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1、第三章第三章 无限长单位脉冲呼应无限长单位脉冲呼应IIRIIR 滤波器设计滤波器设计 概述概述: 许多信息多信息处置置过程，如信号的程，如信号的过滤，检测、预测等都要用到等都要用到滤波器，数字波器，数字滤波器波器是数字信号是数字信号处置中运用得最广泛的一种置中运用得最广泛的一种线性系性系统，是数字信号，是数字信号处置的重要根底。置的重要根底。 数字数字滤波器的功能本波器的功能本质是将一是将一组输入的数字序列入的数字序列经过一定的运算后一定的运算后转变为另另一一组输出的数字序列。出的数字序列。实现方法主要有两方法主要有两种：数字信号种：数字信号处置硬件和置硬件和计算机算机软件。件。 数字数字滤波
2、器波器线性性时不不变系系统。数字滤波器的数学描画：1)差分方程2)系统函数分类分类: 递归系统递归系统 IIR 非递归系统非递归系统 FIR 高通高通 低通低通 带通带通 带阻带阻数字滤波器的设计步骤：1按照实践需求确定滤波器的性能要求。2用一个因果稳定系统的H(z)或h(n)去逼近这个性能要求，即求h(n)的表达式确定系数、或零极点、，以使滤波器满足给定的性能要求第三章、四章讨论3用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包括选择运算构造：如级联型、并联型、卷积型、频率采样型以及快速卷积FFT型等;选择适宜的字长和有效数字的处置方法等(第五章)。设计方法：1先设计一个适宜的模拟滤波器，然后变换
3、成满足预定目的的数字滤波器。由于模拟的网络综合实际曾经开展得很成熟模拟滤波器有简单而严厉的设计公式，设计起来方便、准确、可将这些实际推行到数字域，作为设计数字滤波器的工具。2最优化设计方法分两步：a)确定一种最优准那么，如最小均方误差准那么，即使设计出的实践频率呼应的幅度特性与所要求的理想频率呼应的均方误差最小，此外还有其他多种误差最小准那么，b)在此最正确准那么下，求滤波的系数和经过不断地迭代运算，改动、，直到满足要求为止。以上两种设计方法中，着重讲第一种，由于数字滤波器在很多场所所要完成的义务与模拟滤波器一样，如作低通、高通、带通及带阻网络等，这时数字滤波也可看作是“模拟模拟滤波器。在II
4、R滤波器设计中，采用这种设计方法目前最普遍。由于计算机技术的开展，最优化设计方法的运用也逐渐增多。11-12c0r通带过渡带阻带3.1 根据模根据模拟滤拟滤波器波器设计设计IIR滤滤波器波器利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从知的模拟滤波器传送函数Ha(s)设计数字渡波器传送函数Hz，这归根究竟是一个由S平面到Z平面的变换，这种映射变换应遵照两个根本原那么：1Hz的频响要能模拟Ha(s)的频响，即S平面的虚轴应映射到Z平面的单位圆上。2Ha(s)的因果稳定性映射成Hz后坚持不变，即S平面的左半平面ReS0应映射到Z平面的单位圆以内|Z|1。下面讨论两种常用的映射变换方法：一、脉冲呼应不变法利用
5、模拟滤波器实际设计数字滤波器，也就是使数字滤波器能模拟模拟滤波的特性，这种模拟可从不同的角度出发。脉冲呼应不变法是从滤波器的脉冲呼应出发，使数字滤波器的单位脉冲呼应序列h(n)正好等于模拟滤波器的冲激呼应ha(t)的采样值，即h(n)=ha(nT),T为采样周期。如以Ha(s)及Hz分别表示ha(t)的拉氏变换及h(n)的Z变换，即Ha(s)=Lha(t),H(z)=Zh(n)计算H(Z):脉冲呼应不变法特别适用于用部分分式表达传送函数，模拟滤波器的传送函数假设只需单阶极点，且分母的阶数高于分子阶数NM，那么可表达为部分分式方式；其拉氏反变换为：单位阶跃对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲
