轴的转轮上，在10s内该轮的转速均匀地由零增大到内该轮的转速均匀地由零增大到100rev/min。此此时撤去该力矩时撤去该力矩,转轮经转轮经100s而停止。试推算此转轮对而停止。试推算此转轮对该轴的转动惯量。该轴的转动惯量。 撤去外力矩时撤去外力矩时, -Mf=J 2 , 2=- /t2 (2)代入代入t1=10s , t2=100s , =(1002 )/60=10.5rad/s, 解式解式(1)、(2)得得 J=17.3kg.m2 。20-Mf=J 1， 1= /t1 (因因 o=0) (1)20=J 1， 1= /t1 (因因 o=0) 二二. 转动定律的应用转动定律的应用图
15、6-14mMR 解解 对柱体对柱体,由转动定律由转动定律M=J 有有 mg.R=J 这式子对吗？这式子对吗？ 错！此时绳中张力错！此时绳中张力T mg。 正确的解法是用隔离体法。正确的解法是用隔离体法。 例例4 质量为质量为M、半径为半径为R的匀质柱体可绕通过其中的匀质柱体可绕通过其中心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根心轴线的光滑水平固定轴转动；柱体边缘绕有一根不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为不能伸长的细绳，绳子下端挂一质量为m的物体，的物体，如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。如图所示。求柱体的角加速度及绳中的张力。mg T对对m: mg-T=ma对柱：对柱： TR=J 关联：关联： a=R 解得解得 =2mg/(2m+M)R, T=Mmg/(2m+M)。小结：小结：刚体定轴转动动力学问题的第一种类型刚体定轴转动动力学问题的第一种类型为转动定理的应用。一般处理方法是：确定研为转动定理的应用。一般处理方法是：确定研究对象，进行受力分析。对平动的物体列出牛究对象，进行受力分析。对平动的物体列出牛顿定律方程；对转动的物体列出转动定理方程；顿定律方程；对转动的物体列出转动定理方程；再由角量和线量的关系，将平动和转动联系起再由角量和线量的关系，将平动和转动联系起来，联立方程，求解未知。来，联立方程，求解未知。
