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1、xy026个英文字母分成以下五类A M T U V W YB C D E K W S Z H I O X F G J L Q R P观察下图，思考并讨论以下问题：观察下图，思考并讨论以下问题：(1) 这两个函数图象有什么共同特征吗？这两个函数图象有什么共同特征吗？(2) 相应的两个函数值对应相应的两个函数值对应x的值是如何体现这些特征的值是如何体现这些特征的？的？f(-3)=9=f(3) f(-2)=4=f(2) f(-1)=1=f(1)f(-3)=3=f(3) f(-2)=2=f(2) f(-1)=1=f(1)f(x)=x2f(x)=|x| 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个
2、x,都有都有f(-x)=(-x)2=x2=f(x),这时我们称函数这时我们称函数y=x2为为偶函数偶函数.1偶函数偶函数 (even function) 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)=f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做偶函数偶函数 例如，函数 都是偶函数，它们的图象分别如下图(1)、(2)所示. 观察函数观察函数f(x)=x和和f(x)=1/x的图象的图象(下图下图)，你能发，你能发现现两个函数图象有什么共同特征吗？两个函数图象有什么共同特征吗？f(-3)=-3=-f(3) f(-2)=-2=-f(2) f(-1)=
3、-1=-f(1) 实际上，对于实际上，对于R内任意的一个内任意的一个x,都有都有f(-x)=-x=-f(x),这时这时我们称函数我们称函数y=x为为奇函数奇函数.f(-3)=-1/3=-f(3) f(-2)=-1/2=-f(2) f(-1)=-1=-f(1)2奇函数奇函数(odd function)(odd function) 一般地，对于函数一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个的定义域内的任意一个x，都有都有f(x)= f(x)，那么，那么f(x)就叫做就叫做奇奇函数函数 注意：若函数注意：若函数f(x)f(x)具备奇偶性质具备奇偶性质 2 2、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性
4、的、由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则，则x也一定是定义域内的一个自变量（即也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关定义域关于原点对称于原点对称）2 2、f(x)=f(-x),f(x)=-f(-x)f(x)=f(-x),f(x)=-f(-x)必然有一个成立必然有一个成立3 3、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即、奇、偶函数定义的逆命题也成立，即 若若f(x)f(x)为奇函数，则为奇函数，则f(-x)=-f(x) 成立成立. . 若若f(x)f(x)为偶函数，则为偶函数，则f(- -x)=f(x) 成立成立.
5、.4.4.奇函数奇函数f(x)f(x)若在若在x=0x=0处有定义，则处有定义，则f(0)=0.f(0)=0.5.f(x)=0,则称则称f(x)为既奇又偶的函数为既奇又偶的函数.6.若若f(x)为奇函数，则其图像关于原点对称；反为奇函数，则其图像关于原点对称；反之之f(x)的图像关于原点对称，则其为奇函数；若的图像关于原点对称，则其为奇函数；若f(x)为偶函数，则其图像关于为偶函数，则其图像关于y轴对称；反之轴对称；反之f(x)的图像关于的图像关于y轴对称，则其为偶函数轴对称，则其为偶函数.例例1、已知函数、已知函数y=f(x)是偶函数，它在是偶函数，它在y轴右边的图轴右边的图象如下图，画出在
6、象如下图，画出在y轴左边的图象轴左边的图象.xy0解：画法略相等相等xy0相等相等7.若f(x),g(x)为I上的奇(偶)函数，则f(x)+(-)g(x)为奇(偶)函数，f(x).g(x)为偶函数.f(x)/g(x)(g(x)不=0)为偶函数.8.若f(x)为I上的奇函数， g(x)为I上的偶函数，f(x).g(x)为奇函数.f(x)/g(x)(g(x)不=0)为奇函数.例5、判断下列函数的奇偶性：(1)解：定义域为R f(-x)=(-x)4=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数(2)解：定义域为R f(-x)=(-x)5=- x5 =-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(
7、3)解：定义域为x|x0 f(-x)=-x+1/(-x)=-f(x)即f(-x)=-f(x)f(x)奇函数(4)解：定义域为x|x0 f(-x)=1/(-x)2=f(x)即f(-x)=f(x)f(x)偶函数3.用定义判断函数奇偶性的步骤：（1）先判断函数的定义域是否关于原点对称）先判断函数的定义域是否关于原点对称（2）再判断）再判断f(x)与与f(-x)的关系的关系A、若、若f(-x)=-f(x) 则则f(x)为奇函数为奇函数B、若、若f(-x)=f(x) 则则f(x)为偶函数为偶函数4.判断函数的奇偶性有五种情况：(1)定义域不关于原点对称，定义域不关于原点对称， f(x)是是非奇非偶函数非
8、奇非偶函数(2)或者定义域关于原点对称，但是不满足或者定义域关于原点对称，但是不满足f(-x)=-f(x)，也不满足，也不满足f(-x)=f(x)， f(x)是是非奇非偶函数非奇非偶函数(3)定义域关于原点对称，并且定义域关于原点对称，并且 f(-x)=-f(x)， f(x)是是奇函数奇函数(4) 定义域关于原点对称，并且定义域关于原点对称，并且f(-x)=f(x)， f(x)是是偶函数偶函数(5)定义域关于原点对称，并且定义域关于原点对称，并且f(-x)=-f(x)，f(- x)=f(x)， 则则f(x)既是奇函数又是偶函数既是奇函数又是偶函数。5.课堂练习P36,11.判断下列函数的奇偶性
9、：判断下列函数的奇偶性：练习练习2. 2. 说出下列函数的奇偶性说出下列函数的奇偶性: :偶函数偶函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数奇函数f(x)=x4 _ f(x)= x -1 _ f(x)=x _奇函数奇函数f(x)=x -2 _偶函数偶函数 f(x)=x5 _f(x)=x -3 _ 说明：对于形如说明：对于形如 f(x)=x n 的函数，的函数， 若若n为偶数，则它为偶函数。为偶数，则它为偶函数。 若若n为奇数，则它为奇函数。为奇数，则它为奇函数。7.本课小结1、两个定义：对于f(x)定义域内的任意一个x, 如果都有f(x)=-f(x) f(x)为奇函数为奇函数 如果都有f(x)=f(x) f(x)为偶函数为偶函数2、两个性质： 一个函数为奇函数 它的图象关于原点对称 一个函数为偶函数 它的图象关于y轴对称、判断函数的奇偶性：先看定义域，后验关系式。思考题:1.已知已知y=f(x)是偶函数，且在是偶函数，且在(-，0）上是增函数，则）上是增函数，则 y=f(x)在在(0,)上是上是 （ ） A.增函数增函数 B.减函数减函数 C.非单调函数非单调函数 D.单调性不确定单调性不确定2.已知偶函数已知偶函数y=f(x)在（在（0，4）上是增函数，试比较）上是增函数，试比较f(-2),f(-3), f(1)的大小。的大小。同学们再见！