6、呼应序列再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传送函数：第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，必有所以有比较看到：S平面上的极点S=Si变换到Z平面上是极点,而Ha(s)与H(Z)中部分分式所对应的系数不变，但要留意，这种Ha(s)到H(Z)的对应变换关系，只需将Ha(s)表达为部分分式方式才成立。稳定性：假设模拟滤波器是稳定的，那么一切极点Si都在S左半平面，即Resi0,那么变换后H(Z)的极点也都在单位圆以内，即,因此数字滤波器坚持稳定。根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系。 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号 的拉氏变换 之间的关系。 理想采样 的拉氏变换 与采样序列 的 Z
7、 变换 之间存在的 S 平面与Z平面的映射关系.s平面与z平面的映射关系 以上阐明，采用脉冲呼应不变法将模拟滤波器变换为数字滤波器时，它所完成的S平面到Z平面的变换，正是以前所讨论的拉氏变换到Z变换的规范变换关系，即首先对Ha(s)作周期延拓，然后再经过的映射关系映射到Z平面上。 映射关系 ： S平面上每一条宽为 的横带部分，都将重叠地映射到Z平面的整个平面上: 每一横带的左半部分映射到Z平面单位圆以内， 每一横带的右半部分映射到Z平面单位圆以外， 轴映射到单位圆上， 轴上每一段 都对应于绕单位圆一周。由于e以2拍为周期S平面Z平面应指出，Z=esT的映射关系反映的是Ha(s)的周期延拓与HZ
8、的关系，而不是Ha(s)本身与HZ的关系，因此，运用脉冲呼应不变法时，从Ha(s)到H(z)并没有一个由S平面到Z平面的一一对应的简单代数映射关系，即没有一个S=f(z)代数关系式。混迭：由式，还可看到，数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟滤波器的频响，而是模拟滤波器频响的周期延拓：周期为 正如第一章的采样定律中所讨论的，假设模拟滤波器的频响带限于折叠频率S/2 以内， 即 这时数字滤波器的频响才干不失真地重现模拟滤波器的频响存在于折叠频率S/2以内但任何一个实践的模拟滤波器，其频响都不能够是真正带限的，因此不可防止地存在频谱的交叠，即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于原模拟滤波器的频
9、响而带有一定的失真。模拟滤波器频响在折叠频率以上衰减越大，失真那么越小，这时，采用脉冲呼应不变法设计的数字滤波器才干得到良好的效果。脉冲呼应不变法中的频响混淆 虽然脉冲呼应不变法能保证S平面与Z平面的极点位置有一一对应的代数关系，但这并不是说整个S平面与Z平面就存在这种一一对应的关系，特别是数字滤波器的零点位置与S平面上的零点没有一一对应关系，而是随着Ha(s)的极点 Si 与系数 Ai 的不同而不同。例将一个具有如下传送出数的模拟滤波器数字化。解：模拟滤波器的频率呼应为: 示于P77图a数字滤波器的频率呼应为:显然与采样间隔T有关,如P77图b,T越小,衰减越大,混叠越小,当fs=24Hz,
10、混叠可忽略不计,为什么混迭呢?小结1)脉冲呼应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性的，与是线性关系。因此假设模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，经过变换后数字滤波器的频响可不失真地反映原呼应与频率的关系。例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，经过脉冲呼应不变法得到的仍是线性相位的低通数字滤波器。2)在某些场所，要求数字滤波器在时域上能模拟模拟滤波器的功能时，如要实现时域冲激呼应的模拟，普通运用脉冲呼应不变法。3)假设Ha(s)是稳定的，即其极点在S左半平面，映射后得到的H(Z)也是稳定的。4)脉冲呼应不变法的最大缺陷：有频谱周期延拓效应，因此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频呼应中，此时可添加一维护滤波器，滤掉高于的频带，再用脉冲呼应不变法转换为数字滤波器，这会添加设计的复杂性和滤波器阶数，只需在一定要满足频率线性关系或坚持网络瞬态呼应时才采用。
