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1、第第 11 11 章章 能量法（一）能量法（一） 1 外力功与应变能外力功与应变能2 2 互等定理互等定理3 余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理4 变形体虚功原理变形体虚功原理5 讲授内容讲授内容1 上讲回顾上讲回顾相应位移相应位移 载荷载荷 F 作用点处沿载荷作用方向作用点处沿载荷作用方向的位移的位移 D.D. 由所有载荷共同引起由所有载荷共同引起外力功外力功 载荷载荷 F 在其相应位移在其相应位移 D D 上所作上所作之功之功广义载荷广义载荷 力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等力，力偶，一对大小相等、方向相反的力或力偶等广义位移广义位移 线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等
2、线位移，角位移，相对线位移，相对角位移等应变能应变能 构件因变形而储存的能量（变构件因变形而储存的能量（变形能）形能）2.基本公式基本公式 一般物体一般物体相应位移相应位移 d d : 0 D D 线性弹性体线性弹性体载荷载荷 f : 0 Fk线线弹弹体体在在载载荷荷作作用用点点、沿沿其其作作用用方方向向产产生生单单位位位位移移所需之力，所需之力，称为称为刚度系数刚度系数3克拉比隆定理克拉比隆定理 Fi广义载荷，广义载荷，D D i相应相应广义位移广义位移（与加载次序无关）（与加载次序无关） 本定理只适用于线性弹性体本定理只适用于线性弹性体4 非圆截面杆或杆系：非圆截面杆或杆系： 圆截面杆或杆
3、系：圆截面杆或杆系：y , z轴主形心轴轴主形心轴5 功的功的互等定理互等定理D D i j引起位移的载荷引起位移的载荷发生位移的部位发生位移的部位两种加两种加载状态载状态功的功的互等定理（简单形式）互等定理（简单形式）6.先加先加 F1，后加，后加 F2先加先加 F2，后加，后加 F1线性弹性体的两种加载方式与外力功：线性弹性体的两种加载方式与外力功：总功与加载次序无关总功与加载次序无关7 对于线性弹性体，对于线性弹性体，F1在在F2引起的位移引起的位移D D1212上所作的功上所作的功，等于，等于F2 在在F1引引起的位移起的位移 D D2121上所作的功上所作的功功的互等定理（一般形式）
4、功的互等定理（一般形式） 对于线性弹性体，对于线性弹性体，第第一组外力一组外力 Fi 在第二组外力引起的位移在第二组外力引起的位移 D DiP 上所作上所作的功的功，等于，等于第二组外力第二组外力 Pj在在第第一一组外力引起的位移组外力引起的位移 D DjF上所作的功上所作的功8. 位移位移互等定理互等定理位移互等定理位移互等定理当当F1= F2时时 当当F1与与F2的的数数值值相相等等时时， F2在在点点1沿沿F1方方位位引引起起的的位位移移D D12，等等于于F1在点在点2沿沿F2方位引起的位移方位引起的位移D D219.3 余能与卡氏第二定理余能与卡氏第二定理 余能概念余能概念 克罗第恩
5、格塞定理克罗第恩格塞定理 卡氏定理卡氏定理 例题例题10 余能概念余能概念余功与余能余功与余能Complementary Work and Complementary Energy弹性体的余能弹性体的余能Vc数数 值上等于余功：值上等于余功：余功的定义余功的定义:11. 单向应力状态下的余能密单向应力状态下的余能密度为度为故拉压杆与梁的余能故拉压杆与梁的余能为为余能计算余能计算余能是载荷的函数余能是载荷的函数对线弹体对线弹体12 克罗第恩格塞定理克罗第恩格塞定理问题：弹性结构受问题：弹性结构受n个载荷作用，个载荷作用， 求指定载荷求指定载荷Fk的相应位移的相应位移k k给载荷增量给载荷增量余功
6、增量余功增量余能增量余能增量13. 克罗第恩格塞定理克罗第恩格塞定理 弹性体的余能对载荷弹性体的余能对载荷 F Fk k 的偏导数，等于该载荷的相应位移的偏导数，等于该载荷的相应位移 D Dk 克罗第恩格塞定理克罗第恩格塞定理 Crotti-Engessers theorem14. 卡氏卡氏定理定理 线线性性弹弹性性体体的的应应变变能能，对对载载荷荷 F Fk k 的的偏偏导数，等于该载荷的相应位移导数，等于该载荷的相应位移 D D k 卡氏第二定理卡氏第二定理对于线性弹性体：对于线性弹性体：A. Castigliano (1847-1884)，意，意大利工程师。大利工程师。1870年入都灵工
7、业年入都灵工业学院，学院，1873年提出工程师学位论年提出工程师学位论文。文。卡氏第一定理卡氏第一定理15. 卡氏定理直接推导卡氏定理直接推导线弹性体受线弹性体受n个载荷个载荷外力功外力功考虑两个加载过程考虑两个加载过程给载荷增量给载荷增量线弹性体外力功线弹性体外力功与加载次序无关与加载次序无关16. 例题例题例例 3-1 用卡氏定理求用卡氏定理求D DBy解：解：（ ）17.解：解：1. 分析方法分析方法施加矩为施加矩为 Me的力偶的力偶附加力偶附加力偶附加力法附加力法转角转角B B所对应的载荷？所对应的载荷？EI例例 3-2 利用卡氏定理计算利用卡氏定理计算q qB182. 位移计算位移计
8、算()19解：解：1.1.应力分析应力分析例例 3-3 利用克罗第恩格塞定理计算利用克罗第恩格塞定理计算 wA ，202. 余能与位移计算余能与位移计算（）21AFFBaa例例 3-4 图示刚架的变形能为图示刚架的变形能为U U，问，问代表什么？代表什么？合力的相应位移？合力的相应位移？A点合位移？点合位移？解：解：考虑该刚架的另一载荷状态，其变形能考虑该刚架的另一载荷状态，其变形能ABaa则则22若令若令则由复合求导法则则由复合求导法则可见，可见，为两为两F载荷相应位移的代数和。载荷相应位移的代数和。若两个若两个F载荷平行、反向，载荷平行、反向，为两载荷对应的相对位移。为两载荷对应的相对位移。23ABAFFBaa合力的相应位移合力的相应位移24
